二次函数讲义二次函数的概念.docx

1、二次函数讲义二次函数的概念二次函数讲义-二次函数的概念龙泉驿区初中数学讲义二次函数 一、复习提问 1什么叫函数？它有几种表示方法？ 2什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k?0的条件？ k值对函数性质有什么影响？(复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解强调k?0的条件，以备与二次函数中的a进行比较) 二、由实际问题引入新课 函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系(出示小黑板) 例1 正方形的边长是x(cm)，面积y(cm2)

2、与边长x之间的函数关系如何表示？ 例2 农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？ 由以上两例，启发学生归纳出(1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同) 三、讲解新课 二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a?0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数 巩固对二次函数概念的理解： 1强调“形如”，即由形来定义函数名称二次函数即y是关于x的二次多项式 2 2在y=axbxc中自变量是x，它的取值范围是一切实数但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值如例1中，

3、x0 2 3在y=50x100x50中， a=50， b=100， c=50 2 4为什么二次函数定义中要求a?0？(若a=0，axbx+c就不是关于x的二次多项式了) 5b和c是否可以为零？由例1可知，b和c均可为零 2 若b=0，则y=axc； 2 若c=0，则y=axbx； 2 若b=c=0，则y=ax 2 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax+bx+c是二次函数的一般形式 四、巩固新课 例1 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c 2 (1)y=1-3x； (2)y=x(x-5)； 1 第1页，共12页 龙泉驿区初中数学讲义二次函数 2 (5

4、)y=3x(2-x)3x； (6)y(x2)(2-x)； 42 (8)y=x2x1 3例2 设圆柱的高h(cm)是常量，写出圆柱的体积V(cm)与底面周长c(cm)之间的函数关系式 2例3 篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围 2例4 已知二次函数y=axbxc，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1求a、b、c，并写出函数解析式 五、布置作业 1在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余2下木板的面积y(cm)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范

5、围 2 2已知二次函数y=4x5x1，求当y=0时的x的值 2 3已知二次函数y=x-kx-15，当x=5时，y=0，求k 24已知二次函数y=axbxc中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a、b、c的值 2y=ax() 复习提问 2在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ 2什么是一元二次方程？ 3怎样用描点法画函数的图象？ 新课 2由具体问题引出二次函数的定义 (2)已知圆的面积是Scm2，圆的半径是Rcm，写出这个圆的面积S与半径R之间的函数关系式 2 (2)已知一个矩形的周长是60m，一边长是lm，写出这个矩形的面积S(m)与这个矩形的一边长l

6、之间的函数关系式 (3)农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？ 我们说三个式子都表示的是二次函数 2 一般地，如果y=ax+bx+c(a，b，c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a?0 2 2画二次函数y=x的图象 按照描点法分三步画图： (2)列表 ?x可取任意实数，?以0为中心选取x值，以2为间距取值，且取整数值，便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同； 2 第2页，共12页 龙泉驿区初中数学讲义二次函数 (2)描点按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点； 2 (3)连线

7、用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x的图象 注意两点： (2)由于我们只描出了7个点，但自变量取值范围是实数，故我们只画出了实际图象的一部分，即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分而图象在x3或x-3的区间是无限延伸的 (2)所画的图象是近似的 2 3在原点附近较精确地研究二次函数y=x的图象 2 在原点附近，y=x的图象形状到底如何？ 2 为了说明函数y=x图象的形状，我们把原点附近的部分再画细一些在-2与2之间，每隔0.2取一个x的值，列出下表： 描点、连线，就得到原点附近部分比较精确的图象： 4引入抛物线的概念 关于抛物线的顶点应从两方面分析：一是从图象上看，y=x2图象

8、的顶点是最低点；一222是从解析式y=x看，当x=0时，y=x取得最小值0，故抛物线y=x的顶点是(0，0) 小结 2二次函数的定义 (2)函数解析式关于自变量是整式；(2)函数自变量的最高次数是2 2 2二次函数y=x的图象 2 (2)其图象叫抛物线；(2)抛物线y=x的对称轴是y轴，开口向上，顶点是原点 补充例题 下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a，b，c？ 2 (2)y=2-3x；(2)y=x(x-4)； 2 (5)y=7x(2-x)+4x； (6)y=(x-6)(6+x) 作业：P中A组2，2，3 122四、教学注意问题 2注意渗透局部和全体、有限和无限

9、、近似和精确等矛盾对立统一的观点 2 2注意培养学生观察分析问题的能力比如，结合所画二次函数y=x的图象，要求学生思考： 2 (2)y=x的图象有什么特点(答：具有对称性) 2 (2)如何判断y=x的图象有上面所说的特点？(答：由观察图象看出来；或由列表求值得2出来；或由解析式y=x看出来) 3 第3页，共12页 龙泉驿区初中数学讲义二次函数 2y=ax() 复习提问 1在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是二次函数？ (1)y=12x+7； 222 (3)y=(x-2)-x； (4)y=4(x+3)+2x 2 2抛物线y=x的对称轴是什么？顶点是什么？ 2 3在y=ax+bx+c(a?0)中，

10、若b=0，或c=0，或b，c同时为0，解析式是什么？ 4请同学们回忆，前面我们在学习了正比例函数、一次函数后，是如何进一步研究这些函数的？(答：先用描点法画出函数图象，再结合图象研究性质) 新课 观察所列的表，对于y=2x22中所得对应值(-4，32)很大，故还可以把y=2x另取点列表来处理 观察由描点所画出的图象，我们可得到结论： 22 在y=ax(a0)中，x的系数越大，抛物线开口越小 结合图象，师生一道归纳得到结论 (1) (2)y (3) 2 2运用对比的方法讲解例2画出函数y=-x的图象 22 仍把y=-x与y=x的图象对比 引导同学得到结论： (1)从函数的解析式上看：两个函数式仅

11、相差一个符号 22 (2)从列表中的y值看：y=x的表中，y?0，y=-x的表中y?0 22 (3)从图象上看：在同一坐标系中抛物线y=-x与y=x关于x轴对称(联想：在2 (4)抛物线y=-x的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点 小结 4 第4页，共12页 龙泉驿区初中数学讲义二次函数 2 1抛物线y=ax(a?0)的对称轴是y轴，顶点是原点 2 2a0时，抛物线y=ax的开口向上 2 3a0时，抛物线y=ax的开口向下 练习：选用课本练习 作业：选用课本习题 补充例题 1在同一平面直角坐标系内画出下列函数的图象： 22 y=6x，y=-6x 2 2已知点M(k，2)在抛物线y=x上， (1

12、)求k的值 2 (2)点N(k，4)在抛物线y=x上吗？ 2 (3)点H(-k，2)在抛物线y=x上吗？ 2 3已知点A(3，a)在抛物线y=x上， (1)求a的值 2 (2)点B(3，-a)在抛物线y=x上吗？ 四、教学注意问题 22 1注意渗透分类讨论思想比如在y=ax中a0时，y=ax的图象开口向上；当a02时，y=ax的图象开口向下，等等 2注意训练学生对比联想的思维方法 2y=ax+bx+c() 复习提问 2 1用描点法画出函数y=x的图象，并根据图象回答下列问题： 2 (1)抛物线y=x的开口方向、对称轴与顶点坐标； (2)当x=-2时，y的值； (3)当y=9时，x的值 (2)当

13、x=-3时，y的值(精确到0.1)； (3)当y=-9时，x的值(精确到0.1) 新课 1用和抛物线y=x222对比的方法讲解例1画出函数y=x+1与y=x-1的图象 (1)列表： (2)在同一平面直角坐标系中画出图象； (3)引导同学结合图象分析研究以下问题： 5 第5页，共12页 龙泉驿区初中数学讲义二次函数 222 1?抛物线y=x+1，y=x-1与y=x的相同点与不同点是什么？(答：形状相同；位置不同) 2 2?抛物线y=x+1的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_；(答：向上；y轴；(0，1) 2 3?抛物线y=x-1的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_(答：向上；y轴；(0，

14、-1) (1)列表： (2)在同一平面直角坐标系中画出图象； (3)引导同学结合图象分析研究以下问题： 什么？(答：形状相同；位置不同) (答：向下；x=-1；(-1，0) _(答：向下；x=1；(1，0) 小结 用填空或列表的方法总结抛物线y=ax2222，y=ax+k，y=a(x-h)，y=a(x+h)的开口方向、对称轴、顶点坐标 1当a0时，抛物线 2 y=ax的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_； 2 y=ax+k的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_； 2 y=a(x-h)的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_； 2 y=a(x+h)的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_ 2当a0时，抛物线 2 y=ax的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_； 2 y=ax+k的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_； 2 y=a(x-h)的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_； 2 y=a(x+h)的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_