立体几何练习题.docx
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立体几何练习题
立体几何练习题
2.正方体ABC-A1B1OD中，BD与平面ABCD所成角的余弦值为（）
D.
A.
3.三棱柱ABC-ABQ中，AA=2且AA丄平面ABC△ABC是
边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）
A.AC!
SB
B.AB//平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
PD=AD=1设点CG到平面PAB的距离为d1,
6.如图，四棱锥P-ABCD勺底面为正方形，PD丄底面ABCD
点B到平面PAC的距离为d2,则有（）
8.给出下列四个命题:
其中正确命题的序号是
AE与平而BDD1B1所成角的正
9.已知正方体ABCDAB1GD1中，点E是棱AB1的中点，则直线
弦值是
10.已知直三棱柱ABCABG中，ABC90°,ACAA2丘,AB2,M为BB1的中点,
则Bi与平面ACM的距离为
11.边长分别为、的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余
恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则的取值范围是12.已知矩形ABCD的长AB4，宽AD3，将其沿对角线BD折起，得到四面体ABCD，如图所示,给出下列结论：
①四面体ABCD体积的最大值为72
5
②四面体ABCD外接球的表面积恒为定值;
13.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，/BAC=90,AB=BB,直线BC与平面ABC成30°角.
（I）求证：
平面BAC!
平面ABBA;
（II）求直线AC与平面BiAC所成角的正弦值.
14.如图，在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA!
ACPA=AB=6BC=8
DF=5.
（1）若PB!
BC证明平面BDEL平面ABC
（2）求直线BD与平面ABC所成角的正切值.
15.如图，长方体ABCD-A1B1GD中，AB=AD=1AA=2,点P为DD的中点.
（1）求证：
直线BD//平面PAC
（2）求证：
平面PACL平面BDDB1；
（3）求CP与平面BDDB1所成的角大小.
16.如图，四棱锥P-ABCD勺底面是正方形，PEU底面ABCD点E在棱PB上
（1）求证：
ACI平面PDB
（2）当PD=AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.
17.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形，/ADC=45,AD=AC=1O为AC中点，POL平面ABCD
P0=2M为PD中点.
（I）求证：
PB//平面ACM
（n）求证：
AD!
平面PAC
（川）求二面角M-AC-D的正切值.
18.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PAL平面ABCD点E在线段PC上，PCI平面
BDE.
（1）证明：
BDI平面PAC
（2）若PA=1,AD=2求二面角B-PC-A的正切值.
19.如图，直三棱柱ABC-ABC中，CAICBAAi=AC=CB=2D是AB的中点.
（1）求证：
BG//平面AiCD
2）求证：
A1CIAB1；
（3）若点E在线段BB上，且二面角E-CD-B的正切值是，求此时三棱锥
C-AiDE的体积.
20.如图，四棱锥S-ABCD勺底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍,
P为侧棱SD上的点.
（1）求证：
ACISD
（2）若SDI平面PAC求二面角P-AC-D的大小;
（3）在
（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE//平面PAC
若存在，求SE:
EC的值；若
不存在，试说明理由.
试卷答案
解：
若a丄y,B丄Y,则a与B可能平行也可能相交，故①错误;
由于mn不一定相交，故a//B不一定成立，故②错误;
由面面平行的性质定理，易得③正确;
由线面平行的性质定理，我们易得④正确;
故选B
•••DD丄平面ABCD；BD是BD在平面ABCD的射影,
•••/DBD是BD与平面ABCD所成的角;
设AB=1,贝UBD=BD=,
••cos/DBD===;
点评：
体积．
因为AAi=2且AA丄平面ABC所以外接球的半径为：
r==.
所以外接球的体积为：
V=nr3=nX（）3
故选:
C．
点评:
本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积．着重考查了正三棱柱
的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题．
本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题．
222222则a2+b2+c2=32+42+52=50
因为0P为长方体的对角线.
所以0P=5.
点评：
本题考查点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是基础题.
分析：
根据SDI底面ABCD底面ABCE为正方形，以及三垂线定理，易证ACISB根据线面平行的判
定定理易证AB//平面SCD根据直线与平面所成角的定义，可以找出/ASO是SA与平面SBD所成的角,/CSC是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线
平行即可求得结果.
解答：
解：
•••SDI底面ABCD底面ABCE为正方形,
•••连接BD,则BDIAC根据三垂线定理，可得ACISB故A正确;
•/AB//CDAB?
平面SCDCD?
平面SCD•••AB//平面SCD故B正确;
•/SD!
底面ABCD
/ASC是SA与平面SBD所成的角，/DSC是SC与平面SBD所成的,
而^SAO^^CSC
•/ASOMCSO即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确;
•••AB//CD•-AB与SC所成的角是/SCDDC与SA所成的角是/SAB
而这两个角显然不相等，故D不正确;
故选D.
以及直线与平面所成的角,
点评：
此题是个中档题.考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理,异面直线所成的角等问题，综合性强.
考点：
点、线、面间的距离计算.
专题：
综合题；空间位置关系与距离；空间角.
分析：
过C做平面PAB的垂线，垂足为E,连接BE,则三角形CEB为直角三角形，根据斜边大于直角边,
再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角，能够推导出d2解答：
解：
过C做平面PAB的垂线,垂足为E,连接BE,则三角形CEB为直角三角形，其中/CEB=90,根据斜边大于直角边，得CE同理，diV1.
再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者,所以d2所以d2故选D.
点评：
本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用.
7.
8.
（2）（4）9.如
10
13.
分析：
（I）欲证平面BAC!
平面ABBA,关键是寻找线面垂直，而AC!
平面ABBA,又AC?
平面BAC,
满足面面垂直的判定定理；
（II）过Ai做AiMLBiAi，垂足为M连接CM/A1CMI为直线AC与平面BiAC所成的角，然后在三角形ACM
中求出此角的正弦值即可．
解答：
解：
（I）证明：
由直三棱柱性质，BlB丄平面ABC
•••BiB丄AC又BA!
ACBiBQBA=B
•••AC丄平面ABBA,又AC?
平面BiAC,
•••平面BiACI平面ABBA.
（II）解：
过A做AiMlBlAi，垂足为M连接CM
•••平面BiACI平面ABBA，且平面BAS平面ABBA=BiA,
••AMI平面BlAC.
•••/AiCM为直线AlC与平面BAC所成的角,
•••直线BC与平面ABC成30°角，•••/B1CB=30.
设AB=BB=a，可得BlC=2a,BC=
•••直线AlC与平面BlAC所成角的正弦值为
点评：
本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算
能力和推理论证能力.
4.
分析：
（l）由已知得DEIACDE2+EF2=DF2，从而DE丄平面ABC由此能证明平面BDEL平面ABC
BD与平面ABC所成角
DEI平面ABC得/DBE是直线BD与平面ABC所成的角，由此能求出直线
的正切值.
解答：
（1）证明：
•••在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.
PA^ACPA=AB=6BC=8DF=5,•••DE!
ACDE=3EF=4,DF=5,
•••dW+eRdF2,；delef,
又EFAAC=F•-DE!
平面ABC
又de?
平面BDE•••平面BDEL平面ABC
（2）vdel平面ABC,•••PA!
平面ABC,••PA!
AB•/PB丄BC•••AB丄BC
•AC==10•由DE!
平面ABC得/DBE是直线BD与平面ABC所成的角,tan/DBE==
•••直线BD与平面ABC所成角的正切值为.
点评：
本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题注意空间思维能力的培养．
考点：
15.
直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.
分析：
（1）设AC和BD交于点O由三角形的中位线的性质可得PO//BD，从而证明直线BD/平面
PAC.
证明AC!
BDDD丄AC可证ACL面BDDBi,进而证得平面PACL平面BDDD.
CP在平面BDDB内的射影为0P故/CPO是CP与平面BDDBi所成的角，在Rt△CPO中，利用边角
关系求得/CPO的大小.
解答：
（1）证明：
设AC和BD交于点O,连PO,由P,O分别是DD,BD的中点，故PO//BD,•/P0?
平面PAGBD?
平面PAC所以，直线BD//平面PAC
（2）长方体ABCD-AiBCD中，AB=AD=1底面ABCD是正方形，贝UAC!
BD又DD丄面ABCD贝UDD丄AC
•/BD?
平面BDDB,DD?
平面BDDBi,BDnDD=D••ACI面BDDB.vAC?
平面PAC•••平面PACL平面bddb.
（3）由
（2）已证：
AC!
面bddb,•CP在平面BDDB内的射影为OP,CPO是CP与平面BDDBi所成
的角.
依题意得，，在Rt△CPO中，，•/CPO=30
•••CP与平面BDDBi所成的角为30°.
点评：
本题考查证明线面平行、面面垂直的方法求直线和平面所称的角的大小找出直线和平面所成的角是解题的难点，属于中档题．
i6.
分析：
（1）根据题意证明ACIBDPDIAC可得ACI平面PDB
设ACnBD=O连接OE根据线面所成角的定义可知/AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中
求出此角即可.
•/PDI底面ABCD
•••PDIAC
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