立体几何练习题.docx

1、立体几何练习题立体几何练习题2.正方体ABC- A1B1OD中，BD与平面ABCD所成角的余弦值为（）D.A.3.三棱柱 ABC- ABQ中，AA=2且AA丄平面 ABC ABC是边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）A. AC! SBB . AB/平面 SCDC. SA与平面SBD所成的角等于 SC与平面SBD所成的角D. AB与SC所成的角等于 DC与 SA所成的角PD=AD=1设点CG到平面PAB的距离为d1,6.如图，四棱锥 P- ABCD勺底面为正方形，PD丄底面ABCD点B到平面PAC的距离为d2,则有（ ）8.给出下列四个命题:其中正确命题的序号

2、是AE与平而BDD1B1所成角的正9.已知正方体 ABCD AB1GD1中，点E是棱 AB1的中点，则直线弦值是10.已知直三棱柱 ABC ABG中， ABC 90 , AC AA 2丘,AB 2 , M为BB1的中点,则Bi与平面ACM的距离为11.边长分别为、的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的 4个侧面，则的取值范围是 12.已知矩形ABCD的长AB 4，宽AD 3，将其沿对角线 BD折起，得到四面体 A BCD，如图所示, 给出下列结论： 四面体A BCD体积的最大值为725四面体A BCD外接球的表面积恒为定值;13.如图，

3、在直三棱柱 ABC- ABC中，/ BAC=90 , AB=BB,直线 B C与平面 ABC成 30角.(I )求证：平面B AC!平面ABBA;(II )求直线A C与平面BiAC所成角的正弦值.1 4.如图，在三棱锥 P- ABC中，D, E, F分别为棱 PC, AC, AB的中点.已知 PA!AC PA=AB=6 BC=8DF=5.(1 )若PB! BC 证明平面 BDEL平面 ABC(2)求直线BD与平面ABC所成角的正切值.15.如图，长方体 ABCD- A1B1GD中，AB=AD=1 AA=2,点P为DD的中点.(1)求证：直线BD/平面PAC(2)求证：平面 PACL平面 BD

4、DB1；(3)求CP与平面BDDB1所成的角大小.16.如图，四棱锥 P- ABCD勺底面是正方形，PEU底面 ABCD点E在棱PB上(1)求证：ACI平面PDB(2)当PD=AB且 E为PB的中点时，求 AE与平面PDB所成的角的大小.17.在四棱锥 P- ABCD中,底面ABCD为平行四边形，/ ADC=45 , AD=AC=1 O为AC中点，POL平面 ABCDP0=2 M为PD中点.(I)求证：PB/平面 ACM(n)求证：AD!平面 PAC(川)求二面角 M- AC- D的正切值.18.如图所示，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PAL平面 ABCD点E在线段PC上，PC

5、I平面BDE.(1)证明：BDI平面PAC(2)若PA=1, AD=2求二面角 B- PC- A的正切值.19.如图，直三棱柱 ABC- ABC中，CAICB AAi=AC=CB=2 D是AB的中点.(1)求证：BG/平面AiCD2)求证： A1CI AB1；(3)若点E在线段BB上，且二面角 E- CD- B的正切值是，求此时三棱锥C- AiDE的体积.20.如图，四棱锥S- ABCD勺底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证：ACISD(2)若SDI平面PAC求二面角 P- AC- D的大小;(3)在(2)的条件下，侧棱 SC上是否存在一点 E,使得BE/

6、平面PAC若存在，求SE: EC的值；若不存在，试说明理由.试卷答案解：若a丄y,B丄Y,则 a与B可能平行也可能相交，故错误;由于m n不一定相交，故 a/B不一定成立，故错误;由面面平行的性质定理，易得正确;由线面平行的性质定理，我们易得正确;故选 BDD丄平面 ABCD； BD是BD在平面 ABCD的射影,/ DBD是BD与平面ABCD所成的角;设 AB=1,贝U BD= BD=, cos / DBD=;点评：体积因为AAi=2且AA丄平面ABC所以外接球的半径为： r=.所以外接球的体积为：V=nr 3=nX() 3故选: C点评: 本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下

7、求球的体积着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题2 2 2 2 2 2 则 a2+b2 +c2=32+42+52=50因为0P为长方体的对角线.所以 0P=5.点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是基础题.分析：根据SDI底面ABCD底面ABCE为正方形，以及三垂线定理，易证 ACI SB根据线面平行的判定定理易证 AB/平面SCD根据直线与平面所成角的定义，可以找出/ ASO 是SA与平面SBD所成的角, / CSC是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的

8、角，利用线线平行即可求得结果.解答： 解：SDI底面 ABCD底面ABCE为正方形,连接BD,则BDIAC根据三垂线定理，可得 ACI SB故A正确;/ AB/ CD AB?平面 SCD CD?平面 SCD AB/平面 SCD故B正确;/ SD!底面 ABCD/ ASC是 SA与平面SBD所成的角，/ DSC是SC与平面SBD所成的,而 SAO CSC / ASOM CSO即SA与平面SBD所成的角等于 SC与平面SBD所成的角，故 C正确; AB/ CD - AB与SC所成的角是/ SCD DC与 SA所成的角是/ SAB而这两个角显然不相等，故 D不正确;故选 D.以及直线与平面所成的角,

9、点评： 此题是个中档题.考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理, 异面直线所成的角等问题，综合性强.考点：点、线、面间的距离计算.专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角.分析：过C做平面PAB的垂线，垂足为E,连接BE,则三角形CEB为直角三角形，根据斜边大于直角边,再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角，能够推导出 d2 d1 1.解答： 解：过C做平面PAB的垂线, 垂足为E,连接BE, 则三角形CEB为直角三角形，其中/ CEB=90 , 根据斜边大于直角边，得 CE CB即d2 1.同理，diV 1 .再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者, 所以d2

10、di.所以 d2 di 1.故选D.点评：本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用.7.8.(2)(4) 9.如1013.分析：(I )欲证平面 B AC!平面 ABBA ,关键是寻找线面垂直， 而AC!平面 ABBA ,又AC?平面B AC,满足面面垂直的判定定理；(II )过Ai做AiMLBiAi，垂足为M连接CM /A1CMI为直线AC与平面BiAC所成的角，然后在三角形 ACM中求出此角的正弦值即可解答： 解：(I )证明：由直三棱柱性质， Bl B丄平面ABCBiB丄AC 又 BA! AC BiBQ BA=B AC丄平面 ABBA,又AC?平面BiAC

11、,平面 BiACI平面 ABBA.(II )解：过A做AiMlB lAi，垂足为M连接CM平面 BiACI平面 ABBA，且平面 BAS 平面 ABBA=Bi A,AMI平面 Bl AC./AiCM为直线Al C与平面B AC所成的角,直线 B C与平面 ABC成 30 角，/B 1 CB=30 .设 AB=BB=a，可得 Bl C=2a, BC=直线Al C与平面Bl AC所成角的正弦值为点评： 本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.4.分析：(l )由已知得 DEI AC DE2+EF2=DF2，从而DE丄平面 ABC由此能证

12、明平面 BDEL平面 ABCBD与平面ABC所成角DEI平面ABC得/ DBE是直线BD与平面ABC所成的角，由此能求出直线的正切值.解答： (1 )证明：在三棱锥 P- ABC中，D, E, F分别为棱PC, AC, AB的中点.PA AC PA=AB=6 BC=8 DF=5, DE! AC DE=3 EF=4, DF=5 , dW+eRdF2,； del ef,又 EFA AC=F - DE!平面 ABC又de?平面BDE 平面 BDEL平面ABC(2)v del平面 ABC, PA!平面 ABC, PA!AB / PB丄 BC AB丄 BC AC=10 由DE!平面ABC得/ DBE是直

13、线BD与平面ABC所成的角, tan / DBE=直线BD与平面ABC所成角的正切值为.点评： 本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时 要认真审题 注意空间思维能力的培养考点：15.直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.分析：(1 )设AC和BD交于点O由三角形的中位线的性质可得 PO/ BD，从而证明直线 BD/平面PAC.证明AC! BD DD丄AC可证ACL面BDDBi ,进而证得平面 PACL平面BDDD .CP在平面BDDB内的射影为 0P故/CPO是CP与平面BDDBi所成的角，在 Rt CPO中，利用边角关系求

14、得/ CPO的大小.解答： (1 )证明：设AC和BD交于点O,连PO,由P, O分别是DD, BD的中点，故PO/ BD, / P0?平面PAG BD?平面PAC 所以，直线 BD/平面 PAC(2)长方体 ABCD- AiBCD中，AB=AD=1底面ABCD是正方形，贝U AC!BD 又DD丄面ABCD贝U DD丄AC/ BD?平面 BDDB , D D?平面 BDDBi , BDnDD=D ACI面 BDDB .v AC?平面 PAC 平面 PACL平面 bddb .(3)由(2)已证：AC!面bddb , CP在平面BDDB内的射影为 OP, CPO是CP与平面BDDBi所成的角.依题意得，在Rt CPO中，/ CPO=30 CP与平面BDDBi所成的角为30.点评： 本题考查证明线面平行、面面垂直的方法 求直线和平面所称的角的大小 找出直线和平面所 成的角是解题的难点，属于中档题i6.分析：（1）根据题意证明 ACIBD PDIAC可得 ACI平面PDB设ACn BD=O连接OE根据线面所成角的定义可知/ AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt AOE中求出此角即可./ PDI底面 ABCD PDI AC