北师大版学年八年级数学下册第一章 三角形的证明单元测试题及答案.docx

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北师大版学年八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题及答案

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题

一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．等腰三角形的对称轴是（　　）

A．底边上的高所在的直线B．底边上的高

C．底边上的中线D．顶角平分线

2．如图在3×3的网格中，点A、B在格点处：

以AB为一边，点P在格点处，则使△ABP为等腰三角形的点P有（　　）个．

A．2个B．3个C．4个D．5个

3．如图，在△ABC中，∠B与∠C的角平分线相交于点I，过点I作BC的平行线，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝9，AC＝6，BC＝8，则△ADE的周长是（　　）

A．14B．15C．17

4．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（　　）

A．10°B．15°C．20°D．25°

5．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BC＝6，则AB的值是（　　）

A．12B．8C．6D．3

6．用反证法证明“a≥b”，对于第一步的假设，下列正确的是（　　）

A．a≤bB．a≠bC．a＜bD．a＝b

7．下列说法：

①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（　　）

A．AE＝3CEB．AE＝2CEC．AE＝BDD．BC＝2CE

9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE＝4，则S△AEC＝（　　）

A．8B．7.5C．7D．6

10．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，若S△BCE＝10，BC＝5，则DE等于（　　）

A．10B．7C．5D．4

二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）

11．等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为　　．

12．如图：

已知∠B＝20°，AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，以此类推∠A的度数是　　．

13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，点E为AC中点，则DE＝　　．

14．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点D，连接CD，若BD＝2，则AD的长是　　．

15．如图，DE是△ABC的边AC上的垂直平分线，AB＝5cm，BC＝8cm，则△ABD的周长为　　cm．

16．如图，点D，P在△ABC的边BC上，DE，PF分别垂直平分AB，AC，连接AD、AP，若∠DAP＝20°，则∠BAC＝　　．

17．如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为　　．

18．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝40，DE＝4，AC＝12，则AB长是　　．

三．解答题（共7小题，共66分）

19．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，求∠DBA的度数．

20．如图，已知AB∥CD，∠BCF＝180°，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∠ACE＝90°．求证：

AC⊥BD．

21．已知：

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE是△ABC内部的一条线段，AE交CD于点F，交CB于点E，且∠CFE＝∠CEF．

求证：

AE平分∠CAB．

22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．

（1）求∠B的度数：

（2）求证：

BC＝3CE．

23．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D和点E．

（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？

为什么？

（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．

24．如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．

（1）求∠DBC的度数；

（2）若△DBC的周长为14cm，BC＝5cm，求AB的长．

25．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．

（1）求∠AEB的度数；

（2）求证：

CE＝DE．

参考答案

一．选择题

1．解：

等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线，

故选：

A．

2．解：

如图所示，以AB为腰的等腰三角形的点P有2个，

以AB为底边的等腰三角形的点P有3个，

∴△ABP为等腰三角形的点P有5个；

故选：

D．

3．解：

∵BI平分∠DBC，

∴∠DBI＝∠CBI，

又∵DE∥BC，

∴∠DIB＝∠IBC，

∴∠DIB＝∠DBI，

∴BD＝DI．

同理CE＝EI．

∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝15，

故选：

B．

4．解：

∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，

∴AD是BC的线段垂直平分线，

∵E是AD上一点，

∴EB＝EC，

∴∠EBD＝∠ECD，

∵∠CED＝50°，

∴∠ECD＝40°，

又∵∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，

∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，

故选：

C．

5．解：

∵AB＝AC，∠A＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝6，

故选：

C．

6．解：

反证法证明“a≥b”，第一步是假设，a＜b，

故选：

C．

7．解：

①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等；

②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等，正确；

③两边分别相等的两个直角三角形不一定全等；

④如果在两个直角三角形中，例如：

两个30°角的直角三角形，一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等，这两个直角三角形肯定不全等，错误；

故选：

A．

8．解：

连接BE，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，

∴∠ABE＝∠A＝30°，

∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，

在Rt△BCE中，BE＝2CE，

∴AE＝2CE，

故选：

B．

9．解：

∵在△ABC中，∠ACB＝90°，C点E是边AB的中点，

∴AE＝BE＝CE＝

AB＝5，

∵CD⊥AB，DE＝4，

∴CD＝

＝3，

∴S△AEC＝S△BEC＝

BE•CD＝

3＝7.5，

故选：

B．

10．解：

作EF⊥BC于F，

∵S△BCE＝10，

∴

×BC×EF＝10，即

×5×EF＝10，

解得，EF＝4，

∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，

∴DE＝EF＝4，

故选：

D．

二．填空题

11．解：

由题意知，应分两种情况：

（1）当腰长为3cm时，则另一腰也为3cm，

底边为12﹣2×3＝7cm，

∵3+3＜7，

∴边长分别为3，3，7不能构成三角形；

（2）当底边长为3cm时，腰的长＝（12﹣3）÷2＝4.5cm，

∵0＜3＜4.5+4.5＝9，

∴边长为3，4.5，4.5，能构成三角形，

则该等腰三角形的一腰长是4.5cm．

故答案为：

4.5cm．

12．解：

∵∠B＝20°，AB＝A1B，

∴∠A＝

（180°﹣∠B）＝80°，

故答案为：

80°．

13．解：

∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，又点E为AC中点，

∴DE＝

AC＝5，

故答案为：

5．

14．解：

∵DE垂直平分AC，

∴CD＝AD，

∴∠ACD＝∠A＝30°，

∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，

∴∠ACB＝90°﹣∠A＝60°，

∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，

∴CD＝2BD＝2×2＝4，

∴AD＝CD＝4．

故答案为：

4．

15．解：

∵DE是△ABC中的边AC上的垂直平分线，

∴AD＝CD，

∵AB＝5cm，BC＝8cm，

∴△ABD的周长为：

AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝13（cm）．

故答案是：

13．

16．解：

∵DE，PF分别垂直平分AB，AC，

∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAP，

又∵∠DAP＝20°，

∴∠B+∠C＝

（180°﹣20°）＝80°，

∴∠BAC＝180°﹣80°＝100°，

故答案为：

100°．

17．解：

作PH⊥AC于H，

∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC，

∴PE＝PH，

∵AB∥CD，PE⊥AB，

∴PF⊥CD，

∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC，

∴PF＝PH，

∴PH＝PE＝PF＝

EF＝5，即点P到AC的距离为5，

故答案为：

5．

18．解：

作DF⊥AC于F，如图，

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DF＝DE＝4，

∵S△ABD+S△ADC＝S△ABC，

∴

•4•AB+

•12•4＝40，

∴AB＝8．

故答案为8．

三．解答题

19．解：

∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，

∴∠A＝∠C＝35°，

∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，

∴AD＝BD，

∴∠DBA＝∠A＝35°

20．证明：

∵AB∥CD，

∴∠ABC＝∠DCF．（两直线平行，同位角相等）

∵BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，

∴∠2＝

∠ABC，∠4＝

∠DCF．（角平分线的定义）

∴∠2＝∠4．

∴BD∥CE．（同位角相等，两直线平行）

∴∠BGC＝∠ACE．（两直线平行，内错角相等）

∵∠ACE＝90°，

∴∠BGC＝90°，即AC⊥BD．（垂直的定义）

21．证明：

∵CD⊥AB，

∴在△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE．

∵∠ACE＝90°，

∴在△AEC中，∠CAE＝90°﹣∠CEF．

∵∠CFE＝∠CEF，

∴∠DAF＝∠CAE，

即AE平分∠CAB．

22．解：

（1）∵AE⊥CD，

∴∠AFC＝∠ACB＝90°，

∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°，

∴∠ECF＝∠CAF，

∵∠EAD＝∠DCB，

∴∠CAD＝2∠DCB，

∵CD是斜边AB上的中线，

∴CD＝BD，

∴∠B＝∠DCB，

∴∠CAB＝2∠B，

∵∠B+∠CAB＝90°，

∴∠B＝30°；

（2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°，

∴AE＝BE，CE＝

AE，

∴BC＝3CE．

23．解：

（1）△CDE的周长为10．

∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，

∴AD＝CD，BE＝CE，

∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；

（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，

∴AD＝CD，BE＝CE，

∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，

又∵∠ACB＝125°，

∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，

∴∠ACD+∠BCE＝55°，

∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．

24．解：

（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵∠A＝40°，

∴∠ABC＝∠ACB＝70°，

∵MN是AB的垂直平分线，

∴DA＝DB，

∴∠A＝∠ABD＝40°，

∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70﹣40°＝30°；

（2）∵MN是AB的垂直平分线，

∴BD＝AD，

∵△DBC的周长为14cm，

∴BD+BC+CD＝14cm，

∵BC＝5cm，

∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝9cm，

∵AB＝AC，

∴AB＝9cm．

25．解：

（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．

∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝

∠CAB．

同理可得∠EBA＝

∠ABD．

∴∠EAB+∠EBA＝90°，

∴∠AEB＝90°；

（2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF，

在△ACE和△AFE中，

∴△ACE≌△AFE（SAS）．

∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．

∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，

∴∠DEB＝∠FEB．

在△DEB和△FEB中

∴△DEB≌△FEB（ASA）．

∴ED＝EF．

∴ED＝CE．