北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明单元测试题及答案.docx
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北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题及答案
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题
一.选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.等腰三角形的对称轴是(
A.底边上的高所在的直线
C.底边上的中线
)
B.底边上的高
D.顶角平分线
2.如图在3×3的网格中,点A、B在格点处:
以AB为一边,点P在格点处,则使△ABP为等腰
三角形的点P有(
)个.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
3.如图,在△ABC中,∠B与∠C的角平分线相交于点I,过点I作BC的平行线,分别交AB、
AC于点D、E.若AB=9,AC=6,BC=8,则△ADE的周长是(
)
A.14
B.15
C.17
4.如图所示,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,E为AD上一点,∠CED=50°,则∠ABE等于
(
)
A.10°
5.在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,BC=6,则AB的值是(
A.12B.8C.6
6.用反证法证明“a≥b”,对于第一步的假设,下列正确的是(
A.a≤bB.a≠bC.a<b
B.15°
C.20°
D.25°
)
D.3
)
D.a=b
7.下列说法:
①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等;②底边及底边上的高分别相等
的两个等腰三角形全等;③两边分别相等的两个直角三角形全等;④一个锐角和一条边分别相等
的两个直角三角形全等,其中正确的个数是(
A.1B.2C.3
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E,
则下列结论正确的是(
)
D.4
)
A.AE=3CE
B.AE=2CE
C.AE=BD
D.BC=2CE
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是边AB的中点,AB=10,DE
=4,则S△AEC=(
)
A.8
B.7.5
C.7
D.6
10.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,交CD于点E,若S△BCE=10,BC=
5,则DE等于(
)
A.10
二.填空题(共8小题,每小题3分,共24分)
11.等腰三角形的周长为12cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的腰长为
B.7
C.5
D.4
.
12.如图:
已知∠B=20°,AB=AB,AB=AA,AB=AA,AB=AA,以此类推∠A的
1
11
1
2
22
2
3
33
3
4
度数是
.
13.如图,在△ABC中,AB=AC=10,AD平分∠BAC,点E为AC中点,则DE=
.
14.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,DE垂直平分AC,交AC于点E,交AB于点D,
连接CD,若BD=2,则AD的长是
.
15.如图,DE是△ABC的边AC上的垂直平分线,AB=5cm,BC=8cm,则△ABD的周长为
cm.
16.如图,点D,P在△ABC的边BC上,DE,PF分别垂直平分AB,AC,连接AD、AP,若∠
DAP=20°,则∠BAC=
.
17.如图,AB∥CD,∠BAC与∠ACD的平分线交于点P,过P作PE⊥AB于E,交CD于F,EF
=10,则点P到AC的距离为
.
18.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=40,DE=4,AC=12,则AB长
是
.
三.解答题(共7小题,共66分)
19.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=110°,AB的垂直平分线DE交AC于点D,连接
BD,求∠DBA的度数.
20.如图,已知AB∥CD,∠BCF=180°,BD平分∠ABC,CE平分∠DCF,∠ACE=90°.求
证:
AC⊥BD.
21.已知:
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,AE是△ABC内部的一条线段,AE交
CD于点F,交CB于点E,且∠CFE=∠CEF.
求证:
AE平分∠CAB.
22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD于点F,
交CB于点E,且∠EAB=∠DCB.
(1)求∠B的度数:
(2)求证:
BC=3CE.
23.如图,直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线,l与m分别交边AB,BC于点D
和点E.
(1)若AB=10,则△CDE的周长是多少?
为什么?
(2)若∠ACB=125°,求∠DCE的度数.
24.如图,已知AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线MN交AC于点D.
(1)求∠DBC的度数;
(2)若△DBC的周长为14cm,BC=5cm,求AB的长.
25.如图,已知AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,点E在线段CD上.
(1)求∠AEB的度数;
(2)求证:
CE=DE.
参考答案
一.选择题
1.解:
等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线,
故选:
A.
2.解:
如图所示,以AB为腰的等腰三角形的点P有2个,
以AB为底边的等腰三角形的点P有3个,
∴△ABP为等腰三角形的点P有5个;
故选:
D.
3.解:
∵BI平分∠DBC,
∴∠DBI=∠CBI,
又∵DE∥BC,
∴∠DIB=∠IBC,
∴∠DIB=∠DBI,
∴BD=DI.
同理CE=EI.
∴△ADE的周长=AD+DI+IE+EA=AB+AC=15,
故选:
B.
4.解:
∵在等边三角形ABC中,AD⊥BC,
∴AD是BC的线段垂直平分线,
∵E是AD上一点,
∴EB=EC,
∴∠EBD=∠ECD,
∵∠CED=50°,
∴∠ECD=40°,
又∵∠ABC=60°,∠ECD=40°,
∴∠ABE=60°﹣40°=20°,
故选:
C.
5.解:
∵AB=AC,∠A=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=6,
故选:
C.
6.解:
反证法证明“a≥b”,第一步是假设,a<b,
故选:
C.
7.解:
①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等;
②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等,正确;
③两边分别相等的两个直角三角形不一定全等;
④如果在两个直角三角形中,例如:
两个30°角的直角三角形,一个三角形的直角边与另一个
三角形的斜边相等,这两个直角三角形肯定不全等,错误;
故选:
A.
8.解:
连接BE,
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴∠ABE=∠A=30°,
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°,
在Rt△BCE中,BE=2CE,
∴AE=2CE,
故选:
B.
9.解:
∵在△ABC中,∠ACB=90°,C点E是边AB的中点,
∴AE=BE=CE=AB=5,
∵CD⊥AB,DE=4,
∴CD=
=3,
BE•CD=
∴S△AEC=S△BEC
故选:
B.
=
3=7.5,
10.解:
作EF⊥BC于F,
∵S△BCE=10,
∴×BC×EF=10,即×5×EF=10,
解得,EF=4,
∵BE平分∠ABC,CD⊥AB,EF⊥BC,
∴DE=EF=4,
故选:
D.
二.填空题
11.解:
由题意知,应分两种情况:
(1)当腰长为3cm时,则另一腰也为3cm,
底边为12﹣2×3=7cm,
∵3+3<7,
∴边长分别为3,3,7不能构成三角形;
(2)当底边长为3cm时,腰的长=(12﹣3)÷2=4.5cm,
∵0<3<4.5+4.5=9,
∴边长为3,4.5,4.5,能构成三角形,
则该等腰三角形的一腰长是4.5cm.
故答案为:
4.5cm.
12.解:
∵∠B=20°,AB=AB,
1
∴∠A=(180°﹣∠B)=80°,
故答案为:
80°.
13.解:
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,又点E为AC中点,
∴DE=AC=5,
故答案为:
5.
14.解:
∵DE垂直平分AC,
∴CD=AD,
∴∠ACD=∠A=30°,
∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,
∴∠ACB=90°﹣∠A=60°,
∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=30°,
∴CD=2BD=2×2=4,
∴AD=CD=4.
故答案为:
4.
15.解:
∵DE是△ABC中的边AC上的垂直平分线,
∴AD=CD,
∵AB=5cm,BC=8cm,
∴△ABD的周长为:
AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13(cm).
故答案是:
13.
16.解:
∵DE,PF分别垂直平分AB,AC,
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAP,
又∵∠DAP=20°,
∴∠B+∠C=(180°﹣20°)=80°,
∴∠BAC=180°﹣80°=100°,
故答案为:
100°.
17.解:
作PH⊥AC于H,
∵AP平分∠BAC,PE⊥AB,PH⊥AC,
∴PE=PH,
∵AB∥CD,PE⊥AB,
∴PF⊥CD,
∵CP平分∠ACD,PF⊥CD,PH⊥AC,
∴PF=PH,
∴PH=PE=PF=EF=5,即点P到AC的距离为5,
故答案为:
5.
18.解:
作DF⊥AC于F,如图,
∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DF=DE=4,
∵S△ABD+S△ADC=S△ABC
,
∴•4•AB+•12•4=40,
∴AB=8.
故答案为8.
三.解答题
19.解:
∵在△ABC中,AB=BC,∠ABC=110°,
∴∠A=∠C=35°,
∵AB的垂直平分线DE交AC于点D,
∴AD=BD,
∴∠DBA=∠A=35°
20.证明:
∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠DCF.(两直线平行,同位角相等)
∵BD平分∠ABC,CE平分∠DCF,
∴∠2=∠ABC,∠4=∠DCF.(角平分线的定义)
∴∠2=∠4.
∴BD∥CE.(同位角相等,两直线平行)
∴∠BGC=∠ACE.(两直线平行,内错角相等)
∵∠ACE=90°,
∴∠BGC=90°,即AC⊥BD.(垂直的定义)
21.证明:
∵CD⊥AB,
∴在△ADF中,∠DAF=90°﹣∠AFD=90°﹣∠CFE.
∵∠ACE=90°,
∴在△AEC中,∠CAE=90°﹣∠CEF.
∵∠CFE=∠CEF,
∴∠DAF=∠CAE,
即AE平分∠CAB.
22.解:
(1)∵AE⊥CD,
∴∠AFC=∠ACB=90°,
∴∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠ECF=90°,
∴∠ECF=∠CAF,
∵∠EAD=∠DCB,
∴∠CAD=2∠DCB,
∵CD是斜边AB上的中线,
∴CD=BD,
∴∠B=∠DCB,
∴∠CAB=2∠B,
∵∠B+∠CAB=90°,
∴∠B=30°;
(2)∵∠B=∠BAE=∠CAE=30°,
∴AE=BE,CE=AE,
∴BC=3CE.
23.解:
(1)△CDE的周长为10.
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线,
∴AD=CD,BE=CE,
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=AD+DE+BE=AB=10;
(2)∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线,
∴AD=CD,BE=CE,
∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCE,
又∵∠ACB=125°,
∴∠A+∠B=180°﹣125°=55°,
∴∠ACD+∠BCE=55°,
∴∠DCE=∠ACB﹣(∠ACD+∠BCE)=125°﹣55°=70°.
24.解:
(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠A=40°,
∴∠ABC=∠ACB=70°,
∵MN是AB的垂直平分线,
∴DA=DB,
∴∠A=∠ABD=40°,
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70﹣40°=30°;
(2)∵MN是AB的垂直平分线,
∴BD=AD,
∵△DBC的周长为14cm,
∴BD+BC+CD=14cm,
∵BC=5cm,
∴BD+CD=AD+CD=AC=9cm,
∵AB=AC,
∴AB=9cm.
25.解:
(1)∵AC∥BD,∴∠CAB+∠ABD=180°.
∵AE平分∠CAB,∴∠EAB=∠CAB.
同理可得∠EBA=∠ABD.
∴∠EAB+∠EBA=90°,
∴∠AEB=90°;
(2)如图,在AB上截取AF=AC,连接EF,
在△ACE和△AFE中,
∴△ACE≌△AFE(SAS).
∴CE=FE,∠CEA=∠FEA.
∵∠CEA+∠DEB=90°,∠FEA+∠FEB=90°,
∴∠DEB=∠FEB.
在△DEB和△FEB中
∴△DEB≌△FEB(ASA).
∴ED=EF.
∴ED=CE.
∵△DBC的周长为14cm,
∴BD+BC+CD=14cm,
∵BC=5cm,
∴BD+CD=AD+CD=AC=9cm,
∵AB=AC,
∴AB=9cm.
25.解:
(1)∵AC∥BD,∴∠CAB+∠ABD=180°.
∵AE平分∠CAB,∴∠EAB=∠CAB.
同理可得∠EBA=∠ABD.
∴∠EAB+∠EBA=90°,
∴∠AEB=90°;
(2)如图,在AB上截取AF=AC,连接EF,
在△ACE和△AFE中,
∴△ACE≌△AFE(SAS).
∴CE=FE,∠CEA=∠FEA.
∵∠CEA+∠DEB=90°,∠FEA+∠FEB=90°,
∴∠DEB=∠FEB.
在△DEB和△FEB中
∴△DEB≌△FEB(ASA).
∴ED=EF.
∴ED=CE.