届南京市高三数学考前综合题word版汇总.docx
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届南京市高三数学考前综合题word版汇总
2012届高三数学综合题
一、填空题：
1．计算：
2sin20︒＋cos10︒＋tan20︒⋅sin10︒＝
2．已知以1为首项的数列{an}满足：
an＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧an＋1，an＜3，
a3
an≥3，则a20＝．
3．已知函数f（x＝asin2π5＋btanπ
5x（a，b为常数，x∈R．若f（1＝－1，则不等式f（24＞log2x
的解集为________．
4．若0＜x＜π
4，则函数ytan3xtan2x
的最大值为．
5．已知f（x是定义在（0，＋∞上的单调函数，且对任意的x∈（0，＋∞，都有f[f（x－x3]＝2，
则过点（1，2且与曲线y＝f（x相切的直线方程是________．
6．已知{an}是等差数列，若a12＋a52≤10，则a5＋a6＋„＋a9的最大值是．7．设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{Sn}都是等差数列，且公差相等，则a1
＝．8．设抛物线y2
＝2px（p＞0的焦点为F，点A（0，3．点P在抛物线上且满足→AP＝12
→
PF，则
P到该抛物线准线的距离为．
9．已知双曲线C：
x2ay2
b＝1（a＞0，b＞0，过双曲线右焦点F且垂直于x轴的直线与双曲
线及其渐近线分别交于点M，N，且M，N都在第一象限．若MN＝a
3，则双曲线的离心
率为．
10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：
x－y＋3＝0与圆O：
x2＋y2＝r2（r＞0相交于A，B
两点．若→OA＋2→OB3→
OC，且点C也在圆O上，则圆O的半径r＝．11．已知椭圆x2ay2
b
1（a＞b＞0的两个焦点为F1（－c，0，F2（c，0，P为该椭圆上一点，
且→PF1·→
PF2＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是．12．如图在△ABC中，∠BAC＝120︒，AB＝1，AC＝2，D为BC边上一点→DC＝2→BD，则→AD·→
BC＝
变式：
若条件改为→DC＝λ→BD，则→AD·→
BC的取值范围为
13．已知函数f（x＝2cos2x＋sin2x－4cosx，x∈R，则函数f（x的最大值为．
14．已知一个底面为正方形的长方体容器，若下底面和四个侧面的面积和27，则当容器的容积最大时，底面边长的值为____________．二、解答题：
1．设函数f（x＝cos（2x＋π
3＋sin2x－12
．
（1）当x∈[0，π]时，求f（x的单调递减区间；
（2）当f（α－π
8＝33时，求f（2α的值．
2．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosAcosBb
a3．
（1）求C；
（2）如图，设半径为R的圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧⌒AC上，∠PAB＝θ，求四边形APCB面积S（θ的解析式及最大值．
3．设△ABC中，→AB＝c，→BC＝a，→
CA＝b，且a⋅b＝b⋅c＝－2，b与c－b的夹角为150︒．
（1）求∣b∣；
（2）求△ABC的面积．
4．如图，空间几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，直角梯形ADFE所在平面与面ABCD垂直，且AE⊥AD，EF//AD，其中P，Q分别为棱BE，DF的中点．
（1）求证：
BD⊥CE；
（2）求证：
PQ∥平面ABCD．
A
DQ（第4题
5．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝AD＝2，CD＝4，E为边BC的中点，如图1．将△ADE沿AE折起到△AEP位置，连PB、PC，点Q是棱AE的中点，点M在棱PC上，如图2．
（1）若PA∥平面MQB，求PM∶MC；
（2）若平面AEP平面ABCE，点M是PC的中点，求三棱锥A－MQB的体积.
6．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：
（1）写出表中①②位置的数据；
（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学
生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；
（3）在
（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名
是第四组的概率．
E（第5题图（1
BACMF（第5题图（2
7．在南海的渔政管理中，我海监船C在我作业渔船A的北20︒东方向上，渔政船310在A的北40︒西方向上的B处，测得渔政船310距C为62海里．上级指示，海监船原地监测，渔政船310紧急前往A处，走了40海里后，到达D处，此时测得渔政船310距C为42
海里，问我渔政船310还要航行多少海里才能到达A处？
8．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数y＝loga（x－5＋83（a＞0且a≠1）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．
（1）试求p＝f（t的函数关系式；
（2）老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？
请说明理由．
9．一个截面为抛物线形的旧河道，河口宽AB＝4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土，试求当截面梯形的下底长为多少米时，才能使挖出的土最少？
A
B
10．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2a＋y2b＝1（a＞b＞0的离心率为3
2
A（a，0与B（0，－b的直线与原点的距离为
2105y1
2
与椭圆C交于D，E两点，过D点作斜率为k的直线l1．直线l1与椭圆C的另一个交点为P，与直线x＝4
的交点为Q，过Q点作直线EP的垂线l2．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：
直线l2恒过一定点．
11．如图，在直角坐标系xOy中，已知圆O：
x2
＋y2＝4，点A（1，0，B为直线x＝4上任意一点，直线AB交圆O于不同两点M，N．
（1）若→MA＝2→
AN，求直线AB的方程；
（2）设→AM＝λ→MB，→AN＝μ→
NB，求证：
λ＋μ为定值．
12．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1x26＋y2
3＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴
且与椭圆C1为“相似椭圆”．
（1）求椭圆C2的方程；
（2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H．求证：
H为△PA1A2的垂心．（垂心为三角形三条高的交点）
13．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆Cx24＋y23＝1上一点P（13
2，过点P的直线l1，
l2与椭圆C分别交于点A，B（不同于P），且它们的斜率k1，k2满足k1k2＝－3
4．
（1）求证：
直线AB过定点；
（2）求△PAB面积的最大值．
14．数列{an}满足：
a1＝1，a2＝2，an+2＝an＋an+1
2n∈N*．
（1）设bn＝an+1－an，求数列{bn}的通项公式；
（2）确定最小正整数N的值，使n＞N时，|an53|＜2
9n
15．设a1＜a2＜„＜ak（k∈N*，若对于任意正整数i，j（1≤i≤j≤k，aj－ai都是a1，a2，„，ak中的一个，则称a1，a2，„，ak是“可减数列”．
（1）若数列b1，b2，„，bk是等比数列，求证：
b1，b2，„，bk一定不是“可减数列”；
（2）求证：
a1，a2，„，ak是“可减数列”的充要条件是a1，a2，„，ak是等差数列，且
a1＝0．
16．设数列｛an｝满足：
an（n∈N*）是整数，且an+1－an是关于x的方程x2＋（an+1－2x－
2an+1＝0的根．
（1）若a1＝4，且n≥2时，4≤an≤8，求数列{an}的前100项和S100；
（2）若a1＝－8，a6＝1，且an＜an＋1（n∈N*），求数列{an}的通项公式．
17．对于函数y＝f（x，若存在开区间D，同时满足：
①存在a∈D，当x＜a时，函数f（x单调递减，当x＞a时，函数f（x单调递增；②对任意x＞0，只要a－x，a＋x∈D，都有f（a－x＞f（a＋x．则称y＝f（x为D内的“勾函数”．
（1）证明：
函数y＝∣lnx∣为（0，＋∞内的“勾函数”．
（2）若D内的“勾函数”y＝g（x的导函数为y＝g'（x，y＝g（x在D内有两个零点x1，x2，
求证：
g'（x1＋x2
2
＞0．
（3）对于给定常数λ，是否存在m，使函数h（x＝13λx31
2
2x2－2λ3x＋1在（m，＋∞内为
“勾函数”？
若存在，试求出m的取值范围，若不存在，说明理由．
18．已知函数f（x＝lnx＋ax2－2bx（a，b∈R），g（x＝2x－2
x＋1clnx．
（1）当c＝1时，求函数g（x在[1，e]上的最小值；
（2）当a＝1
2
时，f（x与g（x在定义域上单调性相反，求｜b｜＋c的最小值；
*（3）当b2a＞0时，求证：
存在m∈R，使f（x＝m的三个不同的实数解t1，t2，t3．且
对任意i，j∈{1，2，3}且i≠j2
ti＋tj＜2b－a（ti＋tj．
19．在平面直角坐标系中，动点P到点M（1，0的距离与到y轴的距离之和为2，记点P的
轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）过原点且斜率为k的直线l与曲线C有两个交点A，B（点A在y轴右侧，若→OA＝
－3→OB，求线段AB的长．
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