21.2二次函数y=ax2+k的图像与性质.ppt

21.2二次函数y=ax2+k的图像与性质.ppt

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二次函数y=ax2+k的图象和性质y=ax2（a0）a0a0图图象象开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值xyOyxO向上向上向下向下（0,0）（0,0）y轴y轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而增大。

的增大而增大。

当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。

的增大而减小。

x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2（a0）的形状是由|a|来确定的,一般说来,|a|越大,抛物线的开口就越小.2类比探究二次函数比探究二次函数y=ax2+k的的图象和性象和性质问题问题类比类比y=ax2的研究内容和研究方法，画出二次函数的研究内容和研究方法，画出二次函数y=x2+1，y=x2-2的的图象，并探究它象，并探究它们的的图象特征象特征和性和性质12345x12345678910yo-1-2-3-4-5

（1）

（1）抛物线抛物线y=xy=x22+1,y=x+1,y=x22的开口方向、的开口方向、对称轴、顶点各是什么对称轴、顶点各是什么?

（2）

（2）抛物线抛物线y=xy=x22+1+1与抛物线与抛物线y=xy=x22有什么有什么关系关系?

抛物线抛物线y=xy=x22+1:

+1:

开口向上开口向上,顶点为顶点为（0,1）.（0,1）.对称轴是对称轴是yy轴轴,抛物线抛物线y=xy=x22:

开口向上开口向上,顶点为顶点为（0,（0,00）.）.对称轴是对称轴是yy轴轴,y=xy=x22+1+1y=xy=x22x.-2-1012y=x241014y=x2+1y=x2y=x2+152125函数函数y=x2+1的图象与的图象与y=x2的的图象的位置有什么关系图象的位置有什么关系?

函数函数y=x2+1的图的图象可由象可由y=x2的图象的图象沿沿y轴向轴向上上平移平移1个单位长度得到个单位长度得到.函数函数y=x2+1的图的图象与象与y=x2的图象的的图象的形状相同吗形状相同吗?

相同相同

（1）

（1）抛物线抛物线y=xy=x22-2,y=x-2,y=x22的开口方向、的开口方向、对称轴、顶点各是什么对称轴、顶点各是什么?

（2）

（2）抛物线抛物线y=xy=x22-2-2与抛物线与抛物线y=xy=x22有什么有什么关系关系?

抛物线抛物线y=xy=x22-2:

-2:

开口向上开口向上,顶点为顶点为（0,-2）.（0,-2）.对称轴是对称轴是yy轴轴,抛物线抛物线y=xy=x22:

开口向上开口向上,顶点为顶点为（0,（0,00）.）.对称轴是对称轴是yy轴轴,y=x2-2y=x2x.-2-1012y=x241014y=x2-2y=x2y=x2-22-1-2-12函数函数y=x2-2的图象的图象可由可由y=x2的图象沿的图象沿y轴向轴向下下平移平移2个个单位长度得到单位长度得到.函数函数y=x2-2的图象与的图象与y=x2的的图象的位置有什么关系图象的位置有什么关系?

函函数数y=x2-2的的图象图象与与y=x2的图象的形的图象的形状相同吗状相同吗?

相同相同通通过对二次函数二次函数y=x2+1，y=x2-2的探究，你的探究，你能能说出二次函数出二次函数y=ax2+k（a0）的）的图象特征和性象特征和性质吗？

归纳：

一般地，当一般地，当a0时，抛物，抛物线y=ax2+k的的对称称轴是是y轴，顶点是（点是（0，k），开口向上，），开口向上，顶点是抛物点是抛物线的最的最低点，低点，a越大，抛物越大，抛物线的开口越小当的开口越小当x0时，y随随x的增大而减小，当的增大而减小，当x0时，y随随x的增大而增大的增大而增大

（1）函数函数y=4x2+5的图象可由的图象可由y=4x2的图象的图象向向平移平移个单位得到；个单位得到；y=4x2-11的图象的图象可由可由y=4x2的图象向的图象向平移平移个单位得到。

个单位得到。

（3）将抛物线）将抛物线y=4x2向上平移向上平移3个单位，所得的个单位，所得的抛物线的函数式是抛物线的函数式是。

将抛物线将抛物线y=-5x2+1向下平移向下平移5个单位个单位,所得的所得的抛物线的函数式是抛物线的函数式是。

（2）将函数将函数y=-3x2+4的图象向的图象向平移平移个单位可得个单位可得y=-3x2的图象；将的图象；将y=2x2-7的图象向的图象向平移平移个个单位得到单位得到y=2x2的图象。

将的图象。

将y=x2-7的图象的图象向向平移平移个单位可得到个单位可得到y=x2+2的图象。

的图象。

上上5下下11下下4上上7上上9y=4x2+3y=-5x2-4同一直角坐标系中同一直角坐标系中,画出的二次函数画出的二次函数y=-y=-xx22和和y=-xy=-x22+3+3，y=-xy=-x22-2-2的图像的图像y=-x2+3y=-x2y=-x2-2

（1）

（1）抛物线抛物线y=-y=-xx22+3,+3,y=-xy=-x22-2-2的的开口方向、对称轴、开口方向、对称轴、顶点各是什么顶点各是什么?

（2）

（2）这两条抛物线这两条抛物线与抛物线与抛物线y=-xy=-x22有什有什么关系么关系?

函数函数y=ax2（a0）和和函数函数y=ax2+k（a0）的图象形状的图象形状，只是位置不同；，只是位置不同；当当k0时，时，函数函数y=ax2+k的的图象可图象可由由y=ax2的图象向的图象向平移平移个单位得到，个单位得到，当当k0时，时，函数函数y=ax2+k的的图象可由图象可由y=ax2的图象的图象向向平移平移个单位得到。

个单位得到。

y=-x2-2y=-x2+3y=-x2函数函数y=-x2-2的图的图象可由象可由y=-x2的图的图象沿象沿y轴向轴向下下平移平移2个单位长度得到个单位长度得到.函数函数y=-x2+3的图的图象可由象可由y=-x2的图的图象沿象沿y轴向轴向上上平移平移3个单位长度得到个单位长度得到.图象向上移还是向下移图象向上移还是向下移,移多少个移多少个单位长度单位长度,有什么规律吗有什么规律吗?

上加下减上加下减相同相同上上k下下|k|你能你能说出二次函数出二次函数y=ax2+k（a0）的）的图象特征象特征和性和性质吗？

归纳：

一般地，当一般地，当a0时，抛物，抛物线y=ax2+k的的对称称轴是是y轴，顶点是（点是（0，k），开口向下，），开口向下，顶点是抛物点是抛物线的最的最高点，高点，a越小，抛物越小，抛物线的开口越小当的开口越小当x0时，y随随x的增大而增大，当的增大而增大，当x0时，y随随x的增大而减小的增大而减小（4）抛物线）抛物线y=-3x2+5的开口的开口，对称轴是，对称轴是，顶点坐标是顶点坐标是，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y随随x的增大而的增大而，在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y随随x的增大而的增大而，当当x=时，取得最时，取得最值，这个值等于值，这个值等于。

（5）抛物线）抛物线y=7x2-3的开口的开口，对称轴是，对称轴是，顶点坐标是顶点坐标是，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y随随x的增大的增大而而，在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y随随x的增大而的增大而，当当x=时，取得最时，取得最值，这个值等于值，这个值等于。

下下y轴轴（0,5）减小减小增大增大0大大5上上y轴轴（0,-3）减小减小增大增大0小小-3y=ax2+k（a0）a0a0开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值向上向上向下向下（0,k）（0,k）y轴y轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而增大。

的增大而增大。

当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。

的增大而减小。

x=0时,y最小=kx=0时,y最大=k抛物线y=ax2+k（a0）的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.