24.4.1弧长和扇形面积.ppt

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4.n的圆心角呢？

的圆心角呢？

半径为半径为R圆的周长为圆的周长为可以看作是可以看作是360圆心角所对的弧长圆心角所对的弧长1的圆心角所对弧长是的圆心角所对弧长是n的圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长1.你还记得圆周长的计算公式吗？

你还记得圆周长的计算公式吗？

2.圆的周长可以看作是多少度的圆圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对心角所对的弧长？

的弧长？

3.1的圆心角所对弧长是多少？

的圆心角所对弧长是多少？

Rn1O问题问题2.已知已知O半径为半径为R，求，求n圆心角所对弧长圆心角所对弧长弧长公式弧长公式若设若设OO半径为半径为RR，nn的圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长为为ll，则，则注注意意：

在在应应用用弧弧长长公公式式ll，进进行行计计算算时时，要要注注意意公公式式中中nn的的意意义义nn表表示示11圆圆心心角角的的倍倍数数，它是不带单位的。

它是不带单位的。

应应用用：

已已知知公公式式中中的的任任意意两两个个量量，可可以以求求第第三三个个量。

量。

（1）

（1）已知圆的半径为已知圆的半径为10cm,10cm,半圆的弧长为半圆的弧长为（）

（2）

（2）已知圆的半径为已知圆的半径为9cm9cm，6060圆心角所对的弧圆心角所对的弧长为长为（）（）（3）（3）已知半径为已知半径为33，则弧长为，则弧长为的弧所对的圆心角的弧所对的圆心角为为_（4）（4）已知圆心角为已知圆心角为150150，所对的弧长为，所对的弧长为2020，则，则圆的半径为圆的半径为_。

10cm600243cm例例1、制制造造弯弯形形管管道道时时，要要先先按按中中心心线线计计算算“展展直直长长度度”，再再下下料料，试试计计算算图图所所示示管管道道的的展展直直长长度度L（单位：

单位：

mm，精确到精确到1mm）解：

由弧长公式，可得弧解：

由弧长公式，可得弧AB的长的长ll（mm）因此所要求的展直长度因此所要求的展直长度L（mm）答：

管道的展直长度为答：

管道的展直长度为2970mmn例例2、如图所示，、如图所示，ABC内接于内接于O，O的半的半径径R=3cm，若，若B=45，则弧，则弧AC的长是的长是_1.5如图：

在如图：

在AOC中，中，AOC=900，C=150，以，以O为为圆心，圆心，AO为半径的圆交为半径的圆交AC与与B点，若点，若OA=6，求弧求弧AB的长。

的长。

ACBO1.已知弧所对的圆心角为已知弧所对的圆心角为900，半径是，半径是4，则弧，则弧长为长为_2.已知一条弧的半径为已知一条弧的半径为9，弧长为，弧长为8，那么，那么这条弧所对的圆心角为这条弧所对的圆心角为_。

3.钟表的轴心到分针针端的长为钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过那么经过40分钟分钟,分针针端转过的弧长是分针针端转过的弧长是（）A.B.C.D.2160B4.弧长相等的两段弧是等弧吗？

弧长相等的两段弧是等弧吗？

答：

不一定，因为它们不一定完全重合.也就是说形状不一定相同.5.有一段弯道是圆弧形的，道长是有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧，弧所对的圆心角是所对的圆心角是81，求这段圆弧的半径，求这段圆弧的半径R.AACCBBAACC6.6.如图，把如图，把RtABCRtABC的斜边放在直线的斜边放在直线上，按上，按顺时针方向转动一次顺时针方向转动一次,使它转到使它转到的位置。

的位置。

若若BC=1,A=30BC=1,A=3000。

求点。

求点AA运动到运动到AA位置时，点位置时，点AA经经过的路线长过的路线长。

7.一块等边三角形的木板，边长为一块等边三角形的木板，边长为1，现将木，现将木板沿水平线翻滚板沿水平线翻滚（如图如图），那么，那么B点从开始至结点从开始至结束所走过的路径长度为束所走过的路径长度为（）A.B.C.D.B解析8已知矩形已知矩形ABCD的长的长AB=4,宽宽AD=3,按如图按如图放置在直线放置在直线AP上上,然后不滑动地转动然后不滑动地转动,当它转动一当它转动一周时周时（AA/）,顶点顶点A所经过的路线长等于所经过的路线长等于。

6如下图，由组成圆心角的两条如下图，由组成圆心角的两条半径半径和圆心角所对的和圆心角所对的弧弧围成的图形是围成的图形是扇形扇形。

半径半径半径半径OBA圆心角圆心角弧弧OBA扇形扇形从从练习练习中中悟悟方方法法由组成圆心角的由组成圆心角的两条半径两条半径和圆心角和圆心角所对的所对的弧弧所围成的图形叫做所围成的图形叫做扇形扇形.ABOC在在O中，由半径中，由半径OA,OB和和所所构成的图形是扇形构成的图形是扇形.在在O中，由半径中，由半径OA,OB和和所所构成的图形是扇形构成的图形是扇形.在同圆或等圆中，由于相等的圆心角所对的弧相等，在同圆或等圆中，由于相等的圆心角所对的弧相等，所以具有相等圆心角的扇形，其面积也相等所以具有相等圆心角的扇形，其面积也相等.3.1的圆心角所对的扇形面积是的圆心角所对的扇形面积是多少？

多少？

圆心角为圆心角为n的扇形面的扇形面积是积是1.你还记得圆面积公式吗？

你还记得圆面积公式吗？

2.圆面积可以看作是多少度的圆心角所对圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？

的扇形的面积？

4.n的圆心角呢？

的圆心角呢？

圆的面积公式：

圆的面积公式：

360的圆心角所对的扇形的面积的圆心角所对的扇形的面积,1的圆心角所对的扇形面积是的圆心角所对的扇形面积是Rn1O问问题题3.3.已已知知OO半半径径为为RR，求求圆圆心心角角为为nn的的扇扇形形的面积？

的面积？

扇形面积公式扇形面积公式若若设设O半半径径为为R，圆圆心心角角为为n的的扇扇形形的的面面积积为为：

注注意意:

（1）在在应应用用扇扇形形的的面面积积公公式式S扇扇形形=进进行行计计算算时时，要要注注意意公公式式中中n的的意意义义n表表示示1圆圆心心角角的的倍倍数数，它是不带单位的；它是不带单位的；

（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.n例例1、如图所示，两个同心圆被两条半径截得、如图所示，两个同心圆被两条半径截得的弧的弧AB的长是的长是5，弧，弧CD的长是的长是7，AC=4cm，求，求S阴影阴影n例例2、如图是圆心角为、如图是圆心角为30，半径分别是，半径分别是1,3,5,7的扇形组成的图形，阴影部分的面积的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为依次记为S1，S2，S3，则，则S50=_66n例例3、如图所示，、如图所示，AB是是O的直径，弦的直径，弦DE垂直垂直平分半径平分半径OA，C为垂足，弦为垂足，弦DF与半径与半径OB相交相交于点于点P，连接，连接EF，EO，若，若DE=，DPA=45n

（1）求）求O的半径的半径n

（2）求）求S阴影阴影11、已知扇形的圆心角为、已知扇形的圆心角为120120，半径为，半径为22，则这个扇形的面积，则这个扇形的面积，SS扇扇=__.2、如图，这是中央电视台、如图，这是中央电视台“曲苑杂谈曲苑杂谈”中的一副中的一副图案，它是一扇形图形，其中图案，它是一扇形图形，其中AOB为为1200，OC长为长为8cm，CA长为长为12cm，则贴纸部分的面积为，则贴纸部分的面积为_1123.（2009年年长春春）如如图，方格，方格纸中中4个个小正方形的小正方形的边长均均为1，则图中阴影部分三个中阴影部分三个小扇形的面小扇形的面积和和为（结果保留果保留）随堂训练随堂训练例例2：

如图、水平放置的圆柱形排水管道的截：

如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是面半径是0.6cm，其中水面高，其中水面高0.3cm，求截面，求截面上有水部分的面积。

（精确到上有水部分的面积。

（精确到0.01cm）。

）。

0BACD弓形的面积弓形的面积=S扇扇-S解：

如图，连接解：

如图，连接OA、OB，过圆心，过圆心O作作AB的垂线，垂足为的垂线，垂足为D，交弧，交弧AB于点于点C.OC=0.6，DC=0.3OD=OC-DC=0.3在在RtOAD中，中，OA=0.6，利用勾股定理可得：

，利用勾股定理可得：

AD=0.33在在RtOAD中，中，OD=1/2OAOAD=30AOD=60，AOB=120有水部分的面积有水部分的面积0BACD变式：

变式：

如图、水平放置的圆柱形排水管道的截如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是面半径是0.6cm，其中水面高，其中水面高0.9cm，求截面，求截面上有水部分的面积。

（精确到上有水部分的面积。

（精确到0.01cm）。

）。

0ABDCE弓形的面积弓形的面积=S扇扇+S思考：

扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？

思考：

扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？

如果扇形的半径为如果扇形的半径为R的圆中，圆心角为的圆中，圆心角为no，那么扇那么扇形面积的计算公式为：

形面积的计算公式为：

扇形的弧长与扇形面积的关系为：

扇形的弧长与扇形面积的关系为：

议一议议一议（11）当已知弧长）当已知弧长LL和半径和半径RR，求扇形面积，求扇形面积时，应选用时，应选用（22）当已知半径和圆心角的度数，求扇）当已知半径和圆心角的度数，求扇形面积时，应选用形面积时，应选用扇形所对的弧长扇形所对的弧长扇形的面积是扇形的面积是v例例1、某扇形的周长是、某扇形的周长是28cm，面积为，面积为49平方厘米，则这个扇形的半径是平方厘米，则这个扇形的半径是_v例例2、如图，在、如图，在RtABC中，中，C=90，AC=4，BC=2，分别以，分别以AC、BC为直径为直径画半圆，则画半圆，则S阴影阴影=_7cm2.5-4v例例3、如图，把两个扇形、如图，把两个扇形OAB与扇形与扇形OCD的的圆心重合叠放在一起，且圆心重合叠放在一起，且AOB=COD，连接连接ACv

（1）求证：

）求证：

AOCBODv

（2）若）若OA=3cm，OC=2cm，弧，弧AB的长为的长为1.5，弧，弧CD的长为的长为，求，求S阴影阴影v例例4、如图，已知点、如图，已知点A、B、C、D均在已知圆均在已知圆上，上，ADBC，AC平分平分BCD，ADC=120，四边形，四边形ABCD的周长为的周长为10cm，求图中的，求图中的S阴影阴影v例例5、（、

（1）如图，）如图，ABBC，AB=BC=2cm，弧，弧OA与弧与弧AC关于点关于点O中心对称，则中心对称，则AB、BC、弧、弧OA与弧与弧AC所围成的图形的面积是所围成的图形的面积是_2v

（2）如图，水平地面上有一面积为）如图，水平地面上有一面积为30平方平方厘米的扇形厘米的扇形AOB，半径，半径OA=6cm，且，且OA与与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至右滚动至OB与地面垂直为止，则与地面垂直为止，则O点移动的点移动的距离为距离为_10v（3）如图，矩形）如图，矩形ABCD中，中，AB=1，AD=v以以AD的长为半径的的长为半径的A交交BC于点于点E，则图中，则图中S阴影阴影=_v（4）如图，直径）如图，直径AB为为6的半圆的半圆O，绕，绕A点逆点逆时针旋转时针旋转60，此时点，此时点B到了点到了点B，则图中，则图中S阴影阴影_61、如图几、如图几7-4-3，A是半径为是半径为1的圆的圆O外一点，外一点，且且OA=2，AB是是O的切线，的切线，BC/OA，连结，连结AC，则阴影部分面积等于则阴影部分面积等于。

巩固练习巩固练习.44、已知半径为、已知半径为2cm2cm的扇形，其弧长为的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积，则这个扇形的面积，SS扇扇=55、一扇形的弧长是、一扇形的弧长是，面积为，面积为那么扇形的圆心角为那么扇形的圆心角为.150150度度66、有一把折扇，已知折扇的骨柄长为、有一把折扇，已知折扇的骨柄长为30cm30cm，折扇扇，折扇扇面宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为面宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120120度，度，若要改用一把圆扇，则圆扇的半径应是多少才能得到若要改用一把圆扇，则圆扇的半径应是多少才