第6讲空间向量及其运算4老师.docx

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第6讲空间向量及其运算4老师

第6讲　空间向量及其运算

知识梳理

1．空间向量

在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模．

2．空间向量中的有关定理

（1）共线向量定理：

对空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.

（2）共面向量定理：

若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb.

（3）空间向量基本定理：

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.

3．两个向量的数量积

（1）非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos.

（2）空间向量数量积的运算律

①结合律：

（λa）·b＝λ（a·b）．②交换律：

a·b＝b·a.③分配律：

a·（b＋c）＝a·b＋a·c.

4．空间向量的坐标表示及其应用

设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3）.

向量表示

坐标表示

数量积

a·b

a1b1＋a2b2＋a3b3

共线

a＝λb（b≠0）

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

垂直

a·b＝0

（a≠0，b≠0）

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

模

|a|

夹角

（a≠0，b≠0）

cos＝

辨析感悟

1．空间向量的线性运算

（1）若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.（√）

（2）（教材习题改编）|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．（×）

（3）若a，b共线，则a与b所在直线平行．（×）

（4）对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z（其中x，y，z∈R），则P，A，B，C四点共面．（×）

2．共线、共面与垂直

（5）对于空间非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0.（√）

（6）（教材习题改编）已知a＝（2,4，x），b＝（2，y,2），若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为1或－3.（√）

（7）已知a＝（2，－1,3），b＝（－1,4，－2），c＝（7,5，λ），若a，b，c三向量共面，则实数λ等于.（√）

3．空间向量的数量积

（8）在向量的数量积运算中满足（a·b）·c＝a·（b·c）．（×）

（9）已知向量a＝（4，－2，－4），b＝（6，－3,2），则（a＋b）·（a－b）的值为－13.（√）

（10）已知a＝（1,2，－2），b＝（0,2,4），则a，b夹角的余弦值为－.（√）

[感悟·提升]

1．一种思想　理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比，如（5）．

2．两种方法　一是用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，如（5）．二是强化坐标运算，如（6）、（7）、（9）、（10）.

考点一　空间向量的线性运算

【例1】如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________________．

解析　∵＝＋＝＋

＝＋（－）＝＋－

＝＋×（＋）－×＝＋＋，

又＝x＋y＋z，

根据空间向量的基本定理，x＝，y＝z＝.答案　，，

规律方法

（1）选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用，，表示，等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．

（2）首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．

【训练1】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．设E是棱DD1上的点，且＝，试用，，表示.

解　＝＋

＝＋＝＋（＋）

＝＋＋

＝－－.

考点二　共线定理、共面定理的应用

【例2】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：

（1）E，F，G，H四点共面；

（2）BD∥平面EFGH.

证明　

（1）连接BG，则＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝＋，由共面向量定理知：

E，F，G，H四点共面．

（2）因为＝－＝－＝（－）＝，因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.

又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，

所以BD∥平面EFGH.

规律方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明＝x＋y或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z（x＋y＋z＝1）即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．

【训练2】已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝（＋＋）．

（1）判断，，三个向量是否共面；

（2）判断点M是否在平面ABC内．

解　

（1）由已知＋＋＝3，

∴－＝（－）＋（－），

即＝＋＝－－，∴，，共面．

（2）由

（1）知，，，共面且基线过同一点M，

∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内.

考点三　空间向量的数量积及其应用

【例3】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长．

审题路线　由图形折叠的相关知识得到折叠后图形中线段的位置关系和数量关系，然后用，，表示，根据||＝求解．

解　∵AB与CD成60°角，∴<，>＝60°或120°，

又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，

∴||＝＝

＝

＝

＝，∴||＝2或.∴BD的长为2或.

规律方法

（1）利用数量积解决问题的两条途径：

一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．

（2）利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题．

①a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；

②|a|＝；

③cos＝.

【训练3】如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．

（1）求证：

CE⊥A′D；

（2）求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

（1）证明　设＝a，＝b，＝c，

根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，

∴＝b＋c，＝－c＋b－a，

∴·＝－c2＋b2＝0.

∴⊥，即CE⊥A′D.

（2）解　＝－a＋c，＝b＋c，

∴||＝|a|，||＝|a|.

·＝（－a＋c）·＝c2＝|a|2，

∴cos<，>＝＝.

即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.

1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．

2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．

3．利用向量解立体几何题的一般方法：

把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．其中合理选取基底是优化运算的关键．　

方法优化6——特殊化思想在空间向量中的应用

【典例】在空间四边形ABCD中，则·＋·＋·的值为（　　）．

A．－1B．0C．1D．2

[一般解法]如图，令＝a，＝b，＝c，

则·＋·＋·

＝·（－）＋·（－）＋·（－）

＝a·（c－b）＋b·（a－c）＋c·（b－a）

＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.

[优美解法]如图，则在三棱锥A－BCD中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直．∴·＝0，·＝0，

·＝0.∴·＋·＋·＝0.

答案　B

[反思感悟]与空间几何体有关的向量运算问题，当运算的结果与几何体的形状无关时，可构造特殊的几何体（如正四面体、正方体等），利用特殊几何体的边角关系，使运算能够快速准确的解答，提高做题速度和效率．

【自主体验】（2013·北京卷）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．

解析　点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值，当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝.

一、选择题

1．在下列命题中：

①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；

②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；

③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；

④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.

其中正确命题的个数是（　　）．

A．0B．1C．2D．3

解析　a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.

2．已知a＝（λ＋1,0,2），b＝（6,2μ－1,2λ），若a∥b，则λ与μ的值可以是（　　）．

A．2，B．－，C．－3,2D．2,2

解析　∵a∥b，∴b＝ka，即（6,2μ－1,2λ）＝k（λ＋1,0,2），

∴解得或

3．（2014·济南月考）O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点（　　）．

A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断

解析　∵＝＋＋，且＋＋＝1.∴P，A，B，C四点共面．B

4．已知a＝（－2,1,3），b＝（－1,2,1），若a⊥（a－λb），则实数λ的值为（　　）．

A．－2B．－C.D．2

解析　由题意知a·（a－λb）＝0，即a2－λa·b＝0，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.答案　D

5．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是（　　）．

A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定

解析　∵M为BC中点，∴＝（＋）．∴·＝（＋）·

＝·＋·＝0.∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．答案　C

二、填空题

6．（2014·连云港质检）在空间直角坐标系中，已知点A（1,0,2），B（1，－3,1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．

解析　设M（0，y,0），则＝（1，－y,2），＝（1，－3－y,1），由题意知||＝||，∴12＋y2＋22＝12＋（－3－y）2＋12，解得y＝－1，故M（0，－1,0）．

答案　（0，－1,0）

7．若三点A（1,5，－2），B（2,4,1），C（a,3，b＋2）在同一条直线上，则a＝________，b＝________.

解析　＝（1，－1,3），＝（a－1，－2，b＋4），因为三点共线，所以存在实数λ使＝λ，即解得a＝3，b＝2.答案　3　2

8.

如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos<，>的值为________．

解析　设＝a，＝b，＝c，

由已知条件＝＝，且|b|＝|c|，

·＝a·（c－b）＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos<，>＝0.

三、解答题

9．已知a＝（1，－3,2），b＝（－2,1,1），点A（－3，－1,4），B（－2，－2,2）．

（1）求|2a＋b|；

（2）在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b（O为原点）?

解　

（1）2a＋b＝（2，－6,4）＋（－2,1,1）＝（0，－5,5），

故|2a＋b|＝＝5.

（2）令＝t（t∈R），所以＝＋＝＋t＝（－3，－1,4）＋t（1，－1，－2）＝（－3＋t，－1－t,4－2t），若⊥b，则·b＝0，

所以－2（－3＋t）＋（－1－t）＋（4－2t）＝0，解得t＝.

因此存在点E，使得⊥b，此时E点的坐标为.

10.

如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，

（1）试证：

A1，G，C三点共线；

（2）试证：

A1C⊥平面BC1D.

证明　

（1）＝＋＋＝＋＋，

可以证明：

＝（＋＋）＝，

∴∥，即A1，G，C三点共线．

（2）设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0，

∵＝a＋b＋c，＝c－a，∴·＝（a＋b＋c）·（c－a）＝c2－a2＝0，

因此⊥，即CA1⊥BC1，同理CA1⊥BD，

又BD与BC1是平面BC1D内的两相交直线，故A1C⊥平面BC1D.

能力提升题组

一、选择题

1．有下列命题：

①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；

②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；

③若＝x＋y，则P，M，A，B共面；

④若P，M，A，B共面，则＝x＋y.

其中真命题的个数是（　　）．

A．1B．2C．3D．4

解析　其中①③为真命题．答案　B

2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为（　　）．

A．a2B.a2C.a2D.a2

解析　

设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.

＝（a＋b），＝c，∴·＝（a＋b）·c

＝（a·c＋b·c）＝（a2cos60°＋a2cos60°）＝a2.答案　C

二、填空题

3.

已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，则CD的长为________．

解析　设＝a，＝c，＝d，

由已知条件|a|＝4，|c|＝6，|d|＝8，＝90°，＝90°，＝60°，

||2＝|＋＋|2＝|－c＋a＋d|2

＝a2＋c2＋d2－2a·c＋2a·d－2c·d

＝16＋36＋64－2×6×8×＝68，则||＝2.答案　2cm

三、解答题

4.

如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：

（1）·；

（2）·；

（3）EG的长；

（4）异面直线AG与CE所成角的余弦值．

解　设＝a，＝b，＝c.

则|a|＝|b|＝|c|＝1，＝＝＝60°，

（1）＝＝c－a，＝－a，＝b－c，

·＝·（－a）＝a2－a·c＝，

（2）·＝（c－a）·（b－c）＝（b·c－a·b－c2＋a·c）＝－；

（3）＝＋＋＝a＋b－a＋c－b

＝－a＋b＋c，

||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.

（4）＝b＋c，＝＋＝－b＋a，

cos<，>＝＝－，

由于异面直线所成角的范围是，

所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.

第7讲　立体几何中的向量方法

（一）——证明平行与垂直

知识梳理

1．直线的方向向量与平面的法向量的确定

（1）直线的方向向量：

l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．

（2）平面的法向量可利用方程组求出：

设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为

2．空间位置关系的向量表示

位置关系

向量表示

直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2.

l1∥l2

n1∥n2⇔n1＝λn2

l1⊥l2

n1⊥n2⇔n1·n2＝0

直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m

l∥α

n⊥m⇔m·n＝0

l⊥α

n∥m⇔n＝λm

平面α，β的法向量分别为n，m.

α∥β

n∥m⇔n＝λm

α⊥β

n⊥m⇔n·m＝0

辨析感悟

1．平行关系

（1）直线的方向向量是唯一确定的．（×）

（2）两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝（1,0，－1），v2＝（－2,0,2），则l1与l2的位置关系是平行．（√）

2．垂直关系

（3）已知＝（2,2,1），＝（4,5,3），则平面ABC的单位法向量是n0＝±.（√）

（4）（2014·青岛质检改编）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．（√）

1．一是切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异，如

（2）．否则易造成解题不严谨．

2．利用向量知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证明直线a∥b，可证向量a＝λb，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行，必需强调直线在平面外等.

考点一　利用空间向量证明平行问题

【例1】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：

MN∥平面A1BD.

审题路线　若用向量证明线面平行，可转化为判定向量∥，或证明与平面A1BD的法向量垂直．

证明　法一　如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，

N，D（0,0,0），A1（1,0,1），B（1,1,0）．于是＝，＝（1,0,1），＝（1,1,0）．

设平面A1BD的法向量是n＝（x，y，z）．

则n·＝0，且n·＝0，得

取x＝1，得y＝－1，z＝－1∴n＝（1，－1，－1）．

又·n＝·（1，－1，－1）＝0，

∴⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.

法二　＝－＝－＝（－）＝.∴∥，

又∵MN与DA1不共线，∴MN∥DA1，

又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.

规律方法

（1）恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．

（2）证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．

【训练1】（2013·浙江卷选编）如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.

证明：

PQ∥平面BCD.

证明　如图所示，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.

由题意知A（0，，2），B（0，－，0），D（0，，0）．

设点C的坐标为（x0，y0,0），因为＝3，

所以Q.因为点M为AD的中点，故M（0，，1）．

又点P为BM的中点，故P，所以＝.

又平面BCD的一个法向量为a＝（0,0,1），故·a＝0.

又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.

考点二　利用空间向量证明垂直问题

【例2】（2014·济南质检）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

（1）证明：

AP⊥BC；

（2）若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.

证明　

（1）如图所示，以O为坐标原点，以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系O－xyz.

则O（0,0,0），A（0，－3,0），

B（4,2,0），C（－4,2,0），P（0,0,4）．

于是＝（0,3,4），

＝（－8,0,0），∴·＝（0,3,4）·（－8,0,0）＝0，

所以⊥，即AP⊥BC.

（2）由

（1）知|AP|＝5，又|AM|＝3，且点M在线段AP上，

∴＝＝，

又＝（－8,0,0），＝（－4,5,0），＝（－4，－5,0），

∴＝＋＝，

则·＝（0,3,4）·＝0，

∴⊥，即AP⊥BM，又根据

（1）的结论知AP⊥BC，

∴AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.

又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BCM.

规律方法

（1）利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．

（2）其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明面面垂直：

①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．

【训练2】如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：

（1）DE∥平面ABC；

（2）B1F⊥平面AEF.

证明　如图，建立空间直角坐标系A－xyz，

令AB＝AA1＝4，

则A（0,0,0），E（0,4,2），F（2,2,0），B（4,0,0），B1（4,0,4）．

（1）取AB中点为N，则N（2,0,0），

又C（0,4,0），D（2,0,2），

∴＝（－2,4,0），＝（－2,4,0），

∴＝.∴DE∥NC，

又NC在平面ABC内，故DE∥平面ABC.

（2）＝（－2,2，－4），＝（2，－2，－2），＝（2,2,0），

·＝（－2）×2＋2×（－2）＋（－4）×（－2）＝0，

则⊥，∴B1F⊥EF，

∵·＝（－2）×2＋2×2＋（－4）×0＝0，

∴⊥，即B1F⊥AF.

又∵AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面AEF.

考点三　利用空间向量解决探索性问题

【例3】（2014·福州调研）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．

（1）求证：

B1E⊥AD1；

（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？

若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

审题路线　由长方体特征，以A为坐标原点建立空间坐标系，从而将几何位置关系转化为向量运算．第

（1）问证明·＝0，第

（2）问是存在性问题，由与平面B1AE的法向量垂直，通过计算作出判定．

（1）证明　以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）．

设AB＝a，则A（0,0,0），D（0,1,0），D1（0,1,1），E，B1（a,0,1）．

故＝（0,1,1），＝，＝（a,0,1），＝.

∵·＝－×0＋1×1＋（－1）×1＝0，

∴B1E⊥AD1.

（2）解　假设在棱AA1上存在一点P（0,0，z0）．

使得DP∥平面B1AE，此时＝（0，－1，z0）．

又设平面B1AE的法向量n＝（x，y，z）．

∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得

取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝

要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，

解得z0＝.

又DP⊄平面B1AE，

∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.

规律方法立体几何开放性问题求解方法有以下两种：

（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；

（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求