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学习”数学史选讲”这门课程,不仅可以开拓自己的视野,提高学习数学的兴趣,而且它将会对日常的数学学习起到积极的作用,对于一些重要的数学概念,通过数学史的学习加深对它们的认识和理解。
”数学史选讲”是不进入高考的,我们希望教师和学生不要以过分“功利”的眼光来看待这件事情,应该值得思考的地方是,一旦提高了学生学习数学的兴趣,增强了学习数学的动力,了解了学习数学的作用,那么他们的潜在能量是不可估量的。
二、知识结构和内容定位
1.知识结构框图
在“数学史选讲”中,选取了数学发展史上重要的并且和高中数学教学紧密联系的内容,不同的教材有不同的选择,例如,可以采取以下的选择:
第一讲,数学发展的几个重要时期
第二讲,代数学的发展
第三讲,几何学的发展
第四讲,微积分——分析的发展
第五讲,无限——集合论——数理逻辑——计算机科学
第六讲,名题赏析。
我们可以用下列框图具体表示
2.内容定位
1)在高中课程的“数学史选讲”中,一定要结合高中学生的认知水平和知
识基础。
2)在高中课程的“数学史选讲”中,不强调数学史的体系严密,可以从中
选择几个能够引起中学生兴趣的专题。
3)在高中课程的“数学史选讲”中,选材一定要生动活泼。
三、教学要求
“数学史选讲”专题不是系统地讲授数学史。
主要是结合中、小学有关的数学内容,例如,对于一些重要的数学概念,可以通过数学史的学习加深对它们的认识和理解。
也可以通过介绍相关的史料,或数学发展的梗概,提高学生对数学的价值、意义、作用的认识,激发学生学习数学的兴趣和动力。
也可以结合中学数学内容较系统地介绍一些专题。
如:
数学发展概论、几何发展史(欧式几何、非欧几何、分形几何等)、代数发展史(数与符号、方程等)、微积分等。
还可以介绍一些重要的数学问题,如:
费马大定理、欧拉公式、集合的势等,通过这些问题使学生了解数学的发展,提高学生学习数学的兴趣。
在开设“数学史选讲”的过程中,实验区大体有两种不同的讲授方式,一种是集中教学;
另一种是把“数学史选讲”的各个专题插入到日常教学中,例如,在讲授“立体几何初步”时,可以介绍几何发展史,在讲授“平面向量”时,可以介绍运算在数学发展中的作用,在讲授“导数及其应用”时,可以介绍微积分发展史以及近代分析学的一些情况,等等。
从实验区的情况来看,“数学史选讲”是一个受学生欢迎的专题,教师在教学中应认识到:
本专题可以帮助教师养成一个不断开发数学资源的习惯,使得日常教学更加丰富、生动和深刻;
本专题可以更好的把握日常教学中某些知识点的本质,以及他们在整个数学中的位置;
教师应在日常教学中,通过对每一部分数学史内容的介绍,引起学生的兴趣。
在本专题的教学中,要引导学生写好读书报告,这是提高数学素养的重要载体,希望老师在这方面要下功夫。
建议教师在条件允许的情况下,积极创造条件,开设”数学史选讲”这一课程,把他作为提升个人专业素养的一个重要渠道。
五、文献参考
[1]李文林:
数学史概论,高等教育出版社,2002
[2]李文林:
文明之光——图说数学史,山东教育出版社,2005
[3]张顺燕:
数学的源与流,高等教育出版社,2000
[4]张顺燕:
数学的美与理,北京大学出版社,2004
[5]M.克莱因:
古今数学思想,张理京等译,上海科学技术出版社,1979
[6]A.亚历山大洛夫等,数学——它的内容、方法和意义,孙小礼等译,1958
[7]M.克莱因:
现代世界中的数学,齐民友等译,上海教育出版社,2004
2.2信息安全与密码
进入21世纪,“信息”是我们听到或看到最多的词汇之一。
我们天天都在与信息打交道,比如收发信件、听报告、采集数据、看照片、影视等等,交流信息的方式也是多种多样的,如当面交谈、电话交流、发送电报、手语、旗语等.现在还可以用电子邮件、可视电话等方式来交流和传递信息.
有些信息是公开的,大家都可以知道.但是,也有一些信息是需要保密的,比如银行里的存款,仅仅希望自己人知道,不希望让“外人”知道。
政治、军事、外交、金融等活动中,信息安全更是一件特别重要的事情.
为了保证信息的安全,在信息传递的过程中,经常要使用密码,进行保密通信。
通过本专题的学习,我们将了解信息安全的基本原理、基本方法以及在社会发展中的重要意义,并了解数学在信息安全中不可替代的作用。
2.内容定位
在本专题中,以下几点是需要特别注意的。
1)认识映射(函数)在信息安全中的作用。
当甲、乙双方传递信息时,为了不使信息被第三者知道,通常的作法是用密码对信息加密。
比如,5是一个信息,甲要把5告诉乙,甲在发送信息之前,先将5加3,然后将8传输给乙。
乙收到加密后的信息8,再用8减去3就可以获取原来的信息。
加3是加密的过程,减3是解密的过程,加3和减3是甲、乙事先约定好的,这个过程可以用图示清晰地表示出来。
在解决这件事情的过程中,加密和解密是最重要的。
自古以来,人们发明了许多加密和解密的方法。
由于人们不断地寻求破译加密信息的方法,所以对密码的信息安全性能的要求不断提高。
加密和解密的方法在不断地发展。
从上图不难看出,加密的过程其实就是映射(函数)作用的过程。
加密就是把函数作用在信息上,得到函数值(加密的信息)的过程;
解密的过程其实就是函数反作用的过程,就是把函数值(加密的信息)还原成自变量的值(原来的信息)的过程。
不难看出,‘加密函数’和‘解密函数’是互为反函数的,显然,‘加密函数’是一个一一对应的映射,这样就可以保证“加得上去”也能“解得下来”。
人们希望‘加密函数’要简单,即加密要容易;
解密时,对知道密码的人要容易;
对不知道密码的人要很困难,甚至无法解密。
要得到这样的‘加密函数’和‘解密函数’,靠的是数学中函数的思想。
2)单向函数与公开密钥原理
由上可知,加密函数和解密函数是互为反函数的,即,加密函数是一个一一对应的映射,记作f,它存在反函数f-1,显然有:
f-1(f(x))=x。
如果能找到这样一种加密函数f(加密密码),即使把它公开,人们也无法在我们希望的有限时间内确定它的反函数f-1(解密密码)。
也就是说,如果我们把加密函数公开,人们也无法找到解密函数来破解密码,我们把这样的加密函数称为单向函数。
在一般的密码体制中,通讯双方要记住彼此的加密密码和解密密码。
例如,n=100个单位要相互传输信息,则每个单位都需要记住99对加密、解密的密码。
整个系统需要
(约等于5000)对加密、解密密码。
而且还常常需要更换密码,以加强保密功能。
如果单位的个数n更大,情况就更复杂。
有了单向函数就可以把加密函数(密码)公开,所有公开的加密函数编成一个加密函数(密码)本,供人们查阅。
对于100个单位只需要公开100个加密函数(密码),而每一个单位只需要记住一个解密函数(密码)就可以了。
我们把这种体制称为公开密钥体制。
公开密钥系统的具体工作原理如下:
用户A需要把信息x发给用户B,操作程序如下:
.用户A在公开的加密密码本上查找到B的加密密钥f;
.用户A用f对信息x进行加密,得到y=f(x),并将密文y发给用户B;
.用户B收到密文y,用自己的解密密钥f-1进行解密,得到
f-1(y)=f-1(f(x))=x。
这样,用户B就收到了用户A发来的信息x。
其他人即使知道密文y是发给用户B的,也能查到B的加密密钥f,但是由于从f求f-1非常困难,在需要的保密时间内是不能把y恢复成明文x的。
采用这种公开密钥体制,大大减少了每个单位保存的密钥数量,从而可以减少很多失误。
保密通信体系的信息安全水平因此大大提高。
3)在学习本专题的过程中,需要掌握常见的密码,例如,恺撒码、转置码、流密码、RSA公钥体制、离散对数公钥方案等,重要的是学会运用这些密码,但是,要想弄懂这些密码的数学原理是比较困难的事情,需用到数论的有关知识,对一般的学生,重要的是理解信息安全的基本原理。
有兴趣的同学可以进一步搞清楚这些数学原理,对于提高他们的数学素养是非常好的一种训练。
三、重、难点
本专题的重、难点是理解保密通信的基本形式和公开密钥原理。
四、教学要求
1)在本专题的教学中,应该把理解保密通信的基本形式和公开密钥原理放在重要的位置上,不要把过多的精力放在数学推导上,可以针对学生的不同情况提出不同的要求,对于感兴趣的同学可以引导他们掌握数学原理。
2)在本专题的教学中,可以设置一些活动,通过操作、实践来帮助学生理解保密通信的基本形式和公开密钥原理。
3)在本专题的教学中,对于数论的知识一定要把握好“度”,能掌握的同学就掌握,不必对全体学生作统一要求。
4)在本专题的教学中,要引导学生写好读书报告,这是提高数学素养的重要手段,希望老师在这方面要下功夫。
[1]闵嗣鹤严士健:
初等数论(第三版),高等教育出版社,2003
[2]万哲先刘木兰:
谈谈密码,人民教育出版社,1985
[3]冯克勤:
初等数论及应用,北京师范大学出版社,2003
[4]COMAP:
数学的原理与实践,申大维等译,高等教育出版社和施普林格出版社,1998
[5]谈祥柏:
编码纵横谈,上海教育出版社,1999年
2.3球面上的几何
我们生活在地球上,地球是个球体,现实生活中也有许多球体,很自然的,我们需要了解球体的几何性质,也需要了解球面上图形的几何性质。
这些性质的讨论对于航空、大地测量、宇宙飞行等方面的研究是有重要意义的。
在17世纪前后,球面几何就已经成为人们关注的一个研究方向。
球面几何讨论的问题是球面上点、线的位置关系、度量关系和其他的几何性质。
所以,了解和掌握一些基本的球面几何的性质,对于学习和生活都是十分有益的。
在中小学的数学学习中,我们更多接触到的是“直的东西”,例如,直线、平面,等等,用代数的语言来说,这些是“线性的东西”,例如,二元一次方程、线性方程组,等等。
当然我们也学习了一些“弯曲的东西”,例如,圆、椭圆、抛物线、双曲线,等等,用代数的语言来说,这些就是一元二次方程、二元二次方程,等等。
通过学习球面几何可以提高空间想象能力,前面我们曾经说过空间想象能力、几何直观能力、空间洞察力等等,这些都是非常重要、非常基本的能力,几何课程的目标之一就是要培养学生的这些能力,球面几何是一个很好的载体。
本专题利用综合法来研究球面几何。
基本的想法是,把球面几何与平面几何进行类比。
我们希望学生能很好地用类比的方法,来学习球面几何。
平面几何的性质是我们所熟悉的,我们希望学生通过不断体会球面和平面上图形性质的差异:
哪些是相同的?
哪些是不同的?
在类比的过程中来逐渐感受产生这些差异的本质原因。
球面几何是与平面几何不同的数学模型。
它们都有着广泛的应用。
通过本专题的学习应认识到,几何中存在着不同的几何模型,初步认识到可以有不同的非欧几何,它们是有意义的。
和平面几何的类比:
1)学习平面几何的基本思路是综合几何和图形运动,这也是学习球面几何的基本思路,但是还需要有很好的空间想象力。
例如,计算以北京、上海、重庆为顶点的球面三角形的边长和面积,需要根据空间想象力画出空间图形(如下图所示)
2)球面几何的基本概念可以类比平面几何给出
平面上两点的距离:
过这两点之间的线段长度。
球面上两点的距离:
通过A、B两点的大圆上以A、B为端点的劣弧的长度。
对于球面上的任意两点,在数学上可以严格证明过这两点的大圆的劣弧长度是最短的。
应该把大圆上这段劣弧的长度看作是这两点的距离。
(如图所示)
平面直线:
直线没有端点,向两个方向无限延伸。
球面直线:
过球面上两点A、B的大圆叫作过A、B两点的球面直线。
大圆是封闭的、有限的。
平面上的线段:
直线上两点以及这两点之间的部分。
球面上的线段:
过球面上两点A、B的大圆的劣弧叫做连接A、B两点的线段。
平面角:
过平面上一点A的两条射线AB、AC形成的图形叫做角。
球面角:
从球面S上的一点出发的两条大圆半弧所构成的图形叫做球面角。
平面三角形:
在平面上,如果三点不在同一条直线上,那么连结三点的线段组成的图形叫做三角形.
球面三角形:
在球面S上,如果三点不在同一个大圆上,并且三点中没有对径点,那么由连接三点的大圆的劣弧组成的图形叫做球面三角形。
3)球面几何的基本结论可以类比平面几何得到
相同的性质:
两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
边角关系:
大角对大边;
大边对大角
三角形的全等的判定:
SSS,SAS,ASA
不同性质:
平面上的任意两条直线相交或平行。
球面上任意两条直线都相交。
平面三角形的内角和等于180度。
球面三角形的内角和大于180度。
平面三角形相似的判定:
AAA。
球面三角形全等的判定:
平面三角形的余弦定理:
球面三角形边的余弦定理:
平面三角形的正弦定理:
球面三角形的正弦定理:
重点:
在球面上建立基本概念
难点:
极三角形和三角形的面积定理
1.在讲授球面几何时,要先复习平面几何的有关知识。
2.在讲授球面几何中的概念、性质时,要与平面几何中的概念、性质作类比。
并且这种类比的方法要贯穿整个球面几何教学的始终。
3.在球面几何的教学中,几何直观,画图的习惯、实物操作、信息技术等,都是帮助学生建立空间想象力的方法。
[1]项武义:
基础几何学,人民教育出版社,2004
[2]项武义王申怀潘养廉:
古典几何学,复旦大学出版社,1986
2.4对称与群
“对称现象”是现实生活中最常见的现象,例如,建筑物的对称性,生物的对称性,化学结构和物理结构的对称性,各种图案的对称性,等等。
根据丰富多彩、各式各样的对称形态;
人们受到启发,创造出了各种各样的对称图形。
如何从数学上来刻画这些“对称现象”呢?
“对称”的数学背景是什么呢?
“群”就是刻画对称现象的数学概念,“群”是描述对称的数学工具,群是现代数学中最基本、最重要的概念。
“群”产生于用根式求解方程的问题,它在整个数学的发展史上有着重要的意义。
了解一些群的概念对于学生未来的发展是非常有益的。
我们可以通过丰富的对称几何图形,使学生对变换,特别是对称变换,变
换的合成等,有所认识和理解,在此基础上,让学生体会和感受“群”意义。
1)本专题首先给出大量的图形,特别是对称图形。
让学生认识到在自然
界存在着大量的对称现象。
然后让学生从直观上认识到不同图形的对称性是有差异的。
从而产生问题:
如何描述具有不同对称性的图形?
2)先从具体的图形出发,例如,正三角形、正方形、正五边形等,先引入学生熟知的对称变换:
轴对称变换。
通过对它的分析,再针对不同图形,引入反射、平移、滑动反射这几种对称变换。
3)再从一个图形对称变换的多少来说明该图形对称性的‘好坏’。
即,认为一个图形的对称变换越多,它的对称性越好。
4)进而针对一些具体的对称图形,讨论这些图形的对称变换之间的关系。
引入对称变换合成的概念,给出变换的乘法运算。
分析这种乘法运算的性质。
并讨论变换的逆变换。
在此基础上,说明一个图形的全体对称变换的特性,给出该图形对称变换群的概念。
认识对称变换与对称变换的合成,在此基础上形成群的概念。
群的一般概念。
在对称与群的教学过程中,一定要强调从具体图形的对称到抽象的群的
一系列研究过程,分别是:
1)具体的对称图形到具体的对称变换
2)从具体的平面对称变换到平面的一般对称变换
3)从对称变换到对称变换合成
4)从对称变换的合成到建立平面对称变换群
5)从平面对称变换群到群的抽象定义
教师在教学的过程中要注意展示这5个过程,这样就可以给学生一个清
晰的认识群的思路,更能加深学生对与群这样一个抽象概念的理解。
[1]段学复:
对称
[2]H.外尔:
对称,冯承天等译,上海科技教育出版社,2002
[3]COMAP:
2.5欧拉公式与闭曲面分类
一、背景
分类是数学的基本思想,例如,用未知数的次数来对方程进行分类,用边
数来对平面上的图形进行分类,用群、环、域来对代数结构进行分类。
几何学的主要任务之一也是对图形进行分类。
按照不同的原则可以得到不同的分类,例如,利用全等可以对图形分类、利用相似可以对图形分类、利用保距变换也可以对图形进行分类,我们还可以找出对于曲面的分类方法。
当我们把一个图形做变换时,这个图形的一些性质可能不再保持。
例如,考虑下面一个圆和圆中两条相互垂直的直径。
我们把它压缩,如图:
压缩后,圆变成了椭圆,圆心到圆上的距离相等这一性质不再成立,两条直径也不再垂直。
好像原来图形的性质都不再保持了。
但是,还是有一些性质没有改变。
例如,直线仍变为直线,原来的两条直径的交点仍是这两条直线段的中点。
那些在变换下保持不变的性质,看来是图形更本质的性质。
给定一类变换,我们可以问,在这类变换下,几何图形的哪些性质保持不变,这些保持不变的性质构成了和这类变换相关的几何。
这种按几何不变性(和不变量)来对几何分类的思想,是现代几何学重要的思想。
而过去我们基本上是按研究方法来对几何学进行分类的。
如,综合几何、解析几何。
中学学过的欧拉公式在许多变换下是不变的。
特别是,它在一种十分一般的变换下不变。
这种变换只要求:
变换是一一对应的(因此它有逆变换)且变换和逆变换都是连续的。
换句话说,我们可以任意地拉伸、扭曲几何图形,只是不许把图形撕裂,也不许把图形中不同的部分粘合在一起。
这种变换在数学上叫做拓扑变换。
拓扑学和代数学一样,是现代数学的基础。
在本专题中,我们希望学生通过欧拉公式的讨论,对拓扑变换的思想有一点体会,了解用不变性和不变量对几何图形分类的想法。
1)欧拉公式及其证明
通过合情推理,由大量凸多面体图形归纳而得到欧拉公式:
面数-边数+点数=2,我们发现,当把图形拉伸变形时,欧拉公式不会改变。
在此基础上,我们可以给出欧拉公式的证明。
2)还有哪些图形满足欧拉公式
如图所示,把一个多面体放进一个球的内部,在多面体中找一个点,然后向外作射线,则每个点都能映在球面上,就好像往多面体内吹气,最后这个多面体就变得跟球“差不多”了。
利用这种方法可以给出欧拉公式的不同证明。
除了凸多面体,还有一些空间图形,例如,蹄形磁铁(如图所示),也满足欧拉公式。
事实上,欧拉公式在拓扑变换下是不变的。
两个图形,如果存在一个拓扑变换把其中的一个变为另一个,就称这两个图形是‘同胚’的。
我们可以得到这样的结论:
球面满足欧拉公式
凡是和球面同胚的多面体都满足欧拉公式。
3)有没有不满足欧拉公式的图形
如图所示
这个掏空的长方体与“游泳圈”同胚。
由于“游泳圈”无法和球面同胚,这个“长方体”不满足欧拉公式,即,凡是和“游泳圈”同胚的多面体都不满足欧拉公式。
4)欧拉示性数
由上可以看出,同是闭曲面却存在着本质的不同。
为了对闭曲面进行分类,我们讨论了亏格和欧拉示性数的概念。
5)几何直观和函数思想
几何直观是本专题的核心。
能够很好的把握图形的能力也是我们设置
本专题的目的之一。
教师需要帮助学生建立几何直观的能力。
拓扑变换的思想也就是函数思想,它贯穿在本专题的始终。
另外,如前所述,本专题体现的分类思想,对几何来说是本质的,是需要教师和学生深切体会的重要思想。
重点和难点:
发现欧拉公式和证明欧拉公式的过程。
建立拓扑变换的概念
1.把合情推理和演绎推理有机的结合起来
发现欧拉公式的过程是一个合情推理的过程,证明的过程是一个演绎推理的过程,希望同学们在这个过程中去体会这两种推理的关系。
2.在教学过程中,帮助学生通过直观感知、操作确认、思辨论证、拓展应用的过程来学习这部分内容。
3.在教学过程强调空间想象能力,是这部分教学的重要环节。
4.在教学过程中,应该帮助学生拓展视野,了解这部分内容在数学发展中的作用,体会数学文化的意义
5.帮助学生写好读书报告。
[1]R.