二次函数.docx

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二次函数

二次函数

1.如图,顶点为P（4,−4）的二次函数图象经过原点（0,0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON。

（1）求该二次函数的关系式；

（2）若点A的坐标是（6,−3），求△ANO的面积；

（3）若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：

①证明：

∠ANM=∠ONM；

②△ANO能否为直角三角形?

如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由。

2.已知二次函数y=ax2的图象经过点（2,1）.

（1）求二次函数y=ax2的解析式；

（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A（x1、y1）、B（x2、y2）两点。

①当m=3/2时（图①），求证：

△AOB为直角三角形；

②试判断当m≠3/2时（图②），△AOB的形状，并证明；

3.如图,一次函数y=−12x+2分别交y轴、x轴于A. B两点,抛物线y=−x2+bx+c过A. B两点。

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N.求当t取何值时，MN有最大值?

最大值是多少?

（3）在

（2）的情况下，以A. M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标。

4.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A. B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为（3,0）,与y轴交于C（0,−3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点。

（1）求这个二次函数的表达式。

（2）连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?

若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大?

求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积。

5.如图,抛物线y=−

x2+

x+2与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,点D与点C关于x轴对称,点P是

x轴上的一个动点,设点P的坐标为（m,0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.

（1）求点A.点B.点C的坐标；

（2）求直线BD的解析式；

（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；

（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形?

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

6.如图,已知点A的坐标为（−2,0）,直线y=−

x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C,连接AC,顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A.B. C三点。

（1）请直接写出B. C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；

（3）设点M是线段BC上的一动点,过点M作MN∥AB,交AC于点N,点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动,运动时间为t（秒）,当t（秒）为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形?

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，抛物线

C1：

y=－

x²＋bx+c过A、B两点，与x轴另一交点为C.

（1）求抛物线解析式及C点坐标；

（2）向右平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2恰好经过△ABC的外心，抛物线C1，C2相交于点D，求四边形AOCD的面积；

（3）已知抛物线C2的顶点为M，设P为抛物线C1对称轴上一点，Q为抛物线C1上一点，是否存在以点M，Q，P，B为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，直接写出P点坐标；不存在，请说明理由.

8.已知抛物线y=a（x+3）（x−1）（a≠0）,与x轴从左至右依次相交于A. B两点,与y轴相交于点C,经过点A的直线y=−

x+b与抛物线的另一个交点为D.

（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；

（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A.B. P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；

（3）在

（1）的条件下,设点E是线段AD上的一点（不含端点）,连接BE.一动点Q从点B出发,沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒

个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少?

9.如图,直线y=−

x+2

与x轴,y轴分别交于点A,点B,两动点D,E分别从点A,点B同时出发向点O运动（运动到点O停止）,运动速度分别是1个单位长度/秒和

个单位长度每秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F.

（1）求点A，点B的坐标；

（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；

（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由。

（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形?

若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

10.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线C1:

y=

x2+6x+2的顶点为M,与y轴相交于点N,先将抛物线C1沿x轴翻折,再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2:

直线l:

y=kx+b经过M，N两点。

（1）结合图象,直接写出不等式

x2+6x+2

（2）若抛物线C2的顶点与点M关于原点对称,求p的值及抛物线C2的解析式；

（3）若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后,与

（2）中的抛物线C2存在公共点，求3−4q的最大值。

11.如图,已知点A（0.1），B（0，﹣1），过点A任作直线交抛物线y=

x2于P，Q两点。

（点P在第二象限）

（1）求证：

∠ABP=∠ABQ；

（2）若∠PBQ=60∘，求点Q的坐标。

12.已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4.

（1）求过A.B. C三点的抛物线的解析式；

（2）设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；

（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形?

若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；

（4）设点M是x轴上的动点，试问：

在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A.B. M、N为顶点的四边形是菱形?

若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由。

13.如图①,抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，直线y=−x+2经过A，C两点，且AB=2.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线DE平行于x轴,并从点C开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴负半轴方向平移,且分别交y轴、线段BC于点E,D两点,同时动点P从点B出发,向BO方向以每秒2个单位长的速度运动（如图②）,连接DP,设点P的运动时间为t秒（t<2），若以P，B，D为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值；

（3）在

（2）的条件下，若△EDP是等腰三角形，求t的值。

14.如图,抛物线与直线相交于A,B两点,若点A在x轴上,点B的坐标是（2,4）,抛物线与x轴另一交点为D,并且△ABD的面积为6,直线AB与y轴的交点的坐标为（0,2）.点P是线段AB（不与A,B重合）上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线与点Q.

（1）分别求出抛物线与直线的解析式；

（2）求线段PQ长度的最大值；

（3）当PQ取得最大值时,在抛物线上是否存在M、N两点（点M的横坐标小于N的横坐标），使得P、D. M、N为顶点的四边形是平行四边形?

若存在，求出MN的坐标；若不存在，请说明理由。

15.如图,抛物线y=−

x2+bx+c与x轴交于A（−1,0）,B（5,0）两点，过点B作线段BC⊥x轴，交直线y=−2x于点C.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求点B关于直线y=−2x的对称点B′的坐标,判定点B′是否在抛物线上，并说明理由；

（3）点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段B′C于点D，是否存在这样的点P，使四边形PBCD是平行四边形?

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

16.如图1,直线l:

y=x+3与y轴交于点A,过点A的抛物线y=（x+1）2+k与另一抛物线y=（x−h）2+3+h（h≠1）交于点C，这两条抛物线的顶点分别为B，D.

（1）求k的值；

（2）判断点B和点D是否在直线l上，并说明理由；

（3）用含h的代数式表示点C的橫坐标；

（4）当∠ACD=90∘时,求h的值;并直接写出当∠ACD>90∘时h的范围（图2供参考）.

17.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点A. B坐标分别为（−1,0）,（−3,0）,抛物线与y轴交点C为（0,3）.

（1）求抛物线解析式并指点D的坐标；

（2）点P是抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度以抛物线顶点D出发向上运动，设点P运动时间为t秒。

①当△PAC周长最小时，求t值；

②当t=___时，△PAC为是以AC为腰的等腰三角形；

③点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形?

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

18如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（−1,0）和点B（3,0）.

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）若点P在直线x=2上运动，当点P到直线AD的距离d等于点P到x轴的距离时，求d得值；

（3）如图2,直线AC:

y=−x+m经过点A,交y轴于点C.探究：

在x轴上方的抛物线上是否存在点M,使得S△CDA=2S△ACM?

若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由。

19.如图,已知抛物线的方程C1:

y=−1m（x+2）（x−m）（m>0）与x轴相交于点B. C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧。

（1）若抛物线C1过点M（2,2），求实数m的值；

（2）在

（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在

（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；

（4）在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F，使得以点B.C. F为顶点的三角形与△BCE相似?

若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。

20.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（-2，0），（6，-8）.

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；

（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线1交于点Q.试探究：

当m为何值时，△OPQ是等腰三角形.