电磁场与电磁波答案第四版谢处方.docx

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电磁场与电磁波答案第四版谢处方

（4）由cos。

”=||||=—=_]得趴r=cos-1（—）=135.5

曲|A||B|714x717V238朋>/238

..,,z.A^B11

A在B上的分呈4=\A\COS0A[）==

（5）

（6）

AxC=

（7）

由于BxC=

1=ev8+ev5+^.2O

一2

第一章习题解答

1.1给定三个矢量4、〃和C如下：

A=er+ev2-e.3

B=-ev4+e,

C=05-W.2

■'z

求：

（1）“l;kM：

（3）a・B；（4）0\b：

（5）A在B上的分量：

（6）AxC：

（7）A>（BxC）和（Ax〃）・C：

（8）（AxB）xC和Ax（BxC）」

Acx+ev2—e.3123

解⑴“「PT*+22+（_3）27為《而7而

（2）\A-B\=|（ex+e>.2-e.3）-（-ey4+e.）|=|et+e、6_e：

4|=>/53⑶A・B=（S+©.2-e：

3）・（_e、.4+ej=-ll

A・B—1111

AxB=

所以

（8）

（AxB）xC=

务SJ

一10-1一4

50—2

=er2-ev40+e,5

Ax（BxC）=12一3=ex55-e,44-eA1

8520

1.2三角形的三个顶点为£（0,1,-2）、P2（4,1,-3）和召（6,2,5）o

（1）判断\P\PR是否为一直角三角形：

（2）求三角形的而积。

解

（1）三个顶点片（0,1,-2）、§（4,1,一3）和$（6,2,5）的位置矢量分别为rx=ey-ez2tr2=ex4+ev-e：

3,r3=ex6+ey2+ez5

则心=ri~r\=ex4~e：

fRi3=r3~r2=ex2+ev+e：

R3i=斤_尸3=_乞6_8・_冬7

由此可见

R$Ry=（cx4—e.）®（^x2+ey+0.8）=0故厶RPR为一直角三角形。

（2）三角形的面积S=l|心x心|=丄區丄卜區』=丄庐xJ丽=17.13

222

13求P（—3丄4）点到卩（2,-2,3）点的距离矢量R及/?

的方向。

解rF.=一乞3+匕+—4,rP=ex2-ey2+e.3,

则Rp・p=「p-rpf=ex5_ey3_◎

且Rp・p与x、y、z轴的夹角分别为

=32.31°

e、・R

=120.47

解的火如为&AB=cos"（

-31

）=cos_,（wtw）=13r

1-1/y-1

0、=cos（）=cos

旳0I

=99.73°

心。

「（後严c。

「（—尙

1.4给泄两矢^A=ex2+ev3-e:

4和B=乞4一e、5+e：

6,求它们之间的夹角和并在〃上的分量。

“

B-31

4在B上的分量为Ar=A>—==

|5|-./77=-3-532

1.5给定两矢虽:

A=ex2+ev3-e：

4和B=-ex6-eA+e：

求AxB在C=乞一®,+0.

上的分量。

解AxB=23-4=-er13+ev22+eJ0

-6-41

所以AxB在C上的分量为（AxB）c・=（K"=_寻=_14.43

1.6证明：

如果a.B=A.C和AxB=AxC，则B=C：

解由AxB=AxC>则有Ax（AxB）=Ax（AxC）>即

（A・B）A-（A）B=（A・C）A-（A・A）C由于A^B=A于是得到（A^A）B=（A^A）C故B=C

1.7如果给左一未知矢量与一已知矢量的标量枳和矢量积，那么便可以确龙该未知矢量。

设4为一已知矢量，p=A^X而/>=4乂*，〃和p已知，试求x。

解由P=AxX^有

AxP=Ax（AxX）=（A^X）A—（A*A）X=pA—（A^A）X

v_pA-AxP

1.8在圆柱坐标中，一点的位置由（4,空,3）泄出，求该点在：

（1）直角坐标中的坐标;

（2）球坐标中的坐标。

解

（1）在直角坐标系中x=4cos（2;r/3）=-2、y=4sin（2;r/3）=2、z=3

故该点的直角坐标为（-2,2丁了,3）。

（2）在球坐标系中r=^/42+32=5'6>=tan'（4/3）=53.1°'0=2;r/3=12（T

故该点的球坐标为（5,53.1°,120°）

1.9用球坐标表示的场空，

（1）求在直角坐标中点（-3,4,-5）处的|£|和E,;

<2）求在直角坐标中点（-3,4,-5）处E与矢^.B=ex2-ev2+ez构成的夹角。

解

（1）在直角坐标中点（一3,4,-5）处，厂2=（-3）2+4,+（-5）2=50，故

故E与B构成的夹角为&EB=COsT（・）=COS

1.10球坐标中两个点（胡妙）和（魄妙）定出两个位置矢量&和R"证明&和&间夹角的余弦为■°

cos/=cosqcos02+sinQsin02cos（g—0）解由R、=0占sinqcos0[+evi\sin^sin^+ej]cos^

R2=exr2sinC、cos^2+evr2sin0^sing+e,r2cos3

R.R

得至ljCOS/=|，=

sinqcos©sin02cos0+sinsingsin02sin0+cos0Xcos02=

sin0xsinQ（cos©cosg+tsingsin^2）+cos^cosg=

sin0xsincos（g-0）+cosqcosg

1.11一球而s的半径为5,球心在原点上，计算：

C©3sin&）・dS的值。

解g©3sin&）・dS=§©3sin0）-erdS=j胡3血<9x5?

sinOdO=75，

SSoo

1.12在由r=5.z=o和w=4圉成的圆柱形区域，对矢^A=err2+e:

2z验证散度定

理。

所以

故有

在圆柱坐标系中VM=-—（/r2）+—（2乙）=3r+2

rdrdz

42打5

Jv.Adr=Jdzjd^j（3r+2）rdr=1200^

rooo

§A・dS=§（ef.r2+e:

2z）

42JT52ff

Jj5‘x5d0dz+JJ2x4rdrd^=1200^-oooo

Jv.Adr=1200^=^A.dS

求⑴矢MA=^vx2+evxy+e^xyz的散度；⑵求A对中心在原点的一个单位立方体的积分：

（3）求a对此立方栋表而的积分，验证散度定理。

解⑴“=空2+空卫+巩24心％'）=2x+2巧+72巧2/

1.13

（2）

（3）

故有

1.14

分。

dxdydz

1/21/21/21jV>Adr=jjj（2x+2x2y+12x2y2z2）xdydz=—r-i/2-1/2-i/224

4对此立方体表而的积分

1/21/21/21/2]

4A・dS=门（—fdydz-门（--）2dydz+

5-1/2-1/2°-1/2-J/2'

1/21/2]1/21/2]

门2x2（-）2dxdz-门2x2（-—）2dxdz+

-1/2-1/22-|/2-1/22

】/21/2[1/21/2]i

JJ24x2y2（-）3dxdy-jJ24x2y2（--）3dxdy=—

-1/2-1/2L-1/2-1/2/"

fV*Adr=—=出4・dS

{24I

il•算矢量j•对一个球心在原点、半径为“的球表面的积分，并求对球体积的积

28R

扣・dS=杯叫dS=|d0jaa，sin&d&=4;rd

ssoo

又在球坐标系中，Vt=4—（A）=3>所以

r2dr

V»rdr=j'sin&d厂d0d0=4/r“、

■•000

1.15求矢^A=exx+evx2+e:

y2z沿小平而上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。

再求▽xA对此回路所包囤的曲而积分，验证斯托克斯左理。

2222

A*dZ=Jxdx-j\dx+J2,dy-JOdy=8

C0000

所以

故有

1.16

分。

VxA=

dd_dydz

=ex2yz+ez2x

JVx4・dS=j|（ev2yz+e.2x）^erdxdy=8soo

#A*d/=8=|VxA*dS

求矢MA=eAx+ev^2沿圆周疋+b=/的线积分，再计算VxA对此圆而积的积

ff2jT4

（JA*d/=

亡c叮4

VxA*dS=je.—-d5=Jy2dS=JJr2sin2QrdQdr=^~~

sdxdy$oo4

1.17证明：

（1）v>l?

（2）PxR=0；（3）V（A>7?

）=A<>其中R=exx+e,y+e:

z>A为一常矢量。

解

（1）

/尺=竺+空+竺=3

dxdydz

（2）

VxZ?

~dy

设A=exAx+evAy+ezAz,则A^R=Axx+Avy+Azz»故

V（A・R）=gv—（Arx+A.,v+A.z）+e..一（Axx+A..y+A.z）+

dx'-dy

ez—（+71vy+Azz：

）=exAx+es.Av+ezA：

1.18

一径向矢量场F=eJ3表示，如果▽・F=0,那么函数/（'•）会有什么特点呢?

解在圆柱坐标系中，由V>F=i—[r/（r）J=0

rdr

可得到

=-C为任意常数。

在球坐标系中，由

可得到

V.F=4^-[r2/（r）]=0

rdr

1-19给泄矢量函数E=exy+e^x,试求从点片（2,1,-1）到点匕（&2,-1）的线积分Jf.d/：

（1）沿抛物线X=y2：

（2）沿连接该两点的宜线。

这个E是保守场吗？

jE»dl=dx+Evdy=Jydx+xdy=

ccc

Jyd（2y2）+2y2dy=j6y2dy=l4ii

（2）连接点片（2丄-1）到点马（&2,-1）直线方程为

x-6y+4=0

x—2x—8

y_1y-2

故J=JExdx+Evdy=jyd（6y-4）+（6y-4）dy=J（12y-4）dy=14

cc]J

由此可见积分与路径无关，故是保守场。

120求标虽:

函数^=x2yz的梯度及严在一个指泄方向的方向导数，此方向由单位矢量

345

e—=+€^,—=+€,—=定出：

求（2,3,1）点的方向导数值。

v>/50y>/50z>/50

oxdyoz

ex2xyz.+eyx2z+ezx2y

345

故沿方向®=e0—j=+s—的方向导数为

'Xy/50yy/50^^50

6屮Gxyz4a2z5x2y

=vwy=:

|1dlzV50750750

点（2,3,1）处沿勺的方向导数值为

361660112

试dAdA.

5=竺+一

dxdy

1.21

=++=

采用与推导直角坐标中

•坐相似的方法推导圆柱坐标下的公式dz

LA10,人\°比加

v>A=（Mr）++—。

rdrrd（ffdz

解

的通量为

在圆柱坐标中，取小体积元如题1・21图所示。

矢量场4沿勺方向穿出该六而体的表而

"士

JMl0Z

go"工

2（厂+3）4咖-JJAr\rr（\rd（!

）

[（r+Ar）Ar（r+△八0z）—Mr（r,0z）]△竝aArA^z=-°"月」△r

同理

r^lrz+Az

d/dz-JJ

d4dA

[AJ匚©+\札z）一州（r,0、z）JArAz*—-ArA^Az=—Ard（/>rd（/>

r+ArO+A0

JMl

r+Ar幽*z+j・d/・d0-JJAJr0

6AdA

[A"0Z+Az）-A（匚0,z）]z•△/•△竝a—广△广△竝=—Ardzdz

矢量场A穿岀该六而体的表而的通量为

1d（rA）dA.dA

rorro（pdz

故得到圆柱坐标下的散度表达式V・4==l空勺丄+叫+竺

rdrrd（f）dz.

因此,

i.22方程h=4+4+4给出一椭球族。

求椭球表而上任意点的单位法向矢量。

a2b2c2

解由于

Vu=ex=4+ey^-+ez^-

trlrl

|Vn|=2J（4）2+（^）2+（4）2

Vcrc

故椭球表而上任意点的单位法向矢量为n=^j=（e^+e'V+e4）/J$）2+（讦+（右），现有三个矢量a、B'C为

A=ersin^cos（/>+e&cos0cos°一％sin0B=erz2sin（fi+e^z2cos（/>+e:

2/7sin（/）C=ev（3y2-2x）+eyx2+e.2z

哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示臥哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表

1-23

（1）

示？

（2）

解

（1）在球坐标系中

5=4£（包）+七舊（sin%°）+七警二

厂drrs\nOc6rsin&c（p

丄2（尸sin&cos0）+—!

（sin0cos0cos0）+—!

（-sin。

）=

rdrrsin0cOrsin0d（/>

求出这些矢量的源分布。

rdr

2sin&cos0+

cost/）2sincos

rsin^/•

COS0_0

rsin<9

ree厂sin%。

VxA-,°

r2sin

d0d（j）

kAqrsinOA^

erre6

rsin0e6,

—0

r2sin0\

drde

sin0cos（/）rcos0cos（/）

-rsin^sin^

故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示:

在圆柱坐标系中

竺昭）+丄翌+退

rdrrd（j）dz

（rz2sin0）+（z2cos0）+—（2rzsin^）=rdrr60dz

「1

te0

VxB=-

rBe

Z2sin^2cos^2rzsin^

故矢量b可以由一个标量函数的梯度表示;直角在坐标系中

勿dz.

—（3b_2x）+—（F）+f（2z）=0oxoydz

VxC=

3八2乂

dydzx12z

=ez（2x-6y）

故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。

（2）这些矢量的源分布为

▽•4=0>VxA=0*

VeB=2rsin^>VxB=0：

V<=0>VxC=e.（2x-6刃

1.24利用直角坐标，证明

V.（/4）=/V.A+A>V

解在直角坐标中

门以+£可=/（0+少+挙）+以乞+人乞+4生）=oxdyozoxdyoz

（/坐+4旦）+（/坐+人生）+（/坐+A_dxxdx6'dydz、

二（凤.）+二（凤.）+二（凤）=V-（.M）

OX內OZ

1.25证明

▽•（AxH）=xA-ANxH

解根据▽算子的微分运算性质，有

V.（AxH）=Va.（AxH）+Vh.（AxH）

式中v4表示只对矢量A作微分运算，J表示只对矢量H作微分运算。

由（/•（bxc）=c^axb）,可得

V4^AxH）=H・（JxA）=/7

同理

故有

1-26

解在直角坐标中

用G=%（詈-讐）+e,（嚳-讐）+e严

—［也舟7荻g鲁一唱）+g务G詈）］所以

）1

/VxG+WxG=e」（Gg+/^）-（Gg+/%+

'oydydzoz

Vx（/G）=/VxG+VfxG

eg型+/些）—（G旦+/理沪

'dxJdxx①dy

6（/q）6（/gj6（/gj8（/Gj

vdydzvdz.dx

e.f"J—C|/（L2］=Vx（/G）6xdy

1.27利用散度定理及斯托克斯泄理可以在更普遍的意义下证明Vx（V//）=0及V.（VxA）=O,试证明之。

解

（1）对于任意闭合曲线c为边界的任意曲而S，由斯托克斯左理有

J（VxVn）*dS=^Vz/*d7=§号d!

=£d“=0

由于曲而s是任意和故有C

Vx（Vw）=0

（2）对于任意闭合曲而S为边界的体积了，由散度定理有

JV.（VxA）dr=^（VxA）.d5=j（VxA）.dS+|（VxA）k1Srs

有

J（VxA）>dS=^A>dZ

s2c2

则有

C]Q

+^A*d/=0

其中5和S2如题1.27图所示。

由斯托克斯左理，

J（VxA）.ciS=^A.d/,

s’G

由题1.27图可知C^C2是方向相反的同一回路，所以得到j0・（0xA）dr=Cq・cW+CA・d/=—^）A*d/

TC]c、C；

由于体积r是任意的，故有V.（VxA）=0

二章习题解答

2.1一个平行板真空二极管的电荷体密度为

q=式中阴极板位于乳=0,阳极板位于

x=d'极间电压为Uo。

如果Uo=40Vnd=1cm、横截而s=10cm2‘求：

⑴x=0和尢=d区域的总电荷量Q；

（2）x=d/2和x=〃区域的总电荷量Q'。

（1）<2=jpdr=J（--唧严严）Sdx=—上qSS=-4.72xlO""C

r093d

（2）

2.2

质子束,

解

2/=fpdr=J（—矿（如中严）Sdx=-亍1-乖）詛S=-0.97xl0』C一个体密度为p=2.32xlO-7C/n?

的质子朿，通过1000V的电压加速后形成等速的质子束的电荷均匀分布，朿直径为2mm，朿外没有电荷分布，试求电流密度和电流。

质子的质量加=1.7x10-27kg、电S^=1.6x10-,9C-由

12和

—=qU

v=y/2mqU=1.37xl06m/s

J=pv=0.318A/nr

求球的电流密度。

解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。

设球任一点P的位巻矢量为/•，且7•与Z轴的夹角为°,则P点的线速度为

/=J^（J/2）2=1O-6A

转,

球的电荷体密度为

一个半径为a的球体均匀分布总电荷量为。

的电荷，球体以匀角速度e绕一个直径旋

v=fi,xr=e^rsin^

故J=pv=——corsin0=e.rsin0

°4兀//3-4^73

2.4一个半径为"的导体球带总电荷疑为0,同样以匀角速度血绕一个直径旋转，求球表面的而电流密度。

解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。

设球面上任一点p的位置矢量为/•・且r与z轴的夹角为e，则p点的线速度为

v=fijxr=00。

。

sin8

球而的上电荷而密度为

4加

£右coasin0=e.

4加°

纟isin&

4兀a

2.5两点电荷（h=8C位于z轴上乙=4处，O=-4C位于y轴上y=4处，求（4,0,0）处的电场强度。

解电荷如在（4,0,0）处产生的电场为

E_⑷厂_斤_2乞4_《4

14隔|一町f碣（4>/2）3

电荷（/1在（4,0,0）处产生的电场为

E_的1®4_ev4

24^（J|r-r；|3码（4>/5?

故（4,0,0）处的电场为

c+匕—

E=E.+E.=-__^―

-32屁勺）

2.6一个半圆环上均匀分布线电荷Q,求垂直于圆平而的轴线上£=（i处的电场强度E（0,0,“），设半圆环的半径也为"，如题2.6图所示。

解半圆环上的电荷元门d/'=在轴线上z=a处的电场强度为

4矶（屈）3Plez-（scos0+e、.sin0'）

；°

在半圆环上对上式积分，得到轴线上Z=a处的电场强度为

E（0,0,a）=JdE=

872^4-2>8屁张

2.7三根长度均为厶，均匀带电荷密度分别为几、几2和卩3地线电荷构成等边三角形。

设Pn=2^2=2/?

/3,计算三角形中心处的

电场强度。

题2.7图

解建立题2.7图所示的坐标系。

三角形中心到各边的距离为

E,=匕卩二・（cos30-cosl50）=q""

1'4阻d'2隔L

E,=-（^Tcos30+evsin30）-=-（ex>/3+v）-

2叭L8^ol

E*=（scos30-evsin30）—^=（exy/3-ev）1

2%L8矶厶

故等边三角形中心

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