电磁场与电磁波答案第四版谢处方.docx

1、电磁场与电磁波答案第四版谢处方(4)由 cos。” = |= =_ 得 趴r = cos-1 ( ) = 135.5曲 |A|B| 714x717 V238 朋 /238.,z . AB 11A 在B 上的分呈 4 = A COS0A) = =(5)(6)AxC =(7)由于B xC =1 = ev8 + ev5 + .2O一 2第一章习题解答1.1给定三个矢量4、和C如下：A=er +ev2-e.3B = -ev4 + e,C =0 5-W.2 z求：(1) “l; kM： (3) aB；(4)0b ：(5)A 在B 上的分量：(6)AxC： (7) A(BxC)和(Ax)C：(8) (Ax

2、B)xC 和 Ax(BxC)A cx +ev2e.3 1 2 3解 “PT*+22+(_3)2 7 為 而7 而 (2) A-B = |(ex +e.2-e.3)-(-ey4+e.)| = |et +e、6_e：4| = /53 AB=(S+.2-e：3) (_e、.4 + ej = -llAB 11 11AxB =所以(8)(AxB)xC =务 S J一 10 -1 一 45 0 2=er2-ev40 + e,5Ax(BxC)= 1 2 一3 = ex55-e, 44-eA 18 5 201.2 三角形的三个顶点为(0,1,-2)、P2(4,1,-3)和召(6,2,5) o(1)判断PPR是

3、否为一直角三角形：(2)求三角形的而积。解(1)三个顶点片(0,1,-2)、(4,1,一3)和$(6,2,5)的位置矢量分别为 rx =ey-ez2t r2 =ex4 + ev-e：3 , r3 =ex6 + ey2+ez5则 心=rir =ex4e：f Ri3 =r3r2 =ex2+ev+e：S,R3i =斤_尸3=_乞6_8_冬7由此可见R$ Ry = (cx 4 e. )(x 2 + ey +0.8) = 0 故厶RPR为一直角三角形。(2)三角形的面积S = l|心x心| =丄區丄卜區=丄庐x J丽=17.132 2 213 求P(3丄4)点到卩(2,-2,3)点的距离矢量R及/?的方

4、向。解 rF.=一乞3 + 匕 + 4 , rP =ex2-ey2 + e.3 ,则 Rpp =p- rpf = ex 5 _ ey 3 _ 且Rpp与x、y、z轴的夹角分别为= 32.31e、R= 120.47解的火如为&AB =cos(-31)=cos_,(wtw)=13r1 -1/ y -10、=cos ( ) = cos旳0I= 99.73心。(後严c。(尙1.4 给泄两矢A=ex2+ev3-e: 4和B =乞4 一 e、5 + e：6 ,求它们之间的夹角和并在 上的分量。 “B -314在B上的分量为 Ar = A=|5|-./77 =-3-5321.5 给定两矢虽:A =ex2 +

5、 ev3-e：4 和B = -ex6-eA + e：,求 AxB 在C =乞 一, +0.上的分量。解 AxB= 2 3 -4 =-er13 + ev22 + eJ0-6 -4 1所以AxB在C上的分量为(AxB)c =(K =_寻=_14.431.6 证明：如果 a .B = A.C 和 AxB = AxC，则 B =C： 解 由AxB = AxC 则有Ax(AxB) = Ax(AxC) 即(AB) A - (A)B = (AC)A - (AA)C 由于 AB = A 于是得到(AA)B = (AA)C 故 B = C1.7如果给左一未知矢量与一已知矢量的标量枳和矢量积，那么便可以确龙该未知

6、矢量。 设4为一已知矢量，p = AX而/ = 4乂*，和p已知，试求x。解由P=AxX有AxP = Ax(AxX) = (AX)A (A*A)X = pA (AA)Xv _ pA-AxPA = 1.8在圆柱坐标中，一点的位置由(4,空,3)泄出，求该点在：(1)直角坐标中的坐标;(2)球坐标中的坐标。解(1)在直角坐标系中 x = 4cos(2;r/3) = -2、y = 4sin(2;r/3) = 2 、z = 3故该点的直角坐标为(-2,2丁了,3)。(2)在球坐标系中 r = /42+32 =5 6 = tan (4/3) = 53.1 0 = 2;r/3 = 12(T故该点的球坐标为

7、(5,53.1, 120)1.9用球坐标表示的场空，r r(1)求在直角坐标中点(-3,4,-5)处的|和E,;2)求在直角坐标中点(-3,4,-5)处E与矢.B=ex2-ev2 + ez构成的夹角。解(1)在直角坐标中点(一3,4,-5)处，厂2= (-3)2+4,+(-5)2 =50，故故E与B构成的夹角为 &EB =COsT() =COS1.10球坐标中两个点(胡妙)和(魄妙)定出两个位置矢量&和R证明&和& 间夹角的余弦为 cos / = cos q cos 02 + sin Q sin 02 cos(g 0) 解由 R、=0 占 sinqcos0 +evi sin sin +ej c

8、osR2 =exr2 sinC、cos2 +evr2 sin0 sing +e,r2 cos3R .R得至lj COS / = | ，=sin q cos sin 02 cos 0 + sin sin g sin 02 sin 0 + cos 0X cos 02 =sin0x sin Q(cos cosg +t sing sin2) + cos cosg =sin 0x sin cos(g - 0) + cosq cosg1.11 一球而s的半径为5,球心在原点上，计算：C3sin&)dS的值。 s解 g 3 sin &)d S = 3sin 0)-er d S = j 胡3血 9x 5? s

9、in OdO =75，S S o o1.12在由r = 5. z = o和w = 4圉成的圆柱形区域，对矢A=err2+e:2z验证散度定理。所以故有在圆柱坐标系中 VM = - (/r2) + (2乙)= 3r + 2r dr dz4 2打 5Jv.Adr = Jdzj dj(3r + 2)rdr = 1200r ooo AdS = (ef.r2 + e: 2z)er dSr +e d S +d S J = s s4 2JT 5 2ffJj5x5d0dz + JJ 2x4rdrd = 1200- o o o oJv.Adr = 1200=A.dS求 矢M A = vx2 +evxy +exy

10、z的散度； 求A对中心在原点的 一个单位立方体的积分：(3)求a对此立方栋表而的积分，验证散度定理。解 “=空2 +空卫+巩24心)= 2x + 2巧+ 72巧2/1.13(2)(3)故有1.14分。+dx dy dzVAdr= jjj (2x + 2x2y + 12x2y2z2)xd ydz = r -i/2 -1/2 -i/2 244对此立方体表而的积分1/2 1/2 1/2 1/2 4AdS = 门 (fdydz- 门 (-)2dydz +5-1/2 -1/2 -1/2-J/2 1/2 1/2 1/2 1/2 门 2x2(-)2dxdz- 门 2x2(- )2 dxdz +-1/2-1/

11、2 2 -|/2 -1/2 2】/2 1/2 1/2 1/2 iJ J 24x2y2(-)3dxdy- j J 24x2y2(-)3dxdy = -1/2-1/2 L -1/2 -1/2 / f V*Ad r =出 4d S 24 Iil算矢量j对一个球心在原点、半径为“的球表面的积分，并求对球体积的积28 R扣dS =杯叫 dS = | d0jaa，sin&d& = 4;rds s o o又在球坐标系中，Vt = 4 (A) = 3所以r2 drVrdr= j sin&d厂d0d0 = 4/r“、 0 0 01.15求矢A = exx+evx2+e:y2z沿小平而上的一个边长为2的正方形回路

12、的线积分， 此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求xA对此回路所包囤的曲而积分，验证斯托 克斯左理。2 2 2 2A*dZ = Jxdx-jdx +J2, d y-JOd y = 8C 0 0 0 0所以故有1.16分。Vx A =dxd d_ dy dz? 22 2= ex2yz + ez2xJVx4d S = j|(ev2yz + e.2x)er dxd y = 8 s o o# A*d / =8 = |Vx A*d Sc s求矢MA = eAx+ev2沿圆周疋+ b =/的线积分，再计算VxA对此圆而积的积f f 2jT 4(J A*d/ =l? = 3(2)PxR=0 ；(3)V(

13、A7?) = A 其中R =exx + e,y + e:z A为一常矢量。 J解（1）/尺=竺+空+竺=3dx dy dz(2)VxZ?=doxJ*ddyyddz设 A =exAx +evAy +ezAz,则 AR = Axx + Avy + Azz 故Q QV(AR) = gv (Arx + A., v + A.z) + e. 一(Axx + A.y + A.z) +dx - dyQez ( + 71v y + Azz：) = exAx +es.Av +ezA：=Aoz1.18一径向矢量场F=eJ3 表示，如果F=0,那么函数/()会有什么特点呢?解 在圆柱坐标系中，由 VF=ir/(r)J

14、 = 0r dr可得到= - C为任意常数。在球坐标系中，由可得到V.F=4-r2/(r) = 0r drr1-19 给泄矢量函数E=exy + ex ,试求从点片(2,1,-1)到点匕(&2,-1)的线积分 Jf.d/：(1)沿抛物线X = y2： (2)沿连接该两点的宜线。这个E是保守场吗？jEdl = dx + Ev d y = Jydx + xd y =c c c2 2J y d(2y2) + 2y2 d y = j6y2 dy = l4 i i(2)连接点片(2丄-1)到点马(&2,-1)直线方程为x-6y+4=0x 2 x 8y _ 1 y-2故 J = J Ex dx + Evd

15、y = j y d(6y -4) + (6y-4)d y = J (12y-4)d y = 14c c J由此可见积分与路径无关，故是保守场。120求标虽:函数 = x2yz的梯度及严在一个指泄方向的方向导数，此方向由单位矢量3 4 5e = + ,= + ,=定出：求(2,3,1)点的方向导数值。v/50 y/50 z/50ox dy ozex2xyz.+eyx2 z+ezx2 y345故沿方向 =e 0 j= + s 的方向导数为Xy/50 y y/50 506 屮 Gxyz 4a2z 5x2y = v w y = : | 1 dl z V50 750 750点(2,3,1)处沿勺的方向导

16、数值为36 16 60 112试 dA dA.5=竺 + 一dx dy1.21 = + + = 采用与推导直角坐标中坐 相似的方法推导圆柱坐标下的公式 dzLA 1 0 ,人 比加vA = (Mr) + + 。r dr rd(ff dz解的通量为在圆柱坐标中，取小体积元如题121图所示。矢量场4沿勺方向穿出该六而体的表而士J Ml 0 Zgo 工2(厂 + 3)4咖- J J Arrr(rd(!)0 Zdr(r + Ar)Ar(r + 八0 z) Mr(r, 0 z)竝 a ArAz = - 月 r同理rlr z+Azd/dz- J Jd4 dAAJ匚 + 札 z) 一 州(r, 0、z)JA

17、rAz * - ArAAz = A r d(/ rd(/r+Ar O+A0J Mlr 0r+Ar 幽* z+jd/d0 - J J A J r 06A dAA0Z +Az)-A(匚0,z)z/竝 a 广广竝= Ar dz dz矢量场A穿岀该六而体的表而的通量为1 d(rA ) dA. dAr or ro(p dz故得到圆柱坐标下的散度表达式 V4= = l空勺丄+ 叫+竺r dr rd(f) dz.因此,i.22方程h=4+4+4给出一椭球族。求椭球表而上任意点的单位法向矢量。 a2 b2 c2解由于Vu=ex=4+ey- + ez-tr lr l|Vn| = 2J(4)2+()2+(4)2V

18、 cr c故椭球表而上任意点的单位法向矢量为 n=j=(e+eV+e4)/ J$)2+(讦+(右)， 现有三个矢量a、B C为A=er sin cos(/ + e& cos 0 cos 一 sin 0 B = erz2 sin(fi+ez2 cos(/+e: 2/7 sin(/) C = e v (3y2 - 2x)+eyx2 +e.2z哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示臥哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表1-23(1)示？(2)解(1)在球坐标系中5 = 4(包)+ 七舊(sin%) +七警二厂 dr rsnO c6 rsin& c(p丄 2(尸 sin & cos 0) + ! (sin

19、 0 cos 0 cos 0) + ! (-sin。)=r dr rsin 0 cO rsin 0 d(/求出这些矢量的源分布。r dr2sin&cos0 +cost/) 2 sin cosrsin /COS0 _0rsin VxA = 0*VeB = 2rsin VxB = 0：V VxC=e.(2x-6刃1.24利用直角坐标，证明V.(/4) = /V.A + AV解在直角坐标中门以+ 可=/（0 +少+挙）+以乞+人乞+ 4生）= ox dy oz ox dy oz（/坐+ 4旦）+（/坐+人生）+（/坐+A_ dx x dx 6 dy dz 、二（凤.）+二（凤.）+ 二（凤）=V-（

20、.M）OX 內 OZ1.25证明(A xH) = x A - AN x H解根据算子的微分运算性质，有V.(AxH) = Va.(AxH) + Vh.(AxH)式中v4表示只对矢量A作微分运算，J 表示只对矢量H作微分运算。 由(/(bxc)=ca xb),可得V4AxH) = H(J xA) = /7d S =AdZs2 c2则有C Q+ A*d/ = 0c2其中5和S2如题1.27图所示。由斯托克斯左理，J(VxA).ciS=A.d/,s G由题1.27图可知CC2是方向相反的同一回路， 所以得到 j0(0xA)dr = CqcW + CAd/ =)A*d/T C c、 C；由于体积r是任

21、意的，故有 V.(VxA) = 0二章习题解答2.1 一个平行板真空二极管的电荷体密度为q = 式中阴极板位于乳=0,阳极板位于x = d极间电压为Uo。如果Uo = 40 V n d = 1cm、横截而s = 10cm2 求：x = 0和尢=d 区域的总电荷量Q；(2) x = d/2和x = 区域的总电荷量Q。A .(1) /2)3电荷(/1在(4,0,0)处产生的电场为E _ 的1 4_ev42 4(J |r-r；|3 码(4/5?故(4,0,0)处的电场为c +匕E = E.+E. =-_- 32屁勺)2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷Q,求垂直于圆平而的轴线上 =(i处的电场强度 E

22、(0,0,“)，设半圆环的半径也为，如题2.6图所示。解 半圆环上的电荷元门d/ = 在轴线上z = a处的电场强度为4矶(屈)3 Pl ez-(scos0+e、.sin0)； 在半圆环上对上式积分，得到轴线上Z = a处的电场强度为E(0,0,a) = JdE =8724-2 8屁张2.7三根长度均为厶，均匀带电荷密度分别为几、几2和卩3地 线电荷构成等边三角形。设Pn = 22 = 2/?/3,计算三角形中心处的电场强度。题2.7图解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为E,=匕 卩二(cos30 -cosl50 ) = q 1 4 阻d 2 隔LE, =-(T cos 30 + ev sin 30 ) - = -(ex /3 + v) -2 叭L 8olE* =(scos30 -evsin30 ) = (exy/3-ev) 12%L 8矶厶故等边三角形中心