北师大版学年度第二学期八年级数学单元测试题第一章三角形的证明Word格式.docx

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A．40°

B．30°

C．25°

D．22.5〫

8．（本题3分）如图，在△ABC中，AB=6,AC=7,BC=5,边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）

A．18B．13C．12D．11

9．（本题3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝3，则点D到AB的距离是（　　）

A．5B．4C．3D．2

10．（本题3分）如图所示，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下四个结论：

①△ACD≌△BCE；

②AD=BE；

③∠AOB=60°

；

④△CPQ是等边三角形．其中正确的是（　　）

A．①②③④B．②③④C．①③④D．①②③

二、填空题（计32分）

11．（本题4分）若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是______．

12．（本题4分）如图所示，△ABC中，BC的垂直平分线交AB于点E，若△ABC的周长为10，BC=4，则△ACE的周长是．

13．（本题4分）正方形ABCD中，AB=2，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．

14．（本题4分）已知一直角三角形的木板，三边的平方和为7200cm2，则斜边长为_______cm．

15．（本题4分）如图，在

中，点

在线段

上，

，

，则

=_____

．

16．（本题4分）游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲达到点B60米，结果他在水中实际游了100米，这条河宽为_______米.

17．（本题4分）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，垂足为点E，△BDE是等边三角形，若AD＝4，则线段BE的长为______．

18．（本题4分）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是_____．

三、解答题（计58分）

19．（本题7分）如图是由4个边长为1的正方形组成的图形，请求出∠ABC的度数。

20．（本题7分）作图题：

在∠AOB内有两点M、N，求作一点P使得PM=PN，且P到∠AOB两边的距离相等．要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．

21．（本题7分）已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°

，DE⊥AB，

且BE＝AE．求证：

DC＝2BD．

22．（本题7分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠B＝35°

，求∠CAE度数.

23．（本题7分）已知：

如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°

，求∠C的度数．

24．（本题7分）如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12米处，测得∠BAC＝30°

，求BC的长．（结果保留根号）

25．（本题8分）己知：

△ABC，AD⊥BC于点D，且AB+BD=AC+CD，求证：

AB=AC.

26．（本题8分）已知，如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于D，若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长．

参考答案

1．B．

【解析】

试题分析：

A．根据三角形的内角和为180°

，又∠A＋∠B=∠C，所以2∠C=180°

，∠C=90°

，故是直角三角形；

B．设∠A=x°

，x

90°

，故不是直角三角形；

C．设∠C=x°

，则x+2x+3x=180°

，解得x=30°

，3x=90°

D．由邻补角的定义可知这两个角的和为180°

，并且这两个角相等，所以一个角是90°

，故是直角三角形．

故选:

B．

考点：

三角形的内角和定理；

邻补角的定义．

2．B

由图形可知：

∠B=45°

，∠CDE=60°

，因为∠CDE=∠B+∠BFD,所以∠BFD=60°

-45°

=15°

故选：

三角形的外角的性质．

3．C

根据点在平面直角坐标系中的坐标的几何意义，及两点间的距离公式便可解答．

解：

∵点M的坐标为（﹣3，4），

∴点M离原点的距离是

=5．

故选C．

4．C

【分析】

分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．

【详解】

当腰为3时，3+3＝6，∴3、3、6不能组成三角形；

当腰为6时，3+6＝9＞6，∴3、6、6能组成三角形，该三角形的周长为＝3+6+6＝15．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长是解题的关键．

5．B

作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答．

作PE⊥OA于E，

∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，

∴PE=PD=2，

考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

6．B

当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．

由勾股定理得：

楼梯的水平宽度=

=12，

∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，

地毯的长度至少是12+5=17米．

故选B．

本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．

7．B

利用全等直角三角形的判定定理HL证得Rt△ACD≌Rt△AED，则对应角∠ADC=∠ADE；

然后根据已知条件“DE平分∠ADB”、平角的定义证得∠ADC=∠ADE=∠EDB=60°

最后由直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠B=30°

∵在△ABC中，∠C=90°

，AD是角平分线，DE⊥AB于E，

∴CD=ED,

在Rt△ACD和Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴∠ADC=∠ADE（全等三角形的对应角相等）．

∵∠ADC+∠ADE+∠EDB=180°

，DE平分∠ADB，

∴∠ADC=∠ADE=∠EDB=60°

∴∠B+∠EDB=90°

∴∠B=30°

本题考查了角平分线的性质．角平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

8．C

由ED是AB的垂直平分线，可得AD＝BD，又由△BDC的周长＝DB+BC+CD，即可得△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC．

∵ED是AB的垂直平分线，∴AD＝BD．

∵△BDC的周长＝DB+BC+CD，∴△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC＝7+5＝12．

本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．

9．C

过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD．

如图，过点D作DE⊥AB于E．

∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°

，∴DE＝CD＝3，即点D到直线AB的距离是3．

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

10．A

由已知条件运用等边三角形的性质得到三角形全等，进而得到更多结论，然后运用排除法，对各个结论进行验证从而确定最后的答案．

∵△ABC和△CDE是正三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°

∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ADC≌△BEC（SAS），故①正确，

∴AD=BE，故②正确；

∵△ADC≌△BEC，

∴∠ADC=∠BEC，

∴∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°

，故③正确；

∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°

，∠ADC=∠BEC，

∴△CDP≌△CEQ（ASA）．

∴CP=CQ，

∴∠CPQ=∠CQP=60°

∴△CPQ是等边三角形，故④正确；

A．

考查等边三角形的性质及全等三角形的判定等知识点；

得到三角形全等是正确解答本题的关键．

11．直角三角形．

因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形．

三角形的高．

12．6．

BC的垂直平分线交AB于点E，

13．

作E关于AC的对称点F，则F为AD的中点，连结BF交AC于P，PE=PF，则PE+PB=PF+BP=BF最小，∵AB=2，∴AF=1，∴BF=

=

．故答案为：

1．正方形的性质；

2．线段垂直平分线的性质；

3．压轴题；

4．动点型．

14．60

由勾股定理得

和

可得

，可求得c=60.

勾股定理

15．35

先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．

∵△ABD中,AB=AD,∠B=70°

∴∠B=∠ADB=70°

∴∠ADC=180°

−∠ADB=110°

∵AD=CD，

∴∠C=（180°

−∠ADC）÷

2=（180°

−110°

）÷

2=35°

.

故答案为：

35.

本题考查的知识点是等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质.

16．80

从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．

根据图中数据，运用勾股定理求得AB=

（米）．

80．

此题考查了勾股定理的应用，正确利用勾股定理求出是解题关键．

17．4

本题首先由等边三角形的性质及垂直定义得到∠DBE=60°

，∠BEC=90°

，再根据等腰三角形的性质可以得出∠EBC=∠ABC-60°

=∠C-60°

，最后根据三角形内角和定理得出关系式∠C-60°

+∠C=90°

解出∠C，推出AD=DE，于是得到结论．

∵△BDE是正三角形，

∴∠DBE=60°

∵在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，

∴∠C=∠ABC=∠ABE+∠EBC，则∠EBC=∠ABC-60°

∴∠EBC+∠C=90°

，即∠C-60°

解得∠C=75°

∴∠ABC=75°

∴∠A=30°

∵∠AED=90°

-∠DEB=30°

∴∠A=∠AED，

∴DE=AD=4，

∴BE=DE=4，

4．

本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质及垂直定义，解题的关键是根据三角形内角和定理列出符合题意的简易方程，从而求出结果．

18．42

连接

可知

平分

由角平分线的性质可知：

点

到

的距离相等，把求

的面积转化为求

的面积之和，即

考点:

角平分线的性质.

19．解：

由题意得AB=

∴△ABD∽△BCD

∴∠BAD=∠CBD

∴∠1=∠BAD+∠ABD=∠ABD+∠CBD=45度

即∠ABC=45度

利用正方形的边长是1和勾股定理求出各边的长，然后根据三边成比例得出两三角形相似，进而利用相似三角形的性质对应角相等求出角的度数

相似三角形的判定与性质

点评：

本题主要考查相似三角形的判定与性质，此外转化思想是本题的关键方法

20．答案见解析

PM=PN可得点P在NM的垂直平分线上，作NM的垂直平分线EF；

点P到OA和OB两射线的距离相等，即作角的平分线CO．两线的交点就是点P．

如图所示：

点P即为所求．

考查角平分线和线段的垂直平分线的作法；

注意角平分线上的点到角两边的距离相等；

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

21．见解析

连结AD．在△ABC中，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理求出∠B=∠C=

（180°

-∠BAC）=30°

．由DE是AB的垂直平分线得出AD=BD，那么∠BAD=∠B=30°

，那么∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°

．然后在Rt△ADC中，根据30°

角所对的直角边等于斜边的一半，得出DC=2AD，等量代换即可得到DC=2BD．

证明：

连结AD．

∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°

∴∠B＝∠C＝

﹣∠BAC）＝30°

∵DE⊥AB，BE＝AE，

∴AD＝BD，

∴∠BAD＝∠B＝30°

∴∠DAC＝∠B

AC﹣∠BAD＝120°

﹣30°

＝90°

∵在Rt△ADC中，∠DAC＝90°

，∠C＝30°

∴DC＝2AD，

∴DC＝2BD．

本题考查含30°

角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，难度适中，熟记性质是解题的关键．

22．∠CAE＝20°

根据等边对等角求出∠BAD，从而求出∠ADC，在等腰三角形ADC中，由三线合一求出∠CAE.

∵BD＝AD，

∴∠BAD=∠B=35°

∴∠ADE=∠BAD＋∠B=70°

∵AD=AC，

∴∠C=∠ADE=70°

∵AD=AC，AE平分DC，

∴AE⊥EC，（三线合一）.

∴∠EAC=90°

－∠C=20°

本题的解题关键是掌握等边对等角和三线合一.

23．38.5°

由题意,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°

根据等腰三角形的性质可以求出底角,再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠C.

在△ABC中，AB＝AD＝DC，

∵AB＝AD，在三角形ABD中，

∠B＝∠ADB＝（180°

﹣26°

）×

＝77°

又∵AD＝DC，

在三角形ADC中，

∴∠C＝

∠ADB＝77°

×

＝38.5°

本题考查等腰三角形的性质及应用等腰三角形两底角相等,还考查了三角形的内角和定理及内角与外角的关系.利用三角形的内角求角的度数是一种常用的方法,要熟练掌握.

24．

.

∵BC⊥AC，∴∠BCA=90°

在直角△ABC中，tan∠BAC=

∴BC=ACtan∠BAC="

12*"

tan30°

=12*

=4

25．证明见解析

根据勾股定理得到AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，利用平方差公式分解后得到AB﹣BD＝AC﹣CD，与已知AB+BD＝AC+CD相加即可得到结论．

在Rt△ADB与Rt△ADC中，由勾股定理可得：

AB2﹣BD2＝AD2，AC2﹣CD2＝AD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即（AB+BD）（AB﹣BD）＝（AC+CD）（AC﹣CD）

∵AB+BD＝AC+CD，∴AB﹣BD＝AC﹣CD，两式相加，AB＝AC，则△ABC为等腰三角形．

本题考查了等腰三角形的判定，关键是根据勾股定理解答．

26．19cm.

根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，再根据DE是AB的垂直平分线可得AE=CE求出AC的长度，然后根据三角形的周长公式整理即可得解．

∵DE是边AC的垂直平分线，

∴AD＝CD，AE＝EC，

∵AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，

∴AC＝AE+EC＝3+3＝6cm，

△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝13cm，

所以，△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．

本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握线段垂直平分线的性质.