江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研数学试题.doc
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江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研
（二）
数学试题
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．若复数满足是虚数单位，则的虚部为．
2．设集合，其中，若，则实数．
3．在平面直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为．
4．一次考试后，从高三
（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为．
78
8244
92
5．下图是一个算法流程图，若输入值，则输出值的取值范围是．
S¬2x−x2
S¬1
输出S
结束
开始
输入x
x＜1
Y
N
6．欧阳修在《卖油翁》中写到：
“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．
7．已知函数在时取得最大值，则．
8．已知公差为的等差数列的前项和为，若，则．
9．在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为．
10．设△的内角，，的对边分别是，且满足，则．
11．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则点的纵坐标的取值范围是．
12．如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为．
Q
P
O
B
A
13．已知函数若存在实数，满足，则的最大值是．
14．已知为正实数，且，则的最小值为．
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在四棱锥中，，，点为棱的中点．
A
B
C
D
P
E
（1）若，求证：
；
（2）求证：
//平面．
16．在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.
（1）求的大小；
（2）设向量，，求的取值范围．
17．（本小题满分14分）
下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为．
（1）求两索塔之间桥面的长度；
（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：
某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？
并求出最小值．
P
D
C
B
A
18．如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点，，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，直线与直线交于点．
N
D
M
C
B
A
y
x
O
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）求证：
为定值．
19．已知函数R．
（1）若，
①当时，求函数的极值（用表示）；
②若有三个相异零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？
若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）函数图象上点处的切线与的图象相交于另一点，在点处的切线为，直线的斜率分别为，且，求满足的关系式．
20．已知等差数列的首项为1，公差为，数列的前项和为，且对任意的，恒成立．
（1）如果数列是等差数列，证明数列也是等差数列；
（2）如果数列为等比数列，求的值；
（3）如果，数列的首项为1，，证明数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：
几何证明选讲
如图所示，为⊙的直径，平分交⊙于点，过作⊙的切线交于点，求证．
B．选修4—2：
矩阵与变换
已知矩阵的一个特征值为3，求．
C．选修4—4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数．
以原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，已知圆心到直线的距离等于，求的值．
D．选修4—5：
不等式选讲
已知实数满足，，求证：
．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为，且三位学生能否做对相互独立，设为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：
（1）求的值；
（2）求的数学期望．
23．已知函数．
（1）当时，若，求实数的值；
（2）若，求证：
．
2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研
（二）
参考答案
一、填空题：
1．2．3．4．5．
6．7．8．9．10．
11．12．13．14．
二、解答题
15．证明：
（1）取的中点，连结，
因为，所以△为等腰三角形，所以．
因为，所以△为等腰三角形，所以．
又，所以平面．
因为平面，所以．
（2）由为中点，连，则，
又平面，所以平面．
由，以及，所以，
又平面，所以平面．
又，所以平面平面，
而平面，所以平面．
16．解
（1）由题意，有，则，所以．
因为，所以，所以．
又，所以．
（2）由向量，，得
．
由
（1）知，所以，所以．
所以．
所以．
所以．即取值范围是．
17．解
（1）设，，记，则
，
由，
化简得，解得或（舍去），
所以，．
答：
两索塔之间的距离AC=500米．
（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为.
则，且，
即
记，则，
令，解得，
当，，单调递减；
当，，单调递增；
所以时，取到最小值，也取到最小值.
答：
两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.
18.解
（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.
得解得
所以，椭圆的标准方程为.
（2）由
（1）知，设，
因为，得，所以，
代入椭圆方程得或，所以或，
所以的方程为：
或.
（3）设D坐标为（x3，y3）,由，M（x1，0）可得直线的方程，
联立椭圆方程得：
解得,.
由，得直线BD的方程：
，①
直线AC方程为，②
联立①②得，
从而=2为定值.
解法2：
设D坐标为（x3，y3），
由C,M,D三点共线得，所以，①
由B,D,N三点共线得，将代入可得
，②
①和②相乘得，
.
19.解：
（1）①由及，
得，
令，解得或.
由知，，单调递增，
，单调递减，，单调递增，
因此，的极大值为，的极小值为.
②当时，，此时不存在三个相异零点；
当时，与①同理可得的极小值为，的极大值为.
要使有三个不同零点，则必须有，
即.
不妨设的三个零点为，且，
则，
，①
，②
，③
②-①得，
因为，所以，④
同理，⑤
⑤-④得，
因为，所以，
又，所以.
所以，即，即，
因此，存在这样实数满足条件.
（2）设A（m，f（m））,B（n，f（n）），则，，
又，
由此可得，化简得，
因此，，
所以，，
所以.
20.解：
（1）设数列的公差为，由，①
，②
①-②得，③
即，所以为常数，
所以为等差数列．
（2）由③得，即，
所以是与n无关的常数，
所以或为常数．
①当时，，符合题意；
②当为常数时，
在中令，则，又，解得，…8分
所以，
此时，解得．
综上，或．
（3）当时，，
由
（2）得数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以，即．
当时，，
当时，也满足上式，
所以．
设，则，即，
如果，因为为3的倍数，为3的倍数，
所以2也为3的倍数，矛盾．
所以，则，即．
所以数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．
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（二）
附加题参考答案
21.A解 连接OE，因为ED是⊙O切线，所以OE⊥ED.
因为OA＝OE，所以∠1＝∠OEA.
又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA，
所以OE∥AC，∴AC⊥DE．
21.B解由，得的一个解为3，代入得，
因为，所以.
21.C解消去参数t，得到圆的普通方程为,
由，得,
所以直线的直角坐标方程为.
依题意，圆心C到直线的距离等于，即解得.
21.D证明：
因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，
所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.
由柯西不等式：
（12＋22）（a2＋b2）≥（a＋2b）2，
5（1－c2）≥（1－c）2，
整理得，3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1.
所以－≤c≤1.
22.解
（1）由题意，得
又，解得，
（2）由题意，
23.解
（1）当时，
，
所以
，
所以.
（2）因为，
所以，
由题意，
首先证明对于固定的，满足条件的是唯一的.
假设，
则，而，，矛盾.
所以满足条件的是唯一的.
下面我们求及的值：
因为，
显然.
又因为，故，
即.
所以令，
，则，又，
所以.
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