《点、直线、平面之间的位置关系》综合测评试题.doc
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1．如果两直线a∥b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是（ ）
A．相交 B．b∥a
C．b⊂α D．b∥α或b⊂α
解析：
由线面平行性质知选D.
答案：
D
2．（2012·浙江）设l是直线，α、β是两个不同的平面（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则α⊥β
解析：
对于A，两平面可能平行，也可能相交；对于C，直线l可能在β内，也可能平行于β；对于D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交，故A、C、D均不正确，故选B.
答案：
B
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AA1与BC1所成的角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案：
B
4．（2012·湖南高三月考）设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z，X∥Y”为真命题的是（ ）
①X、Y、Z是直线 ②X、Y是直线，Z是平面 ③Z是直线，X、Y是平面 ④X、Y、Z是平面
A．①② B．①③
C．②③ D．③④
答案：
C
解析：
本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A、B、C都可能是该几何体的俯视图，D不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．
答案：
D
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于（ ）
A．AC B．BD
C．A1D D．A1D1
解析：
连接AC、BD.
∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴BD⊥AC，BD⊥AA1，又AA1∩AC＝A，∴BD⊥面AA1CC1，而CE⊂面AA1CC1，∴BD⊥CE.
答案：
B
7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，则EF与对角面A1C1CA所成的角的度数是（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．150°
解析：
过F做FM⊥AC，
∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴AA1⊥面AC，∴AA1⊥FM，又AA1∩AC＝A，∴FM⊥面A1ACC1，
∴∠FEM为EF与面A1C1CA所成的角，
又sin∠MEF＝＝，∴∠FEM＝30°.
答案：
A
8．（2012·荆州模拟）如图，PA⊥面ABCD，ABCD为正方形，下列结论不正确的是（ ）
A．PB⊥BC
B．PD⊥CD
C．PD⊥BD
D．PA⊥BD
解析：
∵BC⊥BA，PA⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥面PAB，∴BC⊥PB，∴A正确；同理B正确；∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，故D正确．
答案：
C
9．（2012·浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：
cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A．1cm3 B．2cm3
C．3cm3 D．6cm3
解析：
设三棱锥的底面是两直角边为1,2的直角三角形，高为3，∴V＝××1×2×3＝1.
答案：
A
10．从空间一点P向二面角α－l－β的两个平面作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小为（ ）
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不确定
解析：
若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°，若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.
答案：
C
11．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm，那么该棱柱的表面积为（ ）
A．（2＋4）cm2 B．（4＋8）cm2
C．（8＋16）cm2 D．（16＋32）cm2
解析：
设正四棱柱的高为h，则2R＝4＝，得h＝2.
∴S表＝4×（2×2）＋2×22＝8＋16.
答案：
C
12.如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析：
选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD；而BD与SD相交，所以AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.
选项B正确，因为AB∥CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB∥面SCD.
选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．
选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．
答案：
D
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．
解析：
把AC中点O与E连接，可知EO为△D1DB的中位线，EO∥BD1，EO⊂平面AEC.
BD1⊄平面AEC.
∴BD1∥平面AEC.
答案：
平行
14．已知△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是________．
解析：
∵PA＝PB＝PC，
∴P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上，
又Rt△ABC的外心为BC的中点，设为O，则PO⊥平面ABC，
又PO⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面ABC.
答案：
垂直
又ABCD为正方形，∴AO⊥BD，
∴AO⊥面BDD1B，
∴VA－BDD1B1＝×3×2×＝6.
答案：
6
16．（2012·淄博模拟）如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M、N分别是AD、BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是__________（填上所有正确的序号）．
①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥面DEC；
②不论D折至何位置都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB.
解析：
折叠后的图形如图所示，取DE中点P，EC的中点Q，连接PM，PQ，QN，则PM綊AE，
NQ綊BC.
∵ABCE为矩形，
∴EA綊BC，
∴PM綊NQ，∴四边形PMNQ为平行四边形，∴MN∥PQ，∴MN∥面DEC，故①正确；又AE⊥ED，AE⊥EC，DE∩CE＝E，∴AE⊥面DEC，
∴AE⊥PQ，∴AE⊥MN，故②正确；③显然不正确．
答案：
①②
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）如图，已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：
P，Q，R三点共线．
证明：
∵A，B，C是不在同一直线上的三点，∴由A，B，C可确定一个平面β，又∵AB∩α＝P，且AB⊂β，
∴点P既在β内又在α内，设α∩β＝l，则P∈l.
同理：
AC的延长线交α于R，CB的延长线交α于Q，可证得R∈l，Q∈l，∴P、Q、R三点共线．
18．（12分）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S为B1D1的中点，E、F、G分别为BC，DC和SC的中点，
（1）求证：
EG∥面BDD1B1；
（2）求证：
面EFG∥面BDD1B1.
证明：
（1）连接BS，∵E、G分别为BC，SC的中点，∴EG∥BS，又EG⊄面BDD1B1，BS⊂面BDD1B1，∴EG∥面BDD1B1.
（2）由
（1）知EG∥面BDD1B1，又E、F分别为BC、DC的中点，∴EF∥BD.
又EF⊄面BDD1B1，BD⊂面BDD1B1，∴EF∥面BDD1B1，
又EF∩EG＝E，∴面EFG∥面BDD1B1.
19．（12分）如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：
平面A′BE⊥平面BCDE.
证明：
如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，
连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.
∵AB＝AD，E是AD的中点，
∴AB＝AE，即A′B＝A′E.∴A′N⊥BE.
∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN.
又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN，∴CD⊥A′N.
∵DE∥BC且DE＝BC，∴BE必与CD相交．
又A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.
又A′N⊂平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.
20．（12分）（2012·陕西模拟）如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，截面DAN交PC于M.
（1）求PB与平面ABCD所成角的大小；
（2）求证：
PB⊥平面ADMN.
解：
（1）取AD中点O，连接PO、BO、BD.
∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
∴BO为PB在平面ABCD上的射影，
∴∠PBO为PB与平面ABCD所成的角．
由已知△ABD为等边三角形，∴PO＝BO＝，
∴PB与平面ABCD所成的角为45°.
（2）证明：
∵△ABD是正三角形，∴AD⊥BO，∴AD⊥PB，
又PA＝AB＝2，N为PB中点，
∴AN⊥PB，∴BP⊥平面ADMN.
21．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．
求证：
（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD.
证明：
如图所示：
（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，
AD的中点，所以EF∥PD.
又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
所以直线EF∥平面PCD.
（2）连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.
又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
22．（12分）（2012·河北保定十二校联考）如图，四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC＝4，O为BD的中点，E为PA的中点．
（1）求证：
PO⊥平面ABCD；
（2）求证：
OE∥平面PDC；
（3）求二面角P－AB－D的平面角余弦值．
解：
（1）证明：
设F为DC的中点，连接BF，则DF＝AB.
∵AB⊥AD，AB＝AD，AB∥DC，∴四边形ABFD为正方形．
∵O为BD的中点，∴O为AF、BD的交点，
∵PD＝PB＝2，∴PO⊥BD，
∵BD＝＝2，
∴PO＝＝，AO＝BD＝，
在三角形PAO中，PO2＋AO2＝PA2＝4，∴PO⊥AO，
∵AO∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.
（2）证明：
连接PF.
∵O为AF中点，E为PA中点，∴OE∥PF.
∵OE⊄平面PDC，PF⊂平面PDC，∴OE∥平面PDC.
（3）取AB的中点M，连PM，又O为BD的中点，∴OM∥AD，
又AB⊥AD，∴OM⊥AB，且OM＝AD＝1，
又△PAB为等边三角形，∴PM＝2sin60°＝，
PM⊥AB，
∴∠PMO为二面角P－AB－D的平面角．
在Rt△POM中，cos∠POM＝＝＝.
∴二面角P－AB
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