致远管理学院 品质管理3Word格式.docx
《致远管理学院 品质管理3Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《致远管理学院 品质管理3Word格式.docx（37页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
AB=BA
（6）分配律：
A（BC）=（AB）（AC）
（7）余集：
设为全集，则-A称之为A之余集，
记作A’，-A=A’
若A’A=A’A=（A’）’=A
另A-B=AB’
（8）分割：
设为全集，集合A、B均含于，当满足（a）AB=（b）AB=时，则称为A、B为上的分割。
（9）余集律：
（AB）’=A’B’（AB）’=A’B’
******************
符号说明：
X：
随机变数，P：
机率，p：
不合格率
p（x）：
机率密度函数（离散型）
f（x）：
机率密度函数（连续型）
F（x）：
累积机率分配函数（连续型、离散型）
E[X]=（期望值），V[X]=2（变异数）
：
母体平均值，2：
母体变异数
：
样本平均值，S2：
样本变异数
***********************
3.2机率的概念
◎机率论是现代统计学的基础。
机率是为了衡量不确定结果，而建构出来的一种测度。
其中基本的概念为：
※机率空间（ProbabilitySpace）：
系统中，集合所有可能出现的事件而构成的一个抽象空间，通常以表示。
有时亦称样本空间（SampleSpace）或结果空间（OutcomeSpace）。
※事件（Events）：
系统中我们所要讨论合理且可能发生的现象，是机率空间的基本元素。
※随机实验（RandomExperiment）：
可能出现的结果有很多种，重复实验时无法明确预知得到什么结果的实验方式。
※随机变数（RandomVariables）：
定义在机率空间的一个量测机率的工具，通常以一个一对多的不确定函数表示。
它对实验的每一种结果指定一数值与之对应。
或将『文字叙述』转换成『数字叙述』（将实验结果以数值表示，省略一一列出可能实验结果的烦杂）。
常以X表示之，且其结果常符合某一特定分配。
函数系针对定义域与对应域（值域）之间一对一或多对一的关系，即输入某一数值就对应输出另一数值，过程与结果均是确定的（Deterministic）。
但当输入一事件却可能出现好几种其他情况时，如掷一骰子对应的是可能出现6种情况，此即随机变量。
简言之，随机变量是一种多的『广义函数』。
实数值x（事件）之机率P（X=x）决定机率分配函数p（x）。
范例、某品牌相同原子笔n支，内有不合格品，某同学任意选1支，试写出样本空间？
（合格品=G，不合格品=NG）
={G，NG}=21
若以不格合品数目表示（随机变量之概念，转换成数字）
X的可能值有0，1；
={X|0，1}；
如{x=1}={NG}
（X：
随机变数表选得不合格品数；
x：
事件）
范例、承上题，某同学任意选2支，试写出样本空间?
={（G，G），（G，NG），（NG，G），（NG，NG）}=22
若以不格合品数目表示（随机变量之概念，转换成数字）
X的可能值有0，1，2；
X={X|0，1，2}
如{x=1}={（G，NG），（NG，G）}
范例、承上题，某同学任意选3支，试写出样本空间?
={（G，G，G），（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G，G），（G，NG，NG），（NG，G，NG），（NG，NG，G），（NG，NG，NG）}=23
X的可能值有0，1，2，3；
X={X|0，1，2，3}
如{x=1}={（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G，G）}
实验检验真理，真理只有一个。
然随机实验中，其产生之结果是不确定的（Uncertainty）。
机率就是衡量此不确定结果，而建构出来的一种测度。
如何决定机率值---决定机率值的方法
（1）理论机率=古典机率=机会均等机率
※样本空间内有n（）个元素，若事件A为之部份集合，含n（A）个元素，则事件A的机率为：
P（A）=n（A）/n（）
范例、承上题，某同学任意选1支，为不合格品之机率?
n（）=21事件={NG}n（A）=1P（A）=1/2
X的可能值有0，1；
则{x=1}={NG}
P（A）=n（A）/n（）P（x=1）=P（{NG}）=1/2
范例、承上题，某同学任意选2支，有1不合格品之机率?
n（）=22事件={（G，NG），（NG，G）}n（A）=2P（A）=2/22=1/2
{x=1}={（G，NG），（NG，G）}；
P（x=1）=P（{（G，NG），（NG，G）}）=2/4=1/2
范例、承上题，某同学任意选3支，有1不合格品之机率?
n（）=23
事件={（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G，G）}n（A）=3P（A）=3/23=3/8
则{x=1}={（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G，G）}
P（x=1）=P（{（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G，G）}）=3/8
计算理论机率的方法亦称古典方法，此法依靠抽象的推理与逻辑分析，而不必进行实际的试验。
（2）经验机率=客观机率
※一随机实验重复试行n次，其中A事件共发生fA次，则A事件发生之机率可视为发生次数与总次数比：
P（A）=fA/n
当实验的次数愈多，事件的相对次数比将愈趋稳定；
即
P（A）=
fA/n
（3）主观认定机率
※一事件发生之机率，常由人们对此事的经验，或心理的感觉而决定。
此机率较有争议。
机率公设
在样本空间中，事件A发生的机率记做P（A），机率必须符合以下公设：
（1）P（）=1，P（）=0
（2）P（A）0
（3）P（A’）=1-P（A），其中A’=-A
（4）若B，P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）
樣本空間計算基本法則
法則一（加法原理）：
完成一件事有二種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法，則完成此事件共有n1+n2種方法。
法則二（乘法原理）：
完成一件事有k個階段，第一階段有n1種方法，第二階段有n2種方法，第k階段有nk種方法，則完成此事件共n1n2…nk種方法。
法則三：
在n個不同事物中，任取r個予以組合，其方法有C（n,r）=n!
/（n-r）!
r!
。
范例、甲、乙二人掷骰子，约定甲掷出点数是1,2时，甲可得2元；
点数是3,4时可得4元；
点数是5时可得10元；
点数是6时，则甲需付给乙20元。
令X表掷骰子后甲所得的钱，求X的机率分布?
={1,2,3,4,5,6}；
n（）=6
X的可能值有2，4，10，-20；
X={X|2,4,10,-20}
P（x=2）=P（{1,2}）=n（A）/n（）=2/6
P（x=4）=P（{3,4}）=n（A）/n（）=2/6
P（x=10）=P（{5}）=n（A）/n（）=1/6
P（x=-20）=P（{6}）=n（A）/n（）=1/6
x
2
4
10
-20
p（x）
2/6
1/6
范例、甲掷一枚铜板2次，令X表出现正面的次数，求X的机率分布?
={正正,正反,反正,反反}；
n（）=4
X的可能值有0,1,2；
X={X|0,1,2}
P（x=0）=P（{反反}）=n（A）/n（）=1/4
P（x=1）=P（{正反,反正}）=n（A）/n（）=2/4
P（x=2）=P（{正正}）=n（A）/n（）=1/4
1
1/4
2/4
上述二范例均为离散型数据系属离散型随机变量，即实验结果其对应之数值只有可数的几种可能值，且可一一列出此种情况，以机率P（X=x）决定机率分配函数p（x）（离散型）。
反之，连续型数据系属连续型随机变量，即实验结果其对应之数值不能列出各种可能值，则以机率P（Xa）决定机率分配函数f（x）（连续型）。
3.3统计独立与条件机率
定义：
统计独立（StatisticallyIndependent）
在样本空间中有两事件A与B，若A发生的机率不受B影响，即P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与B为统计独立。
范例：
（独立无关联）
爱足球
不爱足球
合计
男
648
252
900
女
72
28
100
P（男）=900/1000=0.9；
P（女）=100/1000=0.1=1-0.9
P（爱足球）=（648+72）/1000=0.72
P（不爱足球）=（252+28）/1000=0.28=1-0.72
P（男爱足球）=648/1000=0.648
P（男不爱足球）=252/1000=0.252
P（女爱足球）=72/1000=0.072
P（女不爱足球）=28/1000=0.028由于
P（男爱足球）=0.648=P（男）P（爱足球）
P（男不爱足球）=0.252=P（男）P（不爱足球）
P（女爱足球）=0.072=P（女）P（爱足球）
P（女不爱足球）=0.028=P（女）P（不爱足球）
互斥事件（DisjointEvents）
在样本空间中有两事件A与B，若其集合无共同元素，即AB=，则称事件A与B互斥。
P（AB）=0。
条件机率
在样本空间中有两事件A与B。
在事件A已发生的条件下，事件B发生的机率称为条件机率，以P（B|A）表示，则P（B|A）=P（BA）/P（A）。
范例、掷一枚铜板2次，求2次均出现相同结果下，至少出现一次正面的机率?
A：
2次均出现相同结果={正正,反反}；
n（A）=2
P（B|A）=P（BA）/P（A）=（1/4）/（1/2）=1/2
范例、甲到玉市购玉，已知某玉店的10块玉中有4块为膺品。
甲欲买该店2块玉，则2块均为真品的机率?
设A为第一块玉为真品的事件，B为第二块玉为真品的事件，则
P（BA）=P（A）P（B|A）=（6/10）*（5/9）=1/3
定理：
贝氏定理
设B1,B2,…,Bn为互斥事件，且事件A为含有各种事件Bi某种共同特性之任意事件。
在事件A已发生情况下，则事件Bk发生之机率为
P（Bk|A）=P（Bk）P（A|Bk）/
P（Bi）P（A|Bi）
范例、甲制造车厂有二条生产线B1,B2，分别各占60%和40%的生产量。
已知生产线B1有2%的不合格率，生产线B2有3%的不合格率，兹某人购买该车厂乙部车有瑕疵，则此车为生产线B1之产品的机率？
P（B1）=0.6，P（A|B1）=0.02；
P（B2）=0.4，P（A|B2）=0.03
P（B1）=P（B1）P（A|B1）/[P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）]
=（0.6）（0.02）/[（0.6）（0.02）+（0.4）（0.03）]=0.5
3.4机率分配函数及其特征值
机率分配函数（ProbabilityDistributionFunction）可了解事件在机率空间中，其密度分布的情况，或样本在母体中出现的频率的情形。
机率分配函数通常指累积机率分配函数（cdf,CumulativeProbabilityDistribution）以F（x）表示之，或机率密度函数（pdf,ProbabilityDensityFunction）分别以p（x）---离散型与f（x）---连续型表示之。
机率分配之性质
x离散型：
（1）0p（xi）1所有xi值
（2）P（X=xi）=p（xi）所有xi值
（3）p（xi）=1所有xi值
x连续型：
（1）0f（x）
（2）P（axb）=
f（x）dx
（3）
f（x）dx=1
一个随机变量X之累积机率分配函数F（x）定义为：
F（x）=P（Xx）
F（x）表示随机变量X之值小于或等于x的机率。
x1Xx2时
P（x1Xx2）=F（x2）-F（x1）
F（x）具有下列性质
（a）F（x）是递增函数，即若ab，则F（a）F（b）
（b）limx-F（x）=0,limxF（x）=1
（c）F（x）是右连续函数
掷1骰子2次，令随机变数X为2次点数之和
3
5
6
7
8
9
11
12
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
F（x）
10/36
15/36
21/36
26/36
30/36
33/36
35/36
P（5X9）=F（9）–F（5）=30/36–10/36=20/36
平均值、变异数与期望值
一个机率分配的平均值是其集中趋势。
其定义为
=
xf（x）dx连续型
=xp（x）（所有x值）离散型
亦可将平均值表示为随机变量X的期望值（ExpectedValue）。
=E[X]=
xf（x）dx连续型
=E[X]=xp（x）（所有x值）离散型
其中E代表为期望值运算符（ExpectedValueOperator）。
一个机率分配的变异数是其离散趋势。
2=
（x-）2f（x）dx连续型
2=（x-）2p（x）（所有x值）离散型
亦可将变异数以期望值表示。
2=E[（x-）2]
另变异数的使用亦可定义为变异数运算符（VarianceOperator）V表示
V[X]=E[（x-）2]=2
有关随机变数X之平均值与变异数2与常数c，则
（1）E[c]=c
（2）E[X]=
（3）E[cX]=cE[X]=c
（4）V[c]=0
（5）V[X]=2=E[X2]-2
（6）V[cX]=c22
（7）E[X1+X2]=E[X1]+E[X2]=1+2
（8）V[X1+X2]=V[X1]+V[X2]+2Cov[X1,X2]
其中Cov[X1,X2]=E[（X1-1）（X2-2）]为随机变数X1与X2之共变异数（Covariance）。
如X1与X2是独立的，则Cov[X1,X2]=0。
（9）V[X1-X2]=V[X1]-V[X2]+2Cov[X1,X2]
倘X1与X2是独立的，则
（10）V[X1-X2]=V[X1]+V[X2]=21+22
（11）E[X1X2]=E[X1]E[X2]=12
一般而言，X1与X2是否独立
（12）E[X1/X2]E[X1]/E[X2]
每天大型生日蛋糕销售量（X）
销售量
机率
0.1
0.2
0.3
E[X]
0.4
0.9
0.8
0.5
2.7
E[X2]
3.2
2.5
9.3
V[X]
9.3–2.7^2=2.01
投资电子股股票的投资报酬率（X）
可能投资报酬率
-10
-6
15
-1
-1.8
2.2
E[2X+3]
2E[X]+3=2*2.2+3=7.4
10.8
45
75.8
V[2X+3]
4（75.8–2.2^2）=283.84
习题
1、下列何种抽样方法，抽样作为估计群体误差为最小
（1）单纯随机抽样法
（2）系统抽样法（3）分层随机抽样法（4）集体抽样法（5）视情形。
2、随机数表0392182746579916965630，若在50件（编号00–49）要抽5件时，则抽样第5件之编号为（16）。
3、进货50件，系统抽样，要抽5件，若第一件为编号3，则第四件之编号为（33）。
4、
一班学生50人之重量（群体/样本）
一桶溶液取一杯量来分析，一杯量为（群体/样本）
每批中取30个量测尺寸（群体/样本）
100箱（当抽样数为5）该箱可视为（无限群体/有限群体）
30箱（当抽样数为5时）该箱可视为（无限群体/有限群体）
5、随机数表0392182746579916965630，若在1000件（编号000–999）要抽五件时，则抽样第3件之编号为（274）
6、不良品A类10件，B类3件，C类6件，D类2件，E类4件，绘制柏拉图，则于柏拉图内第三要项之累积不良比率（80%）。
A:
10/25=40%,B:
3/25=12%,C:
6/25=24%,D:
2/25=8%,E:
4/25=16%,（40+24+16）%=80%
7、不良品A类10件，B类3件，C类6件，D类2件，E类4件，B类在百分比图中之%为（12）。
8、同上，扇形图A类之图心角度（144）。
9、次数分配表之组中点为3.5，5.5，7.5，9.5，11.5试求组距
（2）。
10、直方图向规格上下限伸展时，表示
变异过大
平均数过小
平均数过大
变异过小
平均数过小，变异也变小。
11、一组数字1，4，7，9，Y其R值＝10求Y。
9-Y=10,Y=-1orY-1=10,Y=11
12、23，21，22，20，X平均值＝23求X。
（23+21+22+20+X）/5=23,X=29
13、1，3，5，7，9求样本变异数及样本标准偏差。
8,2
（2）^0.5
14、某批取12个量测尺寸，其数据之特性必有（中位数/平均数/众数）。
15、常态分配平均值3，标准偏差0.2，则2.6～3.4间之次数约占全部次数之（95.45%）。
16、和中心值无关统计量（标准偏差/平方和/R值/平均偏差/变异数）。
17、写出1至30中可被5整除之集合。
{5,10,15,20,25,30}
18、集合B=｛X︳X^2+6X+5=0｝求B=｛-1,-5｝
19、A=｛1，3｝B=｛3，5，6｝C=｛1，3，5，8｝
A∪B={1,3,5,6}A∩B={3}A-B={1}
20、样本空间Ω=｛1，2，3，4｝A=｛1，2｝B=｛3｝
A’=｛3,4｝A-B=｛1,2｝,（A∪B）’=｛1,2,3｝’={4},B∩A’={3}∩{3,4}={3}
21、某公司有五架同型电视机，内有二架故障，王小姐任意挑选二架，试写出样本空间Ω={GG,GNG,NGG,NGNG}
22、一批制品有4个良品，3个疵品，自其中抽取二个时，其样本空间以不良品数目表示时，其样本空间为{GG,GNG,NGG,NGNG}={X|0,1,2}。
23、一铜币，其出现正反面之机会相等，掷一铜币二次，样本空间以正面出现次数表示，样本空间为{正正,正反,反正,反反}={X|0,1,2}。
24、某制程要控制温度，原料及水份，今考虑有4种水平的温度，5种原料及2种不同水份，则制造方法共有（4*5*2=40）种方法。
25、7题是非题总共有几种答法。
26、求C（20，4）=4845；
C（100，3）=161700；
C（100，97）=161700
27、从10件制品送验批中，任取3件加以检验，选取的方法有多少种？
C（10,3）=120
28、五男三女选4人组成委员会，可能组成若干委员会（2男2女）。
C（5,2）*C（3,2）=30
29、扑克牌52张中，随机取出4个，全部均为红砖的机率（C（13,4）C（39,0）/C（52,4）=0.00264）。
30、投一个六面骰子，出现偶数的机率=（1/2）。
31、投二个六面骰子，出现和大于10机率=（1/12）。
32、P（A-B）=0.4P（A∪B）=0.7求P（B）=？
P（B）=0.3
33、设A，B为互斥事件P（A）=0.4P（B）=0.5
P（A∪B）=（0.9）
P（A∩B）=（0）
P（A’）=（0.6）
P（A’∩B）=（0.5）
P（A∩B’）=（0.4）。
34、P（A）=0.3，P（B）=0.4，P（A∪B）=0.7则P（A∩B）=（0）。
35、P（A）=0.4P（A∪B）=0.7P（B）=Y若A及B互斥事件则Y=（0.3）
36、P（A∩B∩C∩D）写出上列公式。
37
升级会员 