致远管理学院 品质管理3Word格式.docx

1、AB =BA（6） 分配律：A（BC）=（AB）（AC）（7） 余集：设为全集，则-A称之为A之余集，记作A， -A=A若AA= AA= （A）=A 另A-B= A B（8） 分割：设为全集，集合A、B均含于，当满足（a）AB= （b） AB=时，则称为A、B为上的分割。（9） 余集律：（AB）=AB （AB）=AB* 符号说明： X：随机变数，P：机率，p：不合格率p（x）：机率密度函数（离散型）f（x）：机率密度函数（连续型）F（x）：累积机率分配函数（连续型、离散型）EX = （期望值），VX = 2 （变异数） ：母体平均值， 2：母体变异数：样本平均值， S2：样本变异数*3.2 机

2、率的概念 机率论是现代统计学的基础。机率是为了衡量不确定结果，而建构出来的一种测度。其中基本的概念为： 机率空间（Probability Space）：系统中，集合所有可能出现的事件而构成的一个抽象空间，通常以表示。有时亦称样本空间（Sample Space）或结果空间（Outcome Space）。 事件（Events）：系统中我们所要讨论合理且可能发生的现象，是机率空间的基本元素。 随机实验（Random Experiment）：可能出现的结果有很多种，重复实验时无法明确预知得到什么结果的实验方式。 随机变数（Random Variables）：定义在机率空间的一个量测机率的工具，通常以一

3、个一对多的不确定函数表示。它对实验的每一种结果指定一数值与之对应。或将文字叙述转换成数字叙述（将实验结果以数值表示，省略一一列出可能实验结果的烦杂）。常以X表示之，且其结果常符合某一特定分配。函数系针对定义域与对应域（值域）之间一对一或多对一的关系，即输入某一数值就对应输出另一数值，过程与结果均是确定的（Deterministic）。但当输入一事件却可能出现好几种其他情况时，如掷一骰子对应的是可能出现6种情况，此即随机变量。简言之，随机变量是一种多的广义函数。实数值x（事件）之机率P（X=x）决定机率分配函数p（x）。范例、某品牌相同原子笔n支，内有不合格品，某同学任意选1支，试写出样本空间？

4、（合格品=G，不合格品=NG） = G，NG=21若以不格合品数目表示（随机变量之概念，转换成数字）X的可能值有0，1； = X|0，1；如x=1=NG（X：随机变数表选得不合格品数；x：事件）范例、承上题，某同学任意选2支，试写出样本空间? = （G，G），（G，NG），（NG，G），（NG，NG） =22 若以不格合品数目表示（随机变量之概念，转换成数字）X 的可能值有0，1，2；X = X|0，1，2如x=1=（G，NG），（NG，G）范例、承上题，某同学任意选3支，试写出样本空间? = （G，G，G），（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G，G），（G，NG，NG），（NG，G

5、，NG），（NG，NG，G），（NG，NG，NG） =23X的可能值有0，1，2，3；X = X|0，1，2，3如x=1=（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G，G） 实验检验真理，真理只有一个。然随机实验中，其产生之结果是不确定的（Uncertainty）。机率就是衡量此不确定结果，而建构出来的一种测度。如何决定机率值-决定机率值的方法（1）理论机率=古典机率=机会均等机率 样本空间内有n（）个元素，若事件A为之部份集合，含n（A）个元素，则事件A的机率为：P（A）= n（A）/ n（）范例、承上题，某同学任意选1支，为不合格品之机率?n（）=21 事件= NG n（A）=1 P（A

6、）= 1/ 2X 的可能值有0，1；则x=1=NGP（A）= n（A）/ n（） P（x=1） =P（NG）=1/2范例、承上题，某同学任意选2支，有1不合格品之机率?n（）=22 事件= （G，NG），（NG，G） n（A）=2 P（A）= 2/22=1/2x=1=（G，NG），（NG，G） ； P（x=1） =P（G，NG），（NG，G）= 2/4 =1/2范例、承上题，某同学任意选3支，有1不合格品之机率?n（）=23 事件=（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G，G） n（A）=3 P（A）= 3/23=3/8则x=1=（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G，G）P（x

7、=1） =P（G，G，NG），（G，NG，G），（NG，G，G）= 3/8 计算理论机率的方法亦称古典方法，此法依靠抽象的推理与逻辑分析，而不必进行实际的试验。（2） 经验机率=客观机率 一随机实验重复试行n次，其中A事件共发生fA次，则A事件发生之机率可视为发生次数与总次数比：P（A）= fA/n当实验的次数愈多，事件的相对次数比将愈趋稳定；即 P（A）= fA/n（3）主观认定机率 一事件发生之机率，常由人们对此事的经验，或心理的感觉而决定。此机率较有争议。机率公设 在样本空间中，事件A发生的机率记做P（A），机率必须符合以下公设：（1） P（）=1，P（）=0（2） P（A）0（3） P

8、（A）=1-P（A），其中A=-A（4） 若B，P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）樣本空間計算基本法則法則一（加法原理）：完成一件事有二種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法，則完成此事件共有n1+n2種方法。法則二（乘法原理）：完成一件事有k個階段，第一階段有n1種方法，第二階段有n2種方法，第k階段有nk種方法，則完成此事件共n1n2nk種方法。法則三：在n個不同事物中，任取r個予以組合，其方法有C（n, r）=n!/（n-r）!r!。范例、甲、乙二人掷骰子，约定甲掷出点数是1, 2时，甲可得2元；点数是3, 4时可得4元；点数是5时可得10元；点数是6时，则甲需付

9、给乙20元。令X表掷骰子后甲所得的钱，求X的机率分布?=1, 2, 3, 4, 5, 6 ；n（） = 6X的可能值有2，4，10，-20；X=X|2, 4, 10, -20P（x=2） =P（1, 2）= n（A）/n（） = 2/6 P（x=4） =P（3, 4）= n（A）/n（） = 2/6P（x=10） =P（5）= n（A）/n（） = 1/6P（x=-20） =P（6）= n（A）/n（） = 1/6x2410-20p（x）2/61/6范例、甲掷一枚铜板2次，令X表出现正面的次数，求X的机率分布?=正正, 正反, 反正, 反反 ；n（） = 4X的可能值有0, 1, 2；X=X|

10、0, 1, 2P（x=0） =P（反反）= n（A）/n（） = 1/4 P（x=1） =P（正反, 反正）= n（A）/n（） = 2/4P（x=2） =P（正正）= n（A）/n（） = 1/411/42/4上述二范例均为离散型数据系属离散型随机变量，即实验结果其对应之数值只有可数的几种可能值，且可一一列出此种情况，以机率P（X=x）决定机率分配函数p（x）（离散型）。反之，连续型数据系属连续型随机变量，即实验结果其对应之数值不能列出各种可能值，则以机率P（Xa）决定机率分配函数f（x） （连续型）。3.3 统计独立与条件机率定义：统计独立（Statistically Independen

11、t） 在样本空间中有两事件A与B，若A发生的机率不受B影响，即P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与B为统计独立。范例：（独立无关联）爱足球不爱足球合计男648252900女7228100P（男）=900/1000=0.9；P（女）=100/1000=0.1=1-0.9P（爱足球）=（648+72）/1000=0.72P（不爱足球）=（252+28）/1000=0.28=1-0.72P（男爱足球）=648/1000=0.648P（男不爱足球）=252/1000=0.252P（女爱足球）=72/1000=0.072P（女不爱足球）=28/1000=0.028 由于P（男爱足球） =0.648

12、= P（男） P（爱足球）P（男不爱足球） =0.252= P（男） P（不爱足球）P（女爱足球） =0.072= P（女） P（爱足球）P（女不爱足球） =0.028= P（女） P（不爱足球）互斥事件（Disjoint Events） 在样本空间中有两事件A与B，若其集合无共同元素，即AB= ，则称事件A与B互斥。 P（AB）= 0。条件机率 在样本空间中有两事件A与B。在事件A已发生的条件下，事件B发生的机率称为条件机率，以P（B|A）表示，则P（B|A）=P（B A）/P（A）。范例、掷一枚铜板2次，求2次均出现相同结果下，至少出现一次正面的机率?A：2次均出现相同结果=正正, 反反；

13、n（A）=2P（B|A） = P（B A）/P（A） = （1/4）/（1/2） = 1/2范例、甲到玉市购玉，已知某玉店的10块玉中有4块为膺品。甲欲买该店2块玉，则2块均为真品的机率?设A为第一块玉为真品的事件，B为第二块玉为真品的事件，则P（B A） = P（A） P（B|A）= （6/10）*（5/9） = 1/3定理：贝氏定理 设B1, B2,Bn为互斥事件，且事件A为含有各种事件Bi某种共同特性之任意事件。在事件A已发生情况下，则事件Bk发生之机率为P（Bk|A） = P（Bk）P（A|Bk）/ P（Bi）P（A|Bi）范例、甲制造车厂有二条生产线B1 , B2，分别各占60%和4

14、0%的生产量。已知生产线B1有2%的不合格率，生产线B2有3%的不合格率，兹某人购买该车厂乙部车有瑕疵，则此车为生产线B1之产品的机率？ P（B1） = 0.6，P（A| B1） = 0.02；P（B2） = 0.4，P（A| B2） = 0.03P（B1） = P（B1）P（A| B1）/P（B1）P（A| B1）+P（B2）P（A| B2）=（0.6）（0.02）/（0.6）（0.02）+（0.4）（0.03）= 0.53.4 机率分配函数及其特征值机率分配函数（Probability Distribution Function）可了解事件在机率空间中，其密度分布的情况，或样本在母体中出现

15、的频率的情形。机率分配函数通常指累积机率分配函数（cdf, Cumulative Probability Distribution） 以F（x）表示之，或机率密度函数（pdf, Probability Density Function）分别以p（x）-离散型与f（x）-连续型表示之。机率分配之性质x离散型： （1） 0 p（xi） 1 所有xi值 （2） P（X = xi） = p（xi） 所有xi值（3） p（xi） = 1 所有xi值x连续型：（1） 0 f（x） （2） P（a x b） =f（x）dx （3） f（x）dx = 1一个随机变量X之累积机率分配函数F（x）定义为：F（x）

16、 = P（Xx）F（x）表示随机变量X之值小于或等于x的机率。x1X x2时P（x1X x2） = F（x2）-F（x1） F（x）具有下列性质（a） F（x）是递增函数，即若a b，则F（a） F（b）（b） limx -F（x）=0, limx F（x）=1（c） F（x）是右连续函数掷1骰子2次，令随机变数X为2次点数之和35678911121/362/363/364/365/366/36F（x）10/3615/3621/3626/3630/3633/3635/36P（5 X 9） = F（9） F（5） = 30/36 10/36 = 20/36平均值、变异数与期望值一个机率分配的平均

17、值是其集中趋势。其定义为 =xf（x）dx 连续型 = xp（x） （所有x值） 离散型亦可将平均值表示为随机变量X的期望值（Expected Value）。 = EX =xf（x）dx 连续型 = EX = xp（x） （所有x值） 离散型其中E代表为期望值运算符（Expected Value Operator）。一个机率分配的变异数是其离散趋势。2= （x-）2f（x）dx 连续型2 = （x-）2p（x） （所有x值） 离散型亦可将变异数以期望值表示。2 = E（x-）2 另变异数的使用亦可定义为变异数运算符（Variance Operator） V表示 VX = E（x-）2= 2有关

18、随机变数X之平均值 与变异数2与常数c，则（1） Ec = c（2） EX = （3） EcX = c EX = c（4） Vc = 0（5） VX = 2= EX2 - 2（6） VcX = c22（7） EX1+X2 = EX1+EX2 = 1+ 2（8） VX1+X2 = VX1 + VX2+ 2CovX1, X2其中 CovX1, X2 = E（X1-1）（X2-2）为随机变数X1与X2之共变异数（Covariance）。如X1与X2是独立的，则CovX1, X2=0。（9） VX1-X2 = VX1 - VX2+ 2CovX1, X2倘X1与X2是独立的，则 （10） VX1-X2

19、= VX1 + VX2= 21+ 22 （11） EX1X2 = EX1 EX2 = 1 2一般而言，X1与X2是否独立 （12） EX1 / X2 EX1 / EX2每天大型生日蛋糕销售量（X）销售量机率0.10.20.3EX0.40.90.80.52.7EX23.22.59.3VX9.3 2.72 = 2.01投资电子股股票的投资报酬率（X）可能投资报酬率-10-615-1-1.82.2E2X + 32 EX+3 = 2*2.2 + 3 = 7.410.84575.8V2X + 34（75.8 2.22） = 283.84习 题1、下列何种抽样方法，抽样作为估计群体误差为最小（1）单纯随机

20、抽样法（2）系统抽样法（3）分层随机抽样法（4）集体抽样法（5）视情形。2、随机数表 03 92 18 27 46 57 99 16 96 56 30，若在50件（编号0049）要抽5件时，则抽样第5件之编号为（ 16 ）。3、进货50件，系统抽样，要抽5件，若第一件为编号3，则第四件之编号为（ 33 ）。4、一班学生50人之重量（群体/样本）一桶溶液取一杯量来分析，一杯量为（群体/样本）每批中取30个量测尺寸（群体/样本）100箱（当抽样数为5）该箱可视为（无限群体/有限群体）30箱（当抽样数为5时）该箱可视为（无限群体/有限群体）5、随机数表 03 92 18 27 46 57 99 16

21、 96 56 30，若在1000件（编号000999）要抽五件时，则抽样第3件之编号为（ 274 ）6、不良品A类10件，B类3件，C类6件，D类2件，E类4件，绘制柏拉图，则于柏拉图内第三要项之累积不良比率（ 80% ）。A: 10/25=40%, B: 3/25=12%, C: 6/25=24%, D: 2/25=8%, E: 4/25=16%, （40+24+16）%=80%7、不良品A类10件，B类3件，C类6件，D类2件，E类4件，B类在百分比图中之%为（ 12 ）。8、同上，扇形图A类之图心角度（ 144 ）。9、次数分配表之组中点为3.5，5.5，7.5，9.5，11.5试求组距

22、（ 2 ） 。10、直方图向规格上下限伸展时，表示变异过大平均数过小平均数过大变异过小平均数过小，变异也变小。11、一组数字 1，4，7，9，Y 其R值10求Y。9-Y=10, Y=-1 or Y-1=10, Y=1112、23，21，22，20，X 平均值23求X。（23+21+22+20+X）/5 = 23, X=2913、1，3，5，7，9 求样本变异数及样本标准偏差。8, 2（2）0.514、某批取12个量测尺寸，其数据之特性必有（中位数/平均数/众数）。15、常态分配平均值3，标准偏差0.2，则2.63.4间之次数约占全部次数之（ 95.45 % ）。16、和中心值无关统计量（标准偏

23、差/平方和/R值/平均偏差/变异数）。17、写出1至30中可被5整除之集合。5, 10, 15, 20, 25, 3018、集合B=XX2+6X+5=0求B= -1, -5 19、A=1，3 B=3，5，6 C=1，3，5，8AB=1, 3, 5, 6 AB= 3 A-B=120、样本空间=1，2，3，4 A=1，2 B=3A=3, 4 A-B=1, 2, （AB）=1, 2, 3=4, BA=33, 4=321、某公司有五架同型电视机，内有二架故障，王小姐任意挑选二架，试写出样本空间=G G, G NG, NG G, NG NG22、一批制品有4个良品，3个疵品，自其中抽取二个时，其样本空间

24、以不良品数目表示时，其样本空间为G G, G NG, NG G, NG NG= X| 0, 1, 2。23、一铜币，其出现正反面之机会相等，掷一铜币二次，样本空间以正面出现次数表示，样本空间为正正, 正反, 反正, 反反=X| 0, 1, 2。24、某制程要控制温度，原料及水份，今考虑有4种水平的温度，5种原料及2种不同水份，则制造方法共有（ 4*5*2=40）种方法。25、7题是非题总共有几种答法。26、求C（20，4）= 4845 ；C（100，3）=161700； C（100，97）=16170027、从10件制品送验批中，任取3件加以检验，选取的方法有多少种？C（10,3）=12028

25、、五男三女选4人组成委员会，可能组成若干委员会（2男2女）。 C（5,2）*C（3,2）=30 29、扑克牌52张中，随机取出4个，全部均为红砖的机率（C（13,4）C（39,0）/C（52,4）=0.00264）。30、投一个六面骰子，出现偶数的机率= （ 1/2 ）。31、投二个六面骰子，出现和大于10机率= （ 1/12 ）。32、P（A-B）=0.4 P（AB）=0.7 求P（B）=？ P（B）=0.333、设A，B为互斥事件P（A）=0.4 P（B）=0.5 P（AB）=（0.9） P（AB）=（ 0 ） P（A）=（ 0.6 ） P（AB）=（0.5 ） P（AB）=（ 0.4 ）。34、P（A）=0.3， P（B）=0.4，P（AB）=0.7 则 P（AB）=（ 0 ）。35、P（A）=0.4 P（AB）=0.7 P（B）=Y 若A及B互斥事件则Y=（0.3 ）36、P（ABCD）写出上列公式。37