《整式的乘法与因式分解》单元测试附答案Word格式文档下载.docx
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(﹣3)m﹣1,得( )
A.3m﹣1B.(﹣3)m﹣1C.﹣(﹣3)m﹣1D.(﹣3)m
6.(2019春•芷江县期末)若3×
32m×
33m=321,则m的值为( )
A.2B.3C.4D.5
7.(2019春•桂林期末)已知(a+b)2=36,(a﹣b)2=16,则代数式a2+b2的值为( )
A.36B.26C.20D.16
8.(2018春•龙华区期末)将边长分别为a和b的两个正方形如图所示放置,则图中阴影部分的面积是( )
A.
b2B.
a2C.
a2
b2D.
ab
9.(2018秋•沛县期末)设a=255,b=333,c=422,则a、b、c的大小关系是( )
A.c<a<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<b<a
10.(2019春•嘉兴期末)如图,有甲、乙、丙三种纸片各若干张,其中甲、乙分别是边长为a(cm)、b(cm)的正方形,丙是长为b(cm),宽为a(cm)的长方形.若同时用甲、乙、丙纸片分别为4张、1张、4张拼成正方形,则拼成的正方形的边长为( )
A.(a+2b)cmB.(a﹣2b)cmC.(2a+b)cmD.(2a﹣b)cm
第Ⅱ卷(非选择题)
二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)
11.(2019春•杭州期末)若多项式9x2﹣mx+1(m是常数)是一个关于x的完全平方式,则m的值为
12.(2018秋•巢湖市期末)已知a+b=6,ab=3,则
ab= .
13.(2018秋•宽城区月考)在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a>b),再沿虚线剪开,如图①,然后拼成一个梯形,如图②.根据这两个图形的面积关系,用等式表示是 .
14.(2019春•灌云县期末)若am=2,an
,则a3m﹣2n= .
15.(2018秋•蔡甸区期末)已知:
x2﹣8x﹣3=0,则(x﹣1)(x﹣3)(x﹣5)(x﹣7)的值是 .
16.(2019春•碑林区校级期末)运用因式分解简便计算2×
2022+4×
202×
98+2×
982= .(要求:
写出运算过程)
评卷人
得分
三.解答题(共6小题,满分46分)
17.(6分)(2018秋•岳麓区校级月考)计算题:
(1)(﹣2x2)3•(﹣3x3)2•(x2)3÷
x8
(2)(﹣x)5÷
x3n﹣1•x3n•(﹣x)3
(3)
.
18.(6分)(2018秋•高平市期末)下面是某同学对多项式(x2﹣2x﹣1)(x2﹣2x+3)+4进行因式分解的过程,
解:
设x2﹣2x=y
原式=(y﹣1)(y+3)+4(第一步)
=y2+2y+1(第二步)
=(y+1)2(第三步)
=(x2﹣2x+1)2(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了 .
A.提取公因式B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?
(填“彻底”或者“不彻底”)
若不彻底.请直接写出因式分解的最后结果 .
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣4x)(x2﹣4x+8)+16进行因式分解.
19.(8分)(2018春•东海县期末)规定两数a,b之间的一种运算,记作(a,b):
如果ac=b,那么(a,b)=c.
例如:
因为23=8,所以(2,8)=3.
(1)根据上述规定,填空:
(5,25)= ,(5,1)= ,(3,
)= .
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征:
(3n,4n)=(3,4),
(3)小明给出了如下的证明:
设(3n,4n)=x,则(3n)x=4n,即(3x)n=4n
所以3x=4,即(3,4)=x,
所以(3n,4n)=(3,4).
试解决下列问题:
①计算(8,1000)﹣(32,100000)
②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式:
(3,20)﹣(3,4)=(3,5)
20.(8分)(2019春•娄星区期末)小明在做一道计算题目(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)的时候是这样分析的:
这个算式里面每个括号内都是两数和的形式,跟最近学的两大公式作对比,发现跟平方差公式很类似,但是需要添加两数的差,于是添了(2﹣1),并做了如下的计算:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=232﹣1
请按照小明的方法,计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
21.(8分)(2019春•迁西县期末)请认真观察图形,解答下列问题:
(1)根据图1中条件,试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和.
方法1:
;
方法2:
.
(2)从中你能发现什么结论?
请用等式表示出来:
(3)利用
(2)中结论解决下面的问题:
如图2,两个正方形边长分别为a、b,如果a+b=ab=4,求阴影部分的面积.
22.(10分)(2019春•平川区期末)阅读理解:
我们知道因式分解与整式乘法是互逆关系,那么逆用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),是否可以因式分解呢?
当然可以,而且也很简单.如:
x2+4x+3=x2+(1+3)x+1×
3=(x+1)(x+3);
x2﹣4x﹣5=x2+(1﹣5)x+1×
(﹣5)=(x+1)(x﹣5)
请你仿照上述方法分解因式;
(1)x2﹣7x﹣18;
(2)x2+12xy﹣13y2;
参考答案
【解析】解:
A.a3+a3=2a3,错误;
B.(﹣ab3)2=a2b6,正确;
C.﹣2a2b3•4ab2c=﹣8a3b5c,错误;
D.﹣a8÷
a2=﹣a6,错误.
故选:
B.
【点睛】本题考查了同底数幂乘法,幂的乘方与积的乘方,单项式的乘法,合并同类项,熟练掌握法则并准确计算是解题关键.
因式分解把一个多项式化为几个整式的积的形式,故A、B错,
C选项右边含有分式,不是几个整式的积的形式,故C错误,
D选项为完全平方式正确,
D.
【点睛】此题考查了因式分解的概念,熟练掌握和理解因式分解的概念是解题关键.
如果(x+6)x+1=1成立,则x+1=0或x+6=1或﹣1,
即x=﹣1或x=﹣5或x=﹣7,
当x=﹣1时,(x+6)0=1,
当x=﹣5时,1﹣4=1,
当x=﹣7时,(﹣1)﹣6=1,
C.
【点睛】本题主要考查了零指数幂的意义和1的指数幂.
①(a+b)(﹣b+a)=(a+b)(a﹣b),符合平方差公式;
②(﹣a+b)(a﹣b)=﹣(a﹣b)2,不符合平方差公式;
③(a+b)(﹣a﹣b)=﹣(a+b)2,不符合平方差公式;
④(a﹣b)(﹣a﹣b)=﹣(a﹣b)(a+b),符合平方差公式;
所以有①④两个可以运用平方差公式运算.
【点睛】此题考查了平方差公式的结构.解题的关键是准确认识公式,正确应用公式.
(﹣3)m+2×
(﹣3)m﹣1
=(﹣3)m﹣1(﹣3+2)
=﹣(﹣3)m﹣1.
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确分解因式是解题关键.
已知等式整理得:
35m+1=321,
可得5m+1=21,
解得:
m=4,
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
(a+b)2=a2+b2+2ab=36①,(a﹣b)2=a2+b2﹣2ab=16②,
①+②得:
2(a2+b2)=52,
则a2+b2=26,
【点睛】此题考查了完全平方公式,以及代数式求值,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
∵S阴影=a2+b2
b2
(a+b)a
(a﹣b)a
∴S阴影
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景,关键是利用面积法解决问题
∵a=255=(25)11=3211,
b=333=(33)11=2711
c=422=(42)11=1611,
∴c<b<a.
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及有理数的大小比较,正确将原式变形是解题关键.
【解析】解;
4张边长为a的正方形纸片的面积是4a2,
4张边长分别为a、b(b>a)的矩形纸片的面积是4ab,
1张边长为b的正方形纸片的面积是b2,
∵4a2+4ab+b2=(2a+b)2,
∴拼成的正方形的边长为(2a+b),
【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景,关键是根据题意得出4a2+4ab+b2=(2a+b)2,用到的知识点是完全平方公式.
11.(2019春•杭州期末)若多项式9x2﹣mx+1(m是常数)是一个关于x的完全平方式,则m的值为 ±
6
∵9x2﹣mx+1是一个完全平方式,
∴﹣mx=±
2•3x•1,
∴m=±
6,
故答案为:
±
6
【点睛】本题考查了完全平方式,能熟记完全平方式的特点是解此题的关键,注意:
完全平方式有两个:
a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2.
ab= 12 .
∵a+b=6,
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=36,
∵ab=3,
∴a2+2×
3+b2=36,
解得a2+b2=36﹣6=30.
所以:
,
12.
【点睛】本题是对完全平方公式的考查,学生经常漏掉乘积二倍项而导致出错.
13.(2018秋•宽城区月考)在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a>b),再沿虚线剪开,如图①,然后拼成一个梯形,如图②.根据这两个图形的面积关系,用等式表示是 a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) .
由题可得:
a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何表示,表示出图形阴影部分面积是解题的关键.
,则a3m﹣2n= 128 .
∵am=2,an
∴a3m﹣2n=(am)3÷
(an)2
8
128.
128
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方,熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键.
x2﹣8x﹣3=0,则(x﹣1)(x﹣3)(x﹣5)(x﹣7)的值是 180 .
∵x2﹣8x﹣3=0,
∴x2﹣8x=3
(x﹣1)(x﹣3)(x﹣5)(x﹣7)=(x2﹣8x+7)(x2﹣8x+15),
把x2﹣8x=3代入得:
原式=(3+7)(3+15)=180.
故答案是:
180.
【点睛】本题考查了整式的混合运算,正确理解乘法公式,对所求的式子进行变形是关键.
982= 180000 .(要求:
2×
982=2(2022+2×
98+982)=2(202+98)2=2×
3002=2×
90000=180000.
180000
【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握公式是解本题的关键.
=﹣8x6•9x6•x6÷
=﹣72x6+6+6﹣8
=﹣72x10;
=x5÷
x3n﹣1•x3n•x3
=x5﹣3n+1+3n+3
=x9;
=﹣2﹣2018×
22019
=﹣2﹣2018+2019
=﹣2.
【点睛】考查了单项式乘单项式,同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方,难度不大,但需要熟记相关的计算法则.
(1)该同学第二步到第三步运用了 C .
不彻底 (填“彻底”或者“不彻底”)
若不彻底.请直接写出因式分解的最后结果 (x﹣1)4 .
(1)运用了两数和的完全平方公式,
C;
(2)原式=[(x﹣1)2]2=(x﹣1)4,
不彻底,(x﹣1)4;
(3)设x2﹣4x=y,
原式=y(y+8)+16
=y2+8y+16
=(y+4)2
=(x2﹣4x+4)2
=(x﹣2)4,
即(x2﹣4x)(x2﹣4x+8)+16=(x﹣2)4.
【点睛】本题考查了分解因式,能正确运用完全平方公式进行分解因式是解此题的关键,注意:
a2+2ab+b2=(a+b)2,a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2.
(5,25)= 2 ,(5,1)= 0 ,(3,
)= ﹣2 .
(1)∵52=25,∴(5,25)=2;
∵50=1,∴(5,1)=0;
∵3﹣2
,∴(3,
)=﹣2;
故答案为2,0,﹣2;
(3)①(8,1000)﹣(32,100000)
=(23,103)﹣(25,105)
=(2,10)﹣(2,10)
=0;
②设3x=4,3y=5,则3x•3y=3x+y=4×
5=20,
所以(3,4)=x,(3,5)=y,(3,20)=x+y,
∴(3,20)﹣(3,4)
=x+y﹣x
=y
=(3,5),
即:
【点睛】本题考查了幂的乘方,熟练掌握幂的乘方根式是解题的关键.
原式
(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)
(38﹣1)(38+1)(316+1)
(316﹣1)(316+1)
(332﹣1).
【点睛】本题考查平方差公式的应用,熟悉平方差公式的结构是解题的关键.
a2+b2 ;
(a+b)2﹣2ab .
a2+b2=(a+b)2﹣2ab ;
(1)由题意可得:
a2+b2方法2:
(a+b)2﹣2ab,
a2+b2,(a+b)2﹣2ab;
(2)a2+b2=(a+b)2﹣2ab,
a2+b2=(a+b)2﹣2ab;
(3)∵阴影部分的面积=S正方形ABCD+S正方形CGFE﹣S△ABD﹣S△BGF=a2+b2
(a+b)b
∴阴影部分的面积
[(a+b)2﹣2ab]
ab,
∵a+b=ab=4,
ab=2.
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景,用代数式表示图形的面积是本题的关键.
(1)x2﹣7x﹣18=(x+2)(x﹣9);
(2)x2+12xy﹣13y2=(x+13y)(x﹣y).
【点睛】本题考查因式分解的应用,解题的关键是学会逆用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,进行因式分解,属于中考常考题型.