第43课时 开放与探究型问题.docx

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第43课时开放与探究型问题

第43课时　开放与探究型问题

（60分）

图43－1

一、选择题（每题6分，共12分）

1．[2016·东营]如图43－1，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，分析下列四个结论：

①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝.其中正确的结论有（　B　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【解析】　如答图，过点D作DM∥BE交AC于点N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∠EAC＝∠ACB，

∵BE⊥AC于点F，

第1题答图

∴∠ABC＝∠EFA＝90°，

∴△AEF∽△CAB.故①正确；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴＝，

∵AE＝AD＝BC，

∴＝，

∴CF＝2AF.故②正确；

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM＝DE＝BC，

∴BM＝CM，

∴CN＝NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DF＝DC.故③正确；

设EF＝1，则BF＝2，

∵∠BAD＝90°，BE⊥AC，

∴∠BAF＋∠FAE＝90°，∠FAE＋∠AEF＝90°，

∴∠BAF＝∠AEF，

∴△ABF∽△EAF，

∴＝，

∴AF＝＝，

∴tan∠CAD＝tan∠ABF＝＝.

图43－2

故④错误．故选B.

2．[2017·湖州]如图43－2，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（　A　）

A．CD＋DF＝4

B．CD－DF＝2－3

C．BC＋AB＝2＋4

第2题答图

D．BC－AB＝2

【解析】　如答图，设AB与⊙O相切于点M，BC与⊙O相切于点H，连结MO并延长MO交CD于点T，连结OH，连结OD交FG于点R，过点G作GN⊥AD于点N，分别交OD于点K，交OT于点P.

由折叠易知，OG＝DG，

∵OH⊥BC，∴∠OHG＝∠GCD＝90°，∠HOG＋∠OGH＝90°，

∵OG⊥DG，

∴∠OGH＋∠DGC＝90°，

∴∠DGC＝∠GOH，

∴△OHG≌△GCD，∴HG＝CD，OH＝GC＝1，

易得四边形BMOH是正方形，∴BM＝BH＝MO＝OH＝1，

设CD＝m，则HG＝m，AB＝m，

∴AM＝m－1，

又∵⊙O是△ABC的内切圆，

∴AC＝m＋1＋m－1＝2m，

∴AC＝2AB，∴∠ACB＝30°，

∴BC＝AB，2＋m＝m，解得m＝＋1，

∴AB＝＋1，BC＝2＋m＝3＋，

∴BC－AB＝2.D选项正确；

BC＋AB＝2m＋2＝2＋4，C选项正确；

由折叠知，OG＝GD，又∵OG⊥GD，

∴△OGD是等腰直角三角形，且OR＝RD，

∴RG＝RD，RG⊥RD，

∵GN⊥AD，∠GRD＝∠FRD＝90°，

又∵∠RKG＝∠NKD，∠RKG＋∠RGK＝∠NKD＋∠NDK＝90°，

∴∠NDK＝∠RGK，

∴△RKG≌△RFD（AAS），∴KG＝DF，

易得四边形OHGP是矩形，∴PG＝1，

由GN∥DC，可得△OPK∽△OTD，

∴＝＝＝＝－1，

∴PK＝3－，∴KG＝DF＝4－，

CD－DF＝＋1－（4－）＝2－3.B选项正确；

CD＋DF＝＋1＋（4－）＝5.A选项错误．故选A.

二、填空题（每题6分，共12分）

3．[2017·南充]如图43－3，正方形ABCD边长为1，以AB为直径作半圆，P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ.给出如下结论：

①DQ＝1；②＝；③S△PDQ＝；④cos∠ADQ＝.其中正确结论是__①②④__（填序号）．

图43－3

【解析】　①如答图，连结OQ，OD，

第3题答图

∵DP＝CD＝BO＝AB，且DP∥OB，

∴四边形OBPD是平行四边形．

∴∠AOD＝∠OBQ，∠DOQ＝∠OQB，

∵OB＝OQ，∴∠OBQ＝∠OQB，

∴∠AOD＝∠DOQ，∴△AOD≌△QOD（SAS），

∴∠OQD＝∠DAO＝90°，DQ＝AD＝1.

∴①正确；

②如答图，延长DQ交BC于点E，过点Q作QF⊥CD，垂足为F，

根据切线长定理，得QE＝BE，设QE＝x，则BE＝x，DE＝1＋x，CE＝1－x，

在Rt△CDE中，

（1＋x）2＝（1－x）2＋1，

解得x＝，∴CE＝，

∵△DQF∽△DEC，

∴＝＝，得FQ＝，

∵△PQF∽△PBC，

∴＝＝，

∴＝.

∴②正确；

③S△PDQ＝DP·QF＝××＝.

∴③错误；

④∵AD∥BC，

∴∠ADQ＝∠DEC，

∴cos∠ADQ＝cos∠DEC＝＝＝，

∴④正确．故答案为①②④.

4．[2016·随州]如图43－4，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM，PN分别交AB，BC于E，F两点，连结EF交OB于点G，则下列结论中正确的是__①②③⑤__．

①EF＝OE；②S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4；③BE＋BF＝OA；④在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝；⑤OG·BD＝AE2＋CF2.

图43－4第4题答图

【解析】　∵四边形ABCD是正方形，

∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，

∴∠BOF＋∠COF＝90°，

∵∠EOF＝90°，

∴∠BOF＋∠BOE＝90°，

∴∠BOE＝∠COF，

∴△BOE≌△COF（ASA），

∴OE＝OF，BE＝CF，

∴EF＝OE.故①正确；

∵S四边形OEBF＝S△BOE＋S△BOF＝S△BOF＋S△COF＝S△BOC＝S正方形ABCD，

∴S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4.故②正确；

∵BE＋BF＝BF＋CF＝BC＝OA.故③正确；

如答图，过点O作OH⊥BC交BC于点H，

∵BC＝1，

∴OH＝BC＝，

设AE＝x，则BE＝CF＝1－x，BF＝x，

∴S△BEF＋S△COF＝BE·BF＋CF·OH＝x（1－x）＋（1－x）×

＝－＋，

∵a＝－＜0，

∴当x＝时，S△BEF＋S△COF最大，

即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝.故④错误；

∵∠EOG＝∠BOE，∠OEG＝∠OBE＝45°，

∴△OEG∽△OBE，∴OE∶OB＝OG∶OE，

∴OG·OB＝OE2，

∵OB＝BD，OE＝EF，∴OG·BD＝EF2，

∵在△BEF中，EF2＝BE2＋BF2，

∴EF2＝AE2＋CF2，

∴OG·BD＝AE2＋CF2.故⑤正确．

故答案为①②③⑤.

三、解答题（共46分）

5．（16分）[2017·重庆]在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.

图43－5

（1）如图43－5①，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长；

（2）如图②，将

（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.求证：

BE＋CF＝AB；

（3）如图③，将

（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，求证：

BE＋CF＝（BE－CF）．

解：

（1）由四边形AEDF的内角和为360°，可知DE⊥AB，又∵AB＝AC，

∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，

∴BD＝2.在Rt△BDE中，∠B＝60°，∴BE＝1；

（2）证明：

如答图①，取AB的中点G，连结DG.

易证：

DG为△ABC的中位线，

∵△ABC是等边三角形，

∴DG＝DC，∠BGD＝∠C＝60°，

又∵四边形AEDF的对角互补，故∠GED＝∠DFC，

∴△DEG≌△DFC（AAS）．

∴EG＝CF，

∴BE＋CF＝BE＋EG＝BG＝AB；

①②

第5题答图

（3）证明：

如答图②，取AB的中点G，连结DG.

同

（2），易证△DEG≌△DFC，

故EG＝CF，

故BE－CF＝BE－EG＝BG＝AB.

设CN＝x，

在Rt△DCN中，CD＝2x，DN＝x，

在Rt△DFN中，NF＝DN＝x，

∴EG＝CF＝（－1）x，

BE＝BG＋EG＝DC＋CF＝2x＋（－1）x＝（＋1）x，

∴BE＋CF＝（＋1）x＋（－1）x＝2x，

（BE－CF）＝[（＋1）x－（－1）x]＝2x.

∴BE＋CF＝（BE－CF）．

6．（15分）[2016·黑龙江]已知：

P是▱ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，O为AC的中点．

（1）如图43－6①，当点P与点O重合时，求证OE＝OF；

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE＝30°时，如图②、图③的位置，猜想线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系？

请写出你对图②、图③的猜想，并选择一种情况给予证明．

图43－6

解：

（1）证明：

∵AE⊥PB，CF⊥BP，

∴∠AEO＝∠CFO＝90°，

在△AEO和△CFO中，

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴OE＝OF；

（2）图②中的结论为CF＝OE＋AE.

图③中的结论为CF＝OE－AE.

选图②中的结论，证明：

如答图①，延长EO交CF于点G.

∵AE⊥BP，CF⊥BP，

∴AE∥CF，

∴∠EAO＝∠GCO，

在△EOA和△GOC中，

∴△EOA≌△GOC（ASA），

∴EO＝GO，AE＝CG，

在Rt△EFG中，

∵EO＝OG，

∴OE＝OF＝GO，

∵∠OFE＝30°，

∴∠OFG＝90°－30°＝60°，

∴△OFG是等边三角形，

∴OF＝FG，

∵OE＝OF，

∴OE＝FG，

∵CF＝FG＋CG，

∴CF＝OE＋AE.

①②

　　　第6题答图

选图③的结论，证明：

如答图②，延长EO交FC的延长线于点G，

∵AE⊥BP，CF⊥BP，

∴AE∥CF，

∴∠AEO＝∠G，

在△AOE和△COG中，

∴△AOE≌△COG（AAS），

∴OE＝OG，AE＝CG，

在Rt△EFG中，

∵OE＝OG，

∴OE＝OF＝OG，

∵∠OFE＝30°，

∴∠OFG＝90°－30°＝60°，

∴△OFG是等边三角形，

∴OF＝FG，

∵OE＝OF，

∴OE＝FG，

∵CF＝FG－CG，

∴CF＝OE－AE.

7．（15分）[2016·扬州]已知正方形ABCD的边长为4，一个以A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC，DC的延长线交于点E，F，连结EF.设CE＝a，CF＝b.

图43－7

（1）如图43－7①，当∠EAF被对角线AC平分时，求a，b的值；

（2）当△AEF是直角三角形时，求a，b的值；

（3）如图③，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a，b满足的关系式，并说明理由．

解：

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCF＝∠DCE＝90°，

∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠ACB＝∠ACD＝45°，

∴∠ACF＝∠ACE，

∵∠EAF被对角线AC平分，

∴∠CAF＝∠CAE，

在△ACF和△ACE中，

∴△ACF≌△ACE（ASA），

∴CE＝CF，

∵CE＝a，CF＝b，

∴