高中数学 第3章 1第1课时 导数与函数的单调性课时作业 北师大版选修22.docx

高中数学 第3章 1第1课时 导数与函数的单调性课时作业 北师大版选修22.docx

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高中数学第3章1第1课时导数与函数的单调性课时作业北师大版选修22

【成才之路】2015-2016学年高中数学第3章1第1课时导数与函数的单调性课时作业北师大版选修2-2

一、选择题

1．函数y＝xlnx＋m的单调递增区间是（　　）

A．（

，＋∞）B．（0，e）

C．（0，

）D．（

，e）

[答案]　A

[解析]　定义域为{x|x>0}，

由y′＝lnx＋1>0，得x>

.

2．函数f（x）＝2x－sinx在（－∞，＋∞）上（　　）

A．是增函数

B．是减函数

C．在（0，＋∞）上增，在（－∞，0）上增

D．在（0，＋∞）上减，在（－∞，0）上增

[答案]　A

[解析]　f′（x）＝2－cosx>0在（－∞，＋∞）上恒成立．

3．函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间是（　　）

A．（－∞，2）B．（0,3）

C．（1,4）D．（2，＋∞）

[答案]　D

[解析]　f′（x）＝（x－3）′ex＋（x－3）（ex）′＝（x－2）ex，当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，2）

（2，＋∞）

f′（x）

－

＋

f（x）

单调递减

单调递增

由此得，函数f（x）的单调递减区间为（－∞，2），单调递增区间为（2，＋∞），故选D.

4．函数f（x）＝（x＋3）e－x的单调递增区间是（　　）

A．（－∞，－2）B．（0,3）

C．（1,4）D．（2，＋∞）

[答案]　A

[解析]　∵f（x）＝（x＋3）e－x，

∴f′（x）＝e－x－（x＋3）e－x＝e－x（－x－2），

由f′（x）>0得x<－2，∴选A．

5．（2014·新课标Ⅱ文，11）若函数f（x）＝kx－lnx在区间（1，＋∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）

A．（－∞，－2]B．（－∞，－1]

C．[2，＋∞）D．[1，＋∞）

[答案]　D

[解析]　由条件知f′（x）＝k－

≥0在（1，＋∞）上恒成立，∴k≥1.

把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．

二、填空题

6．函数f（x）＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．

[答案]　（－1,11）

[解析]　f′（x）＝3x2－30x－33＝3（x－11）（x＋1），令（x－11）（x＋1）<0，解得－1

7．函数f（x）＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间为（0,3），则m＝____________.

[答案]　

[解析]　令f′（x）＝3x2－2mx＝0，解得x＝0或x＝

m，所以

m＝3，m＝

.

8．（2014·扬州检测）若函数f（x）＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则m的取值范围是________．

[答案]　[

，＋∞）

[解析]　因为f（x）＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，f′（x）＝3x2＋2x＋m，由题意可知f（x）在R上只能递增，所以Δ＝4－12m≤0，所以m≥

.

三、解答题

9．求函数y＝2x3－3x的单调区间．

[解析]　由题意得y′＝6x2－3.令y′＝6x2－3>0，解得x<－

或x>

.

当x∈（－∞，－

）时，函数为增函数；当x∈（

，＋∞）时，函数也为增函数．

令y′＝6x2－3<0，解得－

，当x∈（－

，

）时，函数为减函数．

故函数的递增区间为（－∞，－

）和（

，＋∞），递减区间为（－

，

）．

10.

若函数f（x）＝

x3－

ax2＋（a－1）x＋1在区间（1,4）内单调递减，在（6，＋∞）上单调递增，试求a的范围．

[解析]　解法一：

（区间法）

f′（x）＝x2－ax＋a－1，令f′（x）＝0，所以x＝1或x＝a－1.

当a－1≤1，即a≤2时，函数f（x）在（1，＋∞）内单调递增，不合题意．

当a－1>1，即a>2时，f（x）在（－∞，1）和（a－1，＋∞）上单调递增，在（1，a－1）上单调递减，由题意知：

（1,4）⊆（1，a－1）且（6，＋∞）⊆（a－1，＋∞），

所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.

解法二：

（数形结合）

如图所示，f′（x）＝（x－1）[x－（a－1）]．若在（1,4）内f′（x）≤0，（6，＋∞）内f′（x）≥0，且f′（x）＝0有一根为1，则另一根在[4,6]上．

所以

即

所以5≤a≤7.

解法三：

（转化为不等式的恒成立问题）

f′（x）＝x2－ax＋a－1.因为f（x）在（1,4）内单调递减，所以f′（x）≤0在（1,4）上恒成立．即a（x－1）≥x2－1在（1,4）上恒成立，所以a≥x＋1，因为2

又因为f（x）在（6，＋∞）上单调递增，所以f′（x）≥0在（6，＋∞）上恒成立，

所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以a≤7时，f′（x）≥0在（6，＋∞）上恒成立．由题意知5≤a≤7.

[点评]　本题是含参数单调性问题，是高考的重点和热点，体现了数学上的数形结合与转化思想.

一、选择题

1．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（　　）

A．（

，

）B．（π，2π）

C．（

，

）D．（2π，3π）

[答案]　B

[解析]　y′＝－xsinx.当x∈（π，2π）时，y′>0，则函数y＝xcosx－sinx在区间（π，2π）内是增函数．

2．设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f′（x）的图象可能为（　　）

[答案]　D

[解析]　函数y＝f（x）在区间（－∞，0）上单调递增，则导函数y＝f′（x）在区间（－∞，0）上的函数值为正，排除A、C；原函数y＝f（x）在区间（0，＋∞）上先增再减，最后再增，其导函数y＝f′（x）在区间（0，＋∞）上的函数值先正、再负、再正，排除B.故选D.

3.（2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考）设函数F（x）＝

是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）

A．f

（2）>e2f（0），f（2012）>e2012f（0）

B．f

（2）e2012f（0）

C．f

（2）

D．f

（2）>e2f（0），f（2012）

[答案]　C

[解析]　∵函数F（x）＝

的导数

F′（x）＝

＝

<0，

∴函数F（x）＝

是定义在R上的减函数，

∴F

（2）

<

，故有f

（2）

同理可得f（2012）

4.（2014·辽宁理，11）当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．[－5，－3]

B．[－6，－

]

C．[－6，－2]

D．[－4，－3]

[答案]　C

[解析]　当x>0时，a≥

－

－

恒成立．

令

＝t，x∈（0,1]，∴t≥1.

∴a≥t－4t2－3t3恒成立．

令g（t）＝t－4t2－3t3，g′（t）＝1－8t－9t2

对称轴t＝－

＝－

，

∴函数g′（t）在[1，＋∞）上减函数

而且g′

（1）＝－16<0，

∴g′（t）<0在[1，＋∞）上成立．

∴g（t）在[1，＋∞）上是减函数，

∴g（t）max＝g

（1）＝－6.

当x<0时，a≤

－

－

恒成立

∵x∈[－2,0），∴t≤－

，

令g′（t）＝0，∴t＝－1，

∴g（t）在（－∞，－1]上为减函数，在（－1，－

]上为增函数，

∴g（t）min＝g（－1）＝－2，

∴－6≤a≤－2.

二、填空题

5．（2014·郑州网校期中联考）若f（x）＝－

x2＋bln（x＋2）在（－1，＋∞）上是减函数，则b的取值范围是________．

[答案]　b≤－1

[解析]　f（x）在（－1，＋∞）上为减函数，∴f′（x）≤0在（－1，＋∞）上恒成立，∵f′（x）＝－x＋

，∴－x＋

≤0，∵b≤x（x＋2）在（－1，＋∞）上恒成立，∴b≤－1.

6．下图为函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像，f′（x）为函数f（x）的导函数，则不等式x·f′（x）<0的解集为__________________．

[答案]　（－∞，－

）∪（0，

）

[解析]　由f（x）的图像知，f（x）在（－∞，－

）和（

，＋∞）上为增函数，在（－

，

）上为减函数，

∴当x∈（－∞，－

）∪（

，＋∞）时，f′（x）>0；

当x∈（－

，

）时，f′（x）<0.

∴x·f′（x）<0的解集为（－∞，－

）∪（0，

）．

三、解答题

7．设f（x）＝a（x－5）2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线与y轴相交于点（0,6）．

（1）确定a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间．

[解析]　

（1）因f（x）＝a（x－5）2＋6lnx，

故f′（x）＝2a（x－5）＋

.

令x＝1，得f

（1）＝16a，f′

（1）＝6－8a，

所以曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为y－16a＝（6－8a）（x－1），由点（0,6）在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝

.

（2）由

（1）知，f（x）＝

（x－5）2＋6lnx（x>0），

f′（x）＝x－5＋

＝

.

令f′（x）＝0，解得x1＝2，x2＝3.

当03时，f′（x）>0，故f（x）的增区间为（0,2），（3，＋∞）；当2

故f（x）的减区间为（2,3）．

8.已知函数f（x）＝x3－ax－1.

（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a，使f（x）在（－1,1）上单调递减？

若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；

（3）证明：

f（x）＝x3－ax－1的图像不可能总在直线y＝a的上方．

[解析]　

（1）由已知f′（x）＝3x2－a，

∵f（x）在（－∞，＋∞）上是单调增函数，

∴f′（x）＝3x2－a≥0在（－∞，＋∞）上恒成立，

即a≤3x2对x∈R恒成立．

∵3x2≥0，∴只需a≤0，

又a＝0时，f′（x）＝3x2≥0，f（x）＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.

（2）由f′（x）＝3x2－a≤0在（－1,1）上恒成立，

得a≥3x2，x∈（－1,1）恒成立．

∵－1

当a＝3时，f′（x）＝3（x2－1），

在x∈（－1,1）上，f′（x）<0，

即f（x）在（－1,1）上为减函数，∴a≥3.

故存在实数a≥3，使f（x）在（－1,1）上单调递减．

（3）证明：

∵f（－1）＝a－2

∴f（x）的图像不可能总在直线y＝a的上方．