G立体几何文科.docx

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G立体几何文科

G立体几何

G1空间几何体的结构

9．G1[2012·重庆卷]设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围为（　　）

A．（0，）B．（0，）

C．（1，）D．（1，）

图1－2

9．A　[解析]如图1－2所示，设AB＝a，CD＝，BC＝BD＝AC＝AD＝1，则∠ACD＝∠BCD＝45°，要构造一个四面体，则△ACD与共面BCD不能重合，当△BCD与△ACD重合时，a＝0；当A、B、C、D四点共面，且A、B两点在DC的两侧时，在△ABC中，∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝45°＋45°＝90°，AB＝＝，所以a的取值范围是（0，）．

8．G1、G2[2012·陕西卷]将正方体（如图1－3①所示）截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为（　　）

图1－3

图1－4

8．B　[解析]分析题目中截几何体所得的新的几何体的形状，结合三视图实线和虚线的不同表示可知对应的左视图应该为B.

15．G1、G12[2012·安徽卷]若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________（写出所有正确结论的编号）．

①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．

15．②④⑤　[解析]如图，把四面体ABCD放入长方体中，由长方体中相对面中相互异面的两条面对角线不一定相互垂直可知①错误；由长方体中△ABC≌△ABD≌△DCB≌△DCA，可知四面体ABCD每个面的面积相等，同时四面体ABCD中过同一顶点的三个角之和为一个三角形的三个内角之和，即为180°，故②正确，③错误；长方体中相对面中相互异面的两条面对角线中点的连线相互垂直，故④正确；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱可以移到一个三角形中，作为一个三角形的三条边，故⑤正确．答案为②④⑤.

5．G1[2012·上海卷]一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．

5．6π　[解析]考查圆柱的表面积，利用圆的周长求得圆柱的底面半径．

由圆柱的底面周长可得底面圆的半径，2πr＝2π，∴r＝1，

得圆柱的表面积S＝2πr2＋2πh＝2π＋4π＝6π.

19．G1、G11[2012·上海卷]如图1－1，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2，求：

图1－1

（1）三棱锥P－ABC的体积；

（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．

19．解：

（1）S△ABC＝×2×2＝2，

图1－2

三棱锥P－ABC的体积为

V＝S△ABC×PA＝×2×2＝.

（2）取PB的中点E，连接DE、AE，则ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角．

在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，

cos∠ADE＝＝，

所以∠ADE＝arccos.

因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是arccos.

G2空间几何体的三视图和直观图

10．G2[2012·天津卷]一个几何体的三视图如图1－2所示（单位：

m），则该几何体的体积为________m3.

图1－2

10．30　[解析]由三视图可得该几何体为两个直四棱柱的组合体，其体积V＝3×4×2＋（1＋2）×1×4＝30.

13．G2[2012·辽宁卷]一个几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为________．

图1－3

13．12＋π　[解析]本小题主要考查三视图和体积公式．解题的突破口为通过观察分析三视图，得出几何体的形状，是解决问题的根本．

由三视图可知，几何体是一个长方体与一个圆柱构成的组合体，所以该几何体的体积为V＝V长方体＋V圆柱＝4×3×1＋π×12×1＝12＋π.

7．G2[2012·课标全国卷]如图1－2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（　　）

图1－3

A．6B．9C．12D．18

7．B　[解析]根据三视图可知该几何体是三棱锥，其底面是斜边长为6的等腰直角三角形（斜边上的高为3），有一条长为3的侧棱垂直于底面，所以该几何体的体积是V＝××6×3×3＝9，故选B.

3.G2、G7[2012·浙江卷]已知某三棱锥的三视图（单位：

cm）如图1－1所示，则该三棱锥的体积是（　　）

A．1cm3B．2cm3

C．3cm3D．6cm3

图1－1

3．A　[解析]本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查学生对数据的运算能力和空间想象能力．由三视图可知，该几何体为一个正三棱锥，则V＝Sh＝××1×2×3＝1.

8．G1、G2[2012·陕西卷]将正方体（如图1－3①所示）截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为（　　）

图1－3

图1－4

8．B　[解析]分析题目中截几何体所得的新的几何体的形状，结合三视图实线和虚线的不同表示可知对应的左视图应该为B.

15.G2[2012·湖北卷]已知某几何体的三视图如图1－4所示，则该几何体的体积为________．

图1－4

　　　图1－5

15．[答案]12π

[解析]由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是V＝π×22×1×2＋π×12×4＝12π.

7．G2[2012·广东卷]某几何体的三视图如图1－1所示，它的体积为（　　）

图1－1

A．72πB．48π

C．30πD．24π

7．C　[解析]根据三观图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R＝3，圆锥半径R＝3，高为4，所以V组合体＝V半球＋V圆锥＝×π×33＋π×32×4＝30π，所以选择C.

4．G2[2012·福建卷]一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（　　）

A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱

4．D　[解析]球的三视图大小、形状相同，三棱锥的三视图也可能相同，正方体三种视图也相同，只有D不同．

12．G2、G7[2012·安徽卷]某几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的体积等于________．

图1－2

12．56　[解析]如图，根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其体积为V＝Sh＝×4×4＝56.

7．G2、G7[2012·北京卷]某三棱锥的三视图如图1－4所示，该三棱锥的表面积是（　　）

图1－4

A．28＋6

B．30＋6

C．56＋12

D．60＋12

7．B　[解析]本题考查三棱锥的三视图与表面积公式．

由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥，如图所示，可知S底面＝×5×4＝10，

S后＝×5×4＝10，

S左＝×6×2＝6，

S右＝×4×5＝10，

所以S表＝10×3＋6＝30＋6.

4．G2[2012·湖南卷]某几何体的正视图和侧视图均如图1－1所示，则该几何体的俯视图不可能是（　　）

图1－1

4．C　[解析]本题考查三视图，意在考查考生三视图的辨析，以及对三视图的理解和掌握．选项A,B,D，都有可能，选项C的正视图应该有看不见的虚线，故C是不可能的．

[易错点]本题由于对三视图的不了解，易错选D，三视图中看不见的棱应该用虚线标出．

7．G2[2012·江西卷]若一个几何体的三视图如图1－2所示，则此几何体的体积为（　　）

A.

B．5

C.

D．4

图1－2

7．D　[解析]该几何体是直六棱柱，由左视图知其高为1，由主视图和俯视图知其底面面积S＝（1＋3）×1＝4，因此其体积为4，故选D.

G3平面的基本性质、空间两条直线

G4空间中的平行关系

19．G4、G5[2012·山东卷]如图1－6，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

图1－6

（1）求证：

BE＝DE；

（2）若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：

DM∥平面BEC.

19．证明：

（1）取BD的中点O，连接CO，EO.

由于CB＝CD，所以CO⊥BD，

又EC⊥BD，EC∩CO＝C，

CO，EC⊂平面EOC，

所以BD⊥平面EOC，

因此BD⊥EO，

又O为BD的中点，

所以BE＝DE.

（2）证法一：

取AB的中点N，连接DM，DN，MN，

因为M是AE的中点，

所以MN∥BE.

又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，

所以MN∥平面BEC，

又因为△ABD为正三角形，

所以∠BDN＝30°，

又CB＝CD，∠BCD＝120°，

因此∠CBD＝30°，

所以DN∥BC，

又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC，

又MN∩DN＝N，

故平面DMN∥平面BEC，

又DM⊂平面DMN，

所以DM∥平面BEC.

证法二：

延长AD，BC交于点F，连接EF.

因为CB＝CD，∠BCD＝120°.

所以∠CBD＝30°.

因为△ABD为正三角形．

所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，

因此∠AFB＝30°，

所以AB＝AF.

又AB＝AD，

所以D为线段AF的中点．

连接DM，由点M是线段AE的中点，

因此DM∥EF.

又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，

所以DM∥平面BEC.

18．G4、G7[2012·辽宁卷]如图1－5，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

（1）证明：

MN∥平面A′ACC′；

（2）求三棱锥A′－MNC的体积．

（锥体体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高）

图1－5

18．解：

（1）（证法一）

连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，

AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，

所以M为AB′中点，

又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.

又MN⊄平面A′ACC′，

AC′⊂平面A′ACC′，

因此MN∥平面A′ACC′.

（证法二）

取A′B′中点P，连结MP，NP，

M、N分别为AB′与B′C′的中点，

所以MP∥AA′，PN∥A′C′，

所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，

又MP∩NP＝P，

因此平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN.

因此MN∥平面A′ACC′.

（2）（解法一）

连结BN，由题意A′N⊥B′C′，

平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，

所以A′N⊥平面NBC.

又A′N＝B′C′＝1，故

VA′－MNC＝VN－A′MC＝VN－A′BC＝VA′－NBC＝.

（解法二）

VA′－MNC＝VA′－NBC－VM－NBC＝VA′－NBC＝.

16．G4、G5、G7[2012·北京卷]如图1－9

（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图1－9

（2）．

（1）求证：

DE∥平面A1CB；

（2）求证：

A1F⊥BE；

（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？

说明理由．

图1－9

16．解：

（1）证明：

因为D，E分别为AC，AB的中点，

所以DE∥