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A.110°

B.100°

C.80°

D.70°

7.如图，在边长为1的等边三角形ABC中，若将两条含圆心角的

、及边AC所围成的阴影部分的面积记为S，则S与△ABC

面积的比等于

8．若m、n（m<

n）是关于x的方程的两根，且a<

b，

则a、b、m、n的大小关系是

A.m<

a<

b<

nB.a<

m<

n<

b

C.a<

nD.m<

二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）

9.在函数中，自变量x的取值范围是．

10.若，则的值等于．

11.如图，△ABC中，∠ABC的平分线交AC于E，BE⊥AC，

DE∥BC交AB于D，若BC=4，则DE=.

12.在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，BC＜AC，若，则∠A=°

．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．计算：

.

14．解不等式组在数轴上表示它的解集，求它的整数解.

15．已知：

如图，△ABC中，AB=AC，BC为最大边，点D、

E分别在BC、AC上，BD=CE，F为BA延长线上一点，

BF=CD.

求证：

∠DEF=∠DFE.

16．解方程：

17．已知抛物线经过点，求抛物线与x轴交点的坐

标及顶点的坐标．

18．已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，

AB=AD=2，∠A=60°

，BC=4，求CD的长．

四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分）

19．已知：

如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交

⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.

（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若⊙O的半径等于4，，求CD的长.

20．有三个完全相同的小球，上面分别标有数字1、2、3，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），设第一次摸到的球上所标的数字为m，第二次摸到的球上所标的数字为n，依次以m、n作为点M的横、纵坐标．

（1）用树状图（或列表法）表示出点M的坐标所有可能的结果；

（2）求点M在第三象限的概率．

21．某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装8吨甲种苹果，

或10吨乙种苹果，或11吨丙种苹果．公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须

满载．已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨，且每种苹果不少于一车．

（1）设用x辆车装甲种苹果，y辆车装乙种苹果，求y与x之间的函数关系式，并写

出自变量x的取值范围；

（2）若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示：

苹果品种甲乙丙

每吨苹果所获利润（万元）0.220.210.2

设此次运输的利润为W（万元），问：

如何安排车辆分配方案才能使运输利润W

最大，并求出最大利润．

22．已知：

如图，△ABC中，AC＜AB＜BC．

（1）在BC边上确定点P的位置，使∠APC=∠C．请画

出图形，不写画法；

（2）在图中画出一条直线l，使得直线l分别与AB、BC边

交于点M、N，并且沿直线l将△ABC剪开后可拼成

一个等腰梯形．请画出直线l及拼接后的等腰梯形，并

简要说明你的剪拼方法．

说明：

本题只需保留作图痕迹，无需尺规作图．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）

23．已知：

反比例函数和在平面直角坐标

系xOy第一象限中的图象如图所示，点A在

的图象上，AB∥y轴，与的图象交于点B，

AC、BD与x轴平行，分别与、的图象

交于点C、D.

（1）若点A的横坐标为2，求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标；

（2）若点A的横坐标为m，比较△OBC与△ABC的面积的大小，并说明理由；

（3）若△ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似，请直接写出点A的坐标.

24．已知：

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分

别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四

边形？

若存在，求出点P的坐标；

若不存在，说明理由；

（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出

的取值范围.

25．已知：

，，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB

的两侧.

（1）如图，当∠APB=45°

时，求AB及PD的长；

（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的

最大值，及相应∠APB的大小.

北京市西城区2009年抽样测试

初三数学试卷答案及评分参考2009.5

阅卷须知：

1.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

2.若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分。

题号12345678

答案ACBDDABA

题号9101112

答案

1215

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．解：

=----------------------------------------4分

=．---------------------------------------------5分

14．解：

由①得x≥1．-------------------------------------------1分

由②得．-------------------------------------------2分

不等式组的解集在数轴上表示如下：

----------------3分

所以原不等式组的解集为1≤x＜5．-----------------------------4分

所以原不等式组的整数解为1，2，3，4．-------------------------5分

15．证明：

如图1，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C．----------------------1分

在△BDF和△CED中，

∴△BDF≌△CED．------------------------------------3分

∴DF=ED．------------------------------------------4分

∴∠DEF=∠DFE．--------------------------------------5分

16．解：

去分母，得.---------------------------------1分

去括号，得.----------------------------------2分

整理，得.---------------------------------------3分

解得.----------------------------------------4分

经检验，是原方程的解.--------------------------------5分

17．解：

∵抛物线经过点，

∴．

整理，得．

解得．--------------------------------------------1分

∴二次函数的解析式为．--------------------------2分

令，可得．

解得．----------------------------------------3分

∴抛物线与x轴的交点坐标为．-------------------------4分

∵，

∴抛物线的顶点坐标为（3，1）．-----------------------------5分

18．解：

连结BD，作DE⊥BC于点E．（如图2）----1分

∵AB=AD=2，∠A=60°

，

∴△ABD为等边三角形，BD=2，∠ADB=60°

-------------------------2分

∵AD∥BC，

∴∠DBC=60°

．------------------3分

在Rt△BDE中，∠BED=90°

，∠DBE=60°

∴．-------------------4分

在Rt△CDE中，∠CED=90°

，，

∴．--------------------------------5分

解法二：

作DE∥AB交BC于E，作EF⊥CD于F．

解法三：

连结BD，并延长BA、CD交于E．

19．解：

（1）直线BD与⊙O相切．

证明：

如图3，连结OB．---------------------------------1分

∵∠OCB=∠CBD+∠D，∠1=∠D，

∴∠2=∠CBD．

∵AB∥OC，

∴∠2=∠A．

∴∠A=∠CBD．

∵OB=OC，

∴，

∴∠OBD=90°

．----------------------------------2分

∴直线BD与⊙O相切．----------------------------3分

（2）解：

∵∠D=∠ACB，，

∴．-------------------------------------4分

在Rt△OBD中，∠OBD=90°

，OB=4，，

∴，．

∴．-------------------------------5分

20．解：

（1）组成的点M的坐标的所有可能性为：

或列表如下：

第一次

第二次　1-2-3

1（1,1）（-2,1）（-3,1）

-2（1,-2）（-2,-2）（-3,-2）

-3（1,-3）（-2,-3）（-3,-3）

---------------3分

（2）落在第三象限的点有，因此点M落在第三象限的

概率为．-----------------------------------------5分

21．解：

（1）∵，-----------------------------1分

∴y与x之间的函数关系式为．--------------------2分

∵y≥1，解得x≤3．

∵x≥1，≥1，且x是正整数，

∴自变量x的取值范围是x=1或x=2或x=3．-------------------3分

（2）．-------------4分

因为W随x的增大而减小，所以x取1时，可获得最大利润，

此时（万元）．---------------------------------5分

获得最大运输利润的方案为：

用1辆车装甲种苹果，用7辆车装乙种苹果，2辆车装丙种苹果．---------------------------------------6分

22．解：

（1）答案见图4（任选一种即可）．-------------------------------2分

（2）答案见图5．------------------------------------------3分

剪拼方法：

取AB的中点M，过点M作AP的平行线l，与BC交于点N，过点A作BC的平行线，与l交于点H，将△BMN绕点M顺时针旋转180°

到△AMH，则四边形ACNH为拼接后的等腰梯形．------------------------4分

23．解：

（1）如图6，当点A的横坐标为2时，点A、B、C、D的坐标分别为.-------------------1分

解一：

直线CD的解析式为.-------2分

∵AB∥y轴，F为梯形ACBD的对角线的交点，

∴x=2时，.

∴点F的坐标为.-------------3分

解二：

∵梯形ACBD，AC∥BD，F为梯形ACBD的对角线的交点，

∴△ACF∽△BDF.

∴.

∴，，点F的纵坐标为.---------------------2分

∴点F的坐标为.----------------------------------3分

（2）如图7，作BM⊥x轴于点M．作CN⊥x轴于点N．当点A的横坐标为m时，点A、

B、C、D的坐标分别为.

.------------4分

------5分

∴.-------------------------------------------6分

（3）点A的坐标为.-----------------------------------------7分

24．解：

（1）点C的坐标为.------------------------------------------1分

∵点A、B的坐标分别为，

∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为.

将代入抛物线的解析式，得.-----------------------2分

∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为.-------------3分

（2）可得抛物线的对称轴为，顶点D的坐标为

，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.

直线BC的解析式为.----------4分

设点P的坐标为.

解法一：

如图8，作OP∥AD交直线BC于点P，

连结AP，作PM⊥x轴于点M.

∵OP∥AD，

∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD.

∴，即.

解得.经检验是原方程的解.

此时点P的坐标为.-----------------------------5分

但此时，OM＜GA.

∵

∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，

∴直线BC上不存在符合条件的点P.---------------------6分

如图9，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于

点N.则∠PEO=∠DEA，PE=DE.

可得△PEN≌△DEG．

由，可得E点的坐标为.

NE=EG=，ON=OE－NE=，NP=DG=.

∴点P的坐标为.-----------------------------5分

∵x=时，，

∴点P不在直线BC上.

∴直线BC上不存在符合条件的点P.---------------------6分

（3）的取值范围是.-------------------------8分

如图10，由对称性可知QO=QH，.当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，取得最大值4（即为AH的长）；

设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时，取得最小值0.

25．解：

（1）①如图11，作AE⊥PB于点E．-------------1分

∵△APE中，∠APE=45°

∴．------------------2分

在Rt△ABE中，∠AEB=90°

∴．-------------3分

②解法一：

如图12，因为四边形ABCD为正方形，可将

△PAD绕点A顺时针旋转90°

得到△，

可得△≌△，,．

∴=90°

，=45°

，=90°

∴．---------------------------------4分

∴．--------------5分

如图13，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的

延长线交PB于G．

在Rt△AEG中，可得

，．

在Rt△PFG中，可得，．

---------------------------------------4分

在Rt△PDF中，可得

-----------------5分

（2）如图14所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°

得到△，PD的最大值即为的最大值.

∵△中，，，，

且P、D两点落在直线AB的两侧，

∴当三点共线时，取得最大值（见图15）.

此时，即的最大值为6.-----------------------6分

此时∠APB=180°

－=135°

.------------------------------7分