北京市高考数学试卷理科答案与解析.doc

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2009年北京市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）（2009•北京）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．

【解答】解：

∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，

∴复数z所对应的点为（﹣2，1），

故选B

【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．

2．（5分）（2009•北京）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（　　）

A．k=1且c与d同向 B．k=1且c与d反向

C．k=﹣1且c与d同向 D．k=﹣1且c与d反向

【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=﹣1是否满足条件，从而选出应选的选项．

【解答】解：

∵=（1，0），=（0，1），若k=1，

则=+=（1，1），=﹣=（1，﹣1），

显然，与不平行，排除A、B．

若k=﹣1，则=﹣+=（﹣1，1），=﹣=（1，﹣1），

即∥且与反向，排除C，

故选D．

【点评】本题考查平行向量的坐标表示，当两个向量平行时，一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍．

3．（5分）（2009•北京）为了得到函数的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点（　　）

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

【考点】对数函数的图像与性质．菁优网版权所有

【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．

【解答】解：

∵，

∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

故选C．

【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．

4．（5分）（2009•北京）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（　　）

A． B．1 C． D．

【考点】直线与平面平行的性质．菁优网版权所有

【专题】计算题；作图题；压轴题．

【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．

【解答】解：

依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离，

∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，

故选：

D．

【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．

5．（5分）（2009•北京）“a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．菁优网版权所有

【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．

【解答】解：

当a=+2kπ（k∈Z）时，

cos2a=cos（4kπ+）=cos=

反之，当cos2a=时，

有2a=2kπ+⇒a=kπ+（k∈Z），

或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z），

故选A．

【点评】判断充要条件的方法是：

①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

6．（5分）（2009•北京）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（　　）

A．45 B．55 C．70 D．80

【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b，求出a+b

【解答】解析：

由二项式定理得：

（1+）5=1+C51+C52（）2+C53（）3+C54（）4+C55•（）5=1+5+20+20+20+4

=41+29，

∴a=41，b=29，a+b=70．

故选C

【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数．

7．（5分）（2009•北京）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（　　）

A．324 B．328 C．360 D．648

【考点】计数原理的应用．菁优网版权所有

【专题】计算题；压轴题．

【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．

【解答】解：

由题意知本题要分类来解，

当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，

因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256

当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，

共有9×8×1=72

根据分类计数原理知共有256+72=328

故选B

【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．

8．（5分）（2009•北京）点P在直线l：

y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（　　）

A．直线l上的所有点都是“点”

B．直线l上仅有有限个点是“点”

C．直线l上的所有点都不是“点”

D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”

【考点】两点间距离公式的应用．菁优网版权所有

【专题】计算题；压轴题；创新题型．

【分析】根据题设方程分别设出A，P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A，B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线l上的所有点都符合．

【解答】解：

设A（m，n），P（x，x﹣1）则，B（2m﹣x，2n﹣x+1）

∵A，B在y=x2上

∴n=m2，2n﹣x+1=（2m﹣x）2

消去n，整理得关于x的方程

x2﹣（4m﹣1）x+2m2﹣1=0

∵△=8m2﹣8m+5＞0恒成立，

∴方程恒有实数解，

∴故选A．

【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时，利用判别式来判断．

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．（5分）（2009•北京）=　　．

【考点】极限及其运算．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】通过因式分解把原式转化为=，消除零因子后得到，由此能够得到的值．

【解答】解：

=

=

=．

故答案为：

．

【点评】本题考查函数的极限，解题时要注意消除零因子．

10．（5分）（2009•北京）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为　﹣6　．

【考点】简单线性规划．菁优网版权所有

【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过（4，﹣2）点时s有最小值．

【解答】解：

画可行域如图阴影部分，令s=0作直线l：

y﹣x=0

平移l过点A（4，﹣2）时s有最小值﹣6，

故答案为﹣6．

【点评】本题考查线性规划问题：

可行域画法目标函数几何意义

11．（5分）（2009•北京）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为　﹣1　．

【考点】偶函数；导数的几何意义．菁优网版权所有

【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象，根据对称性即可解决本题．

【解答】解；取f（x）=x2﹣1，如图，

易得该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为﹣1．

故应填﹣1．

【点评】函数性质的综合应用是函数问题的常见题型，在解决这一类问题是要注意培养数形结合的思想方法．

12．（5分）（2009•北京）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=　2　，∠F1PF2的大小为　120°　．

【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有

【专题】计算题；压轴题．

【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如图所示：

角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．

【解答】解：

∵|PF1|+|PF2|=2a=6，

∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．

在△F1PF2中，

cos∠F1PF2

=

==﹣，

∴∠F1PF2=120°．

故答案为：

2；120°

【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．

13．（5分）（2009•北京）若函数则不等式的解集为　[﹣3，1]　．

【考点】其他不等式的解法．菁优网版权所有

【专题】计算题；压轴题；转化思想．

【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式，再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集．

【解答】解：

①由．

②由．

∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1，

故答案为：

[﹣3，1]．

【点评】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法．属于基础知识、基本运算．

14．（5分）（2009•北京）{an}满足：

a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an，n∈N*则a2009=　1　；a2014=　0　．

【考点】数列的概念及简单表示法．菁优网版权所有

【专题】压轴题．

【分析】由a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007项，而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0．

【解答】解：

∵2009=503×4﹣3，

∴a2009=1，

∵a2014=a1007，

1007=252×4﹣1，

∴a2014=0，

故答案为：

1，0．

【点评】培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．

三、解答题（共6小题，满分80分）

15．（13分）（2009•北京）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．

（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．菁优网版权所有

【专题】计算题．

【分析】（Ⅰ）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后，将sinA和co