三角函数教案模板Word格式文档下载.docx
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第4节反三角函数（2课时）
第1课时
[教材分析]：
反三角函数的重点是概念，关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。
内容上，自然是定义和函数性质、图象；
教学方法上，着重强调类比和比较。
另外，函数与反函数之间的关系，是本节内容中的一个难点，同时涉及上学期内容，可能是个值得复习的机会。
[课题引入]：
在辅助角公式中，我们知道
其中cosj=asinx+bcosx=a2+b2sin（x+j），
aa+b22,sinj=ba+b22，这样表述相当烦琐，我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角j呢？
这就是我们今天要引入的问题——反三角函数。
[教学过程]：
师：
首先我们回顾一下，什么样的函数才有反函数？
一一对应的函数具有反函数，最典型的例子就是单调函数具有反函数（但反之不真）。
我们知道正弦函数y=sinx在定义域R上是周期函数，当然不是一一对应的，因而没有反函数。
但是，如果我们截取其中的一个单调区间，比方说我们研究函数：
é
ppù
y=sinx,xÎ
ê
-,ú
，这个函数是单调函数，因而有反函数。
ë
22û
现在我们来求这个函数的反函数，那么求反函数有哪些步骤？
（反解，互换x,y）（这里我们使用符号arcsin表示反解）反解得x=arcsiny，互换得y=arcsinx，其中é
xÎ
[-1,1],yÎ
，这就是要求的反正弦函数。
1．反正弦函数的图象
反正弦函数y=arcsinx，xÎ
[-1,1]与函数y=sinx,xÎ
-个函数图象关于直线y=x对称。
2．反正弦函数的性质（由函数图象可得）
因此两,ú
互为反函数，
，1]，值域为ê
-①定义域为[-1é
ú
；
22û
，1]上单调递增；
②y=arcsinx在定义域[-1（-x）=-arcsinx③y=arcsinx是奇函数，即对任意xÎ
[-1,1]，有arcsin3．反正弦函数的恒等式
①由“一一对应”的性质知：
对任意值xÎ
[-1,1]，在ê
-é
上都有唯一对应的角ë
arcsinx，使得它的正弦值为x，即得恒等式sin（arcsinx）=x,xÎ
[-1,1]；
②由“一一对应”的性质知：
对任意角xÎ
在[-1，1]上都有唯一对应的值sinx，,ú
，
。
（sinx）=x,xÎ
-使得它的反正弦值为x，即得恒等式arcsin例题选编：
[例1]：
求下列反三角函数值：
（1）arcsin3æ
1ö
；
（2）arcsin0（3）arcsinç
-÷
2è
2ø
解：
利用恒等式1来理解题意
（1）：
记arcsinæ
33ö
÷
=sinxÛ
3=sinx，也就是在é
-p,pù
上找=xÛ
sinç
arcsinê
22ú
ç
22÷
2ë
û
è
ø
一个角x，使得sinx=3；
（2）（3）类似。
2说明：
对于特殊值的反正弦函数值的处理，利用恒等式1理解是一种本人以为较为机械的方法；
但不知是否适合于初学者，有待讨论。
可能直接让他们感受概念会来得更为简单些吧，实际上教材P98的思路有点类似于本文的处理方式。
[例2]：
用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x：
（1）sinx=3é
xÎ
，5ë
1é
，4ë
（2）sinx=-（3）sinx=3,xÎ
[0,p]3解：
利用恒等式2来理解题意：
sinx=
（1）33é
（sinx）=arcsin3，Û
arcsin而xÎ
，故有x=arcsin；
55522ë
3ppù
（sinx）=arcsin3，而xÏ
Û
arcsin-,ú
，故不能直接利用恒ê
33ë
（3）sinx=等式2，需要利用诱导公式，将角度转化到ê
上，此时涉及讨论：
若xÎ
0,33é
pù
（），则arcsinsinx=arcsinÛ
x=arcsinú
332ë
pú
，则p-xÎ
0,ú
，故有ë
2û
3[sin（p-x）]=arcsin3Û
p-x=arcsin3Û
arcsin333（sinx）=arcsinarcsin即x=p-arcsin3。
3[例3]：
化简下列各式：
（1）arcsinç
sin÷
（2）arcsinç
sinæ
pö
9ø
æ
5pö
（sin3.49p）÷
（3）arcsin6ø
此题直接利用恒等式2，当区间不满足要求时，需要利用诱导公式转化区间。
（1）ppö
pé
Î
-，ú
，由恒等式2得arcsinç
=；
9ë
9è
5p5pö
p转化了；
÷
=arcsinç
=，这里将66ø
66è
（2）arcsinç
sin（sin3.49p）=arcsin（-sin0.49p）[sin（3p+0.49p）]=arcsin（3）arcsin（sin0.49p）=-0.49p。
=-arcsin[例4]：
判断下列各式是否成立：
（1）arcsinp3pp31=2kp+,kÎ
Z=；
（2）arcsin=；
（3）arcsin22332（4）arcsinç
-pæ
=-arcsin；
（5）sinarcsin2=2
3è
3ø
（）æ
p2ö
p2ç
（6）sinç
arcsin10÷
=10è
（1）对；
（2）错；
（3）当k=0时对；
（4）错，-[例5]：
写出下列函数的定义域和值域：
（1）y=2arcsinx；
（2）y=arcsinx+x解：
（1）
p3Î
（5）错；
（6）对。
（2）xÎ
[-1,1]Þ
[0,1]，由反正弦函数的单调性知yÎ
[0,p]
（2）x+xÎ
2（）é
-1-5-1+5ù
，22ë
这是典型的复合函数求值域问题，由u=x2+xÎ
1ù
1ú
和反正弦函数的单调性可知：
ë
4û
1pù
yÎ
-arcsin,ú
42û
[例6]：
求下列函数的反函数：
（1）y=sin2x,xÎ
44û
p3pù
（2）y=2sinx,xÎ
（3）y=2-1arcsinx2（sin2x）=2x，解：
（1）反解得arcsiny=arcsin（恒等式2的运用，注意区间）
互换x,y即得反函数为y=1arcsinx2（sinx）=arcsin[sin（p-x）]=p-x，互换x,y即得反函
（2）反解得arcsin=arcsin数为y=p-arcsin。
（3）
作业：
P99练习
[课题总结]：
[试题选编]：
y2x2
三角函数线及其应用
教学目标
1．使学生理解并掌握三角函数线的作法，能利用三角函数线解决一些简单问题．2．培养学生分析、探索、归纳和类比的能力，以及形象思维能力．3．强化数形结合思想，发展学生思维的灵活性．教学重点与难点
三角函数线的作法与应用．教学过程设计
我们学过任意角的三角函数，角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是如何定义的？
生：
在α的终边上任取一点P（x，y），P和原点O的距离是r（r＞0），那么角α的六个三角函数分别是（教师板书）
如果α是象限角，能不能根据定义说出α的各个三角函数的符号规律？
由定义可知，sinα和cscα的符号由y决定，所以当α是第
可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y，余弦值的正负取决于P点的横坐标x，而正切值的正负取决于x和y是否同号，那么正弦、余弦、正切的值的大小与P点的位置是否有关？
三角函数值的大小与P的位置无关，只与角α的终边的位置有关．师：
既然三角函数值与P点在角α的终边上的位置无关，我们就设法让P点点位于一个特殊位置，使得三角函数值的表示变为简单．
P点位于什么位置，角α的正弦值表示最简单？
生：
如果r=1，sinα的值就等于y了．师：
那么对于余弦又该怎么处理呢？
还是取r=1．
如果r=1，那么P点在什么位置？
P点在以原点为圆心，半径为1的圆上．
这个圆我们会经常用到，给它起个名字，叫单位圆，单位圆是以原点为圆心，以单位长度为半径的圆．（板书）1．单位圆
设角α的终边与单位圆的交点是P（x，y），那么有sinα=y，cosα=x．
我们前面说的都是三角函数的代数定义，能不能将正弦值、余弦值等量几何化，也就是用图形来表示呢？
因为数形结合会给我们的研究带来极大的方便，请同学们想想，哪些图形与这些数值有关呢？
（同学可能答不上来，教师给出更明确的提示．）
sinα=y，cosα=x，而x，y是点P的坐标，根据坐标的意义再想一想．
对点来说，是它的位置代表了数，点本身并不代表数．能不能找到一个图形，自身的度量就代表数？
可以用面积，比如一个正数可以对应着一个多边形的面积，每一个多边形的面积对应着唯一一个正数．师：
很好．但这是一个二维的图形，而且多边形的边数也不确定，我们还应遵循求简的原则．有没有简单的图形呢？
是不是能用线段的长度来表示？
师：
说说你的理由．
线段的长度与正数是一一对应的，所以每一个正数可以用一条线段来作几何形式．师：
正数可以这样去做，零怎么办呢？
能用线段来表示吗？
（非常活跃）当然行了，让线段两个端点重合，线段长就是零了．
可以画这样一个示意图，线段一个端点是A，另一个端点是B，当A，B重合时，我们说AB是0；
当A，B不重合时，我们说AB是一个正实数．那么负数怎么办呢？
能不能想办法也用线段AB表示？
线段的长度没有负数．
我能不能这样看，A点在直线l上，B点在l上运动，如果B在A的右侧，我就说线段AB代表正数；
如果B和A重合，就说线段AB代表0；
如果B在A的左侧，就说线段AB代表负数．
（教师不必理会学生用词及表述的漏洞．主要是把学生的注意力吸引到对知识、概念的发现上来．）
正数与正数不都相等，负数和负数也不都相等，你只是规定了正负还不够吧？
！
可以再加上线段AB的长度．这样所有的实数都能对应一条线段AB，以A为分界点，正数对应的点B在A的右侧，而且加上长度，B点就唯一了．
他的意见是对线段也给了方向．与直线规定方向是类似的．那么如何建立有向线段与数的对应关系？
（板书）2．有向线段
顾名思义，有方向的线段（即规定了起点与终点的线段）叫做有向线段，那么如何建立有向线段与数的对应关系呢？
这需要借助坐标轴．平行于坐标轴的线段可以规定两种方向．如图2，线段AB可以规定从点A（起点）到点B（终点）的方向，或从点B（起点）到点A（终点）的方向，当线段的方向与坐标轴的正方向一致时，就规定这条线段是正的；
当线段的方向与坐标轴的正方向相反时，就规定这条线段是负的．如图中AB=3（长度单位）（A为起点，B为终点），BA=-3（长度单位）（B为起点，A为终点），类似地有CD=-4（长度单位），DC=4（长度单位）．
现在我们回到刚才的问题，角α与单位圆的交点P（x，y）的纵坐标恰是α的正弦值，但sinα是可正、可负、可为零的实数，能不能找一条有向线段表示sinα？
找一条有向线段跟y一致就行了，y是正的，线段方向向上，y是负的，线段方向向下，然后让线段的长度为｜y｜．师：
理论上很对，到底选择哪条线段呢？
我们不妨分象限来看看．
如果α是第一象限的角，过P点向x轴引垂线，垂足叫M（无论学生用什么字母，教师都要将其改为M），有向线段MP为正，y也是正的，而且MP的长度等于y，所以用有向线段MP表示sinα=y．
（图中的线段随教学过程逐渐添加．）
如果α是第二象限角，sinα=y是正数，也得找一条正的线段．因为α的终边在x轴上方，与第一象限一样，作PM垂直x轴于M，MP=sinα．
第
这时角α的终边在x轴下方，P到x轴的距离是｜y｜=-y．所以还是作PM垂直x轴于M，MP方向向下，长度等于-y，所以sinα=y．
归纳起来，无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于｜y｜．所以有MP=y=sinα．我们把有向线段MP叫做角α的正弦线，正弦线是角α的正弦值的几何形式．（板书）
3．三角函数线
（1）正弦线——MP师：
刚才讨论的是四个象限的象限角的正弦线，轴上角有正弦线吗？
当角α的终边在x轴上时，P与M重合，正弦线退缩成一点，该角正弦值为0；
当角α终边与y轴正半轴重合时，M点坐标为（0，0），P（0，1），MP=1，角α的正弦值为1；
当α终边与y轴负半轴重合时，MP=-1，sinα=-1，与象限角情况完全一致．师：
现在来找余弦线．
因为cosα=x（x是点P的横坐标），所以把x表现出来就行了．过P点向y轴引垂线，垂足为N，那么有向线段NP=cosα，NP是余弦线．师：
具体地分析一下，为什么NP=cosα？
当α是第
其实有向线段OM和他作的有向线段NP方向一样，而且长度也一样，也可以当作余弦线．
从作法的简洁及图形的简洁这个角度看，大家愿意选哪条有向线段作为余弦线？
OM．（板书）
（2）余弦线——OM师：
对轴上角这个结论还成立吗？
（学生经过思考，答案肯定．）
我们已经得到了角α的正弦线、余弦线，它们都是与单位圆的弦有关的线段，能不能找到单位圆中的线段表示角α的正切呢？
肯定和圆的切线有关系（这里有极大的猜的成分，但也应鼓励学生．）
坐标等于1的点，这点的纵坐标就是α的正切值．师：
那么横坐标得1的点在什么位置呢？
那么哪条有向线段叫正切线呢？
不妨先找某一个象限角的正切线．
设α是第一象限角，α的终边与过A的圆的切线交于点T，T的横坐标是1，纵坐标设为y′，有向线段AT=y′，AT可以叫做正切线．
大家看可以这样做吧？
但第二象限角的终边与这条切线没有交点，也就是α的终边上没有横坐标为1的点．
可以令x=-1，也就是可以过（-1，0）再找一条切线，在这条切线上找一条有向线段表示tanα．
我相信这条线段肯定可以找到，那么其他两个象限呢？
第三象限角的正切线在过（-1，0）的切线上找，第四象限角的正切线在过（1，0）的切线上找．
这样做完全可以，大家可以课下去试，但我们还是要求简单，最好只要一条切线，我们当然喜欢过A点的切线（因为这条直线上每个点的横坐标都是1），第
（板书）
（3）正切线——AT师：
的确像刚才同学们说的，正切线确实是单位圆的切线的一部分，那么轴上角的正切线又如何呢？
注意正切值不是每个角都有．
当角α终边在x轴上时，T和A重合，正切线退缩成了一个点，正切值为0；
当角α终边在y轴上时，α的终边与其反向延长线和过A的切线平行，没有交点，正切线不存在，这与y轴上角的正切值不存在是一致的．师：
可以看到正切线的一个应用——帮助我们记忆正切函数的定义域．现在我们归纳一下任意角α的正弦线、余弦线、正切线的作法．
设α的终边与单位圆的交点为P，过P点作x轴的垂线，垂足为M，过A（1，0）点作单位圆的切线（x轴的垂线），设α的终边或其反向延长线与这条切线交于T点，那么有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．
利用三角函数线，我们可以解决一些简单的有关三角函数的问题．（板书）
4．三角函数线的应用
例1比较下列各组数的大小：
分析：
三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线．（由学生自己画图，从图中的三角函数线加以判断．）
（画出同一个角的两种三角函数线）．师：
例1要求我们根据角作出角的三角函数线，反过来我们要根据三角函数值去找角的终边，从而找到角的取值范围．（板书）
例2根据下列三角函数值，求作角α的终边，然后求角的取值集合．
P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为
（3）在单位圆过点A（1，0）的切线上取AT=-1，连续OT，
（4）这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，而是适合
单位圆和三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现．我们应掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关三角函数的问题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要正确．作业
（1）复习课本“用单位圆中的线段表示三角函数”一节．
（2）课本习题P178练习第7题；
P192练习十四第9题；
P194练习十四第22题；
P201总复习参考题二第20题．课堂教学设计说明
关于三角函数线的教学，曾有过两个设想：
一是三种函数线在同一节课交待，第二节课再讲应用；
另一个设想是，第一节课只出正弦线、余弦线及它们的应用，第二节课引入正切线，及三线综合运用，如比较函数值的大小、给值求角、解简单的三角不等式，证明一些三角关系式．本教案选择了前者，原因是利于学生类比思维．在实际教学中，由于教师水平不同，学生的水平也不相同，教案中的例题可能讲不完，或根本不讲，但是宁可不讲例题，也要让学生去猜、去找三角函数的几何形式，我希望把三角函数线的发现过程展现给学生，教师不能包办代替．
数形结合思想是中学数学中的重要数学思想，在教学中应不失时机地加以渗透．通过三角函数线的学习，使学生了解数形结合的“形”不单有函数图象，还有其他的表现形式．至于在解决有关三角函数的问题时用函数图象还是用三角函数线，则要具体情况具体分析，如证明等式sin2α+cos2α=1，研究同一个角的正余弦值的大小关系，都以三角函数线为好．
第四章
总第1教时
推广叫的概念，引入正角、负角、零角；
象限角、坐标上的角的概念；
终边相同角的表示方法。
让学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，以及相应的表示方法。
从“射线绕其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化的观点审视事物；
通过与数（轴）的类比，理解“正角”“负角”“零角，让学生感受图形的对称美、运动美。
教学重点：
理解并掌握正角、负角、零角、象限角的定义；
掌握总边相同角的表示方法及判定。
教学难点：
把终边相同角用集合和符号语言正确的表示出来。
过程：
回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。
相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。
回忆：
初中是任何定义角的？
（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”
讲解：
“旋转”形成角（P4）突出“旋转”
注意：
“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴
“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法：
角或
可以简记成
由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
1（角有正负之分
如：
（=210（
（=（150（
（=（660（2（角可以任意大
实例：
体操动作：
旋转2周（360（×
2=720（）3周（360（×
3=1080（）3（还有零角
一条射线，没有旋转
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
例如：
30（
390（（330（是第Ⅰ象限角
300（
（60（是第Ⅳ象限角
585（
1180（是第Ⅲ象限角
（2000（是第Ⅱ象限角等
1．观察：
390（，（330（角，它们的终边都与30（角的终边相同2．终边相同的角都可以表示成一个0（到360（的角与个周角的和
390（=30（+360（
（330（=30（（360（
30（=30（+0×
360（
1470（=30（+4×
（1770（=30（（5×
3．所有与（终边相同的角连同（在内可以构成一个集合
即：
任何一个与角（终边相同的角，都可以表示成角（与整数个周角的和4．（P6例1）例1在0°
到360°
范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
（1）-120°
（2）640°
（3）-950°
12′．解：
=240°
-360°
所以与-120°
角终边相同的角是240°
角，它是第三象限角；
（2）640°
=280°
+360°
所以与640°
角终边相同的角是280°
角，它是第四象限角；
（3）-950°
12′=129°
48′-3×
360°
所以与-950°
12′角终边相同的角是129°
48′，它是第二象限角．
（P5）
角的范围的扩大
2（“象
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