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1、第4节 反三角函数（2课时）第1课时教材分析：反三角函数的重点是概念，关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。内容上，自然是定义和函数性质、图象；教学方法上，着重强调类比和比较。另外，函数与反函数之间的关系，是本节内容中的一个难点，同时涉及上学期内容，可能是个值得复习的机会。课题引入：在辅助角公式中，我们知道其中cosj=asinx+bcosx=a2+b2sin（x+j），aa+b22,sinj=ba+b22，这样表述相当烦琐，我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角j呢？这就是我们今天要引入的问题反三角函数。教学过程：师：首先我们回顾一下，什么样的函数才有反函数？一一对应的函数具有反函数，

2、最典型的例子就是单调函数具有反函数（但反之不真）。我们知道正弦函数y=sinx在定义域R上是周期函数，当然不是一一对应的，因而没有反函数。但是，如果我们截取其中的一个单调区间，比方说我们研究函数：ppy=sinx,x-,，这个函数是单调函数，因而有反函数。22现在我们来求这个函数的反函数，那么求反函数有哪些步骤？（反解，互换x,y） （这里我们使用符号arcsin表示反解）反解得x=arcsiny，互换得y=arcsinx，其中x-1,1,y，这就是要求的反正弦函数。1 反正弦函数的图象反正弦函数y=arcsinx，x-1,1与函数y=sinx,x-个函数图象关于直线y=x对称。2 反正弦函数

3、的性质（由函数图象可得）因此两,互为反函数，1，值域为-定义域为-1,； 22，1上单调递增； y=arcsinx在定义域-1（-x）=-arcsinx y=arcsinx是奇函数，即对任意x-1,1，有arcsin3 反正弦函数的恒等式由“一一对应”的性质知：对任意值x-1,1，在-上都有唯一对应的角arcsinx，使得它的正弦值为x，即得恒等式sin（arcsinx）=x,x-1,1；由“一一对应”的性质知：对任意角x在-1，1上都有唯一对应的值sinx，,，。（sinx）=x,x-使得它的反正弦值为x，即得恒等式arcsin例题选编：例1：求下列反三角函数值： （1）arcsin31 ；

4、 （2）arcsin0 （3）arcsin- 22解：利用恒等式1来理解题意（1）： 记arcsin33=sinx3=sinx，也就是在-p,p上找=xsinarcsin22222一个角x，使得sinx=3；（2）（3）类似。2说明：对于特殊值的反正弦函数值的处理，利用恒等式1理解是一种本人以为较为机械的方法；但不知是否适合于初学者，有待讨论。可能直接让他们感受概念会来得更为简单些吧，实际上教材P98的思路有点类似于本文的处理方式。例2：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x ： （1）sinx=3,x， 51， 4（2）sinx=-（3）sinx=3,x0,p 3解：利用恒等式2来理解题意：

5、sinx=（1）33（sinx）=arcsin3，arcsin而x，故有x=arcsin；555223pp（sinx）=arcsin3，而xarcsin-,，故不能直接利用恒33（3）sinx=等式2，需要利用诱导公式，将角度转化到上，此时涉及讨论：若x0,33p（），则 arcsinsinx=arcsinx=arcsin332,p，则p-x0,，故有 23sin（p-x）=arcsin3p-x=arcsin3 arcsin333（sinx）=arcsinarcsin即x=p-arcsin3。3例3：化简下列各式：（1）arcsinsin （2）arcsinsinp95p（sin3.49p）

6、（3）arcsin6此题直接利用恒等式2，当区间不满足要求时，需要利用诱导公式转化区间。（1）ppp-，由恒等式2得arcsin=； 995p5pp转化了； =arcsin=，这里将6666（2）arcsinsin（sin3.49p）=arcsin（-sin0.49p） sin（3p+0.49p）=arcsin（3）arcsin（sin0.49p）=-0.49p。=-arcsin例4：判断下列各式是否成立： （1）arcsinp3pp31=2kp+,kZ =； （2）arcsin=； （3）arcsin22332（4）arcsin-p=-arcsin； （5）sinarcsin2=233（）p

7、2p2（6）sinarcsin10=10 （1）对；（2）错；（3）当k=0时对；（4）错，-例5：写出下列函数的定义域和值域：（1）y=2arcsinx； （2）y=arcsinx+x 解：（1）p3（5）错；（6）对。（2）x-1,10,1，由反正弦函数的单调性知y0,p （2）x+x2（）-1-5-1+5， 22这是典型的复合函数求值域问题，由u=x2+x1,1和反正弦函数的单调性可知： 41py-arcsin,42例6：求下列函数的反函数： （1）y=sin2x,x44p3p（2）y=2sinx,x（3）y=2-1arcsinx 2（sin2x）=2x，解：（1）反解得arcsiny=

8、arcsin（恒等式2的运用，注意区间）互换x,y即得反函数为y=1arcsinx 2（sinx）=arcsinsin（p-x）=p-x，互换x,y即得反函（2）反解得arcsin=arcsin数为y=p-arcsin。（3）作业：P99 练习课题总结： 试题选编： y2x2三角函数线及其应用教学目标1使学生理解并掌握三角函数线的作法，能利用三角函数线解决一些简单问题 2培养学生分析、探索、归纳和类比的能力，以及形象思维能力 3强化数形结合思想，发展学生思维的灵活性 教学重点与难点三角函数线的作法与应用 教学过程设计我们学过任意角的三角函数，角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是如何定义的？

9、生：在的终边上任取一点P（x，y），P和原点O的距离是r（r0），那么角的六个三角函数分别是 （教师板书）如果是象限角，能不能根据定义说出的各个三角函数的符号规律？由定义可知，sin和csc的符号由y决定，所以当是第可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y，余弦值的正负取决于P点的横坐标x，而正切值的正负取决于x和y是否同号，那么正弦、余弦、正切的值的大小与P点的位置是否有关？三角函数值的大小与P的位置无关，只与角的终边的位置有关 师：既然三角函数值与P点在角的终边上的位置无关，我们就设法让P点点位于一个特殊位置，使得三角函数值的表示变为简单P点位于什么位置，角的正弦值表示最简单？ 生：如果r

10、=1，sin的值就等于y了 师：那么对于余弦又该怎么处理呢？还是取r=1如果r=1，那么P点在什么位置？P点在以原点为圆心，半径为1的圆上这个圆我们会经常用到，给它起个名字，叫单位圆，单位圆是以原点为圆心，以单位长度为半径的圆 （板书） 1单位圆设角的终边与单位圆的交点是P（x，y），那么有sin=y，cos=x我们前面说的都是三角函数的代数定义，能不能将正弦值、余弦值等量几何化，也就是用图形来表示呢？因为数形结合会给我们的研究带来极大的方便，请同学们想想，哪些图形与这些数值有关呢？（同学可能答不上来，教师给出更明确的提示）sin=y，cos=x，而x，y是点P的坐标，根据坐标的意义再想一想对

11、点来说，是它的位置代表了数，点本身并不代表数能不能找到一个图形，自身的度量就代表数？可以用面积，比如一个正数可以对应着一个多边形的面积，每一个多边形的面积对应着唯一一个正数 师：很好但这是一个二维的图形，而且多边形的边数也不确定，我们还应遵循求简的原则有没有简单的图形呢？是不是能用线段的长度来表示？ 师：说说你的理由线段的长度与正数是一一对应的，所以每一个正数可以用一条线段来作几何形式 师：正数可以这样去做，零怎么办呢？能用线段来表示吗？（非常活跃）当然行了，让线段两个端点重合，线段长就是零了可以画这样一个示意图，线段一个端点是A，另一个端点是B，当A，B重合时，我们说AB是0；当A，B不重合

12、时，我们说AB是一个正实数那么负数怎么办呢？能不能想办法也用线段AB表示？线段的长度没有负数我能不能这样看，A点在直线l上，B点在l上运动，如果B在A的右侧，我就说线段AB代表正数；如果B和A重合，就说线段AB代表0；如果B在A的左侧，就说线段AB代表负数（教师不必理会学生用词及表述的漏洞主要是把学生的注意力吸引到对知识、概念的发现上来）正数与正数不都相等，负数和负数也不都相等，你只是规定了正负还不够吧？！可以再加上线段AB的长度这样所有的实数都能对应一条线段AB，以A为分界点，正数对应的点B在A的右侧，而且加上长度，B点就唯一了他的意见是对线段也给了方向与直线规定方向是类似的那么如何建立有向

13、线段与数的对应关系？ （板书） 2有向线段顾名思义，有方向的线段（即规定了起点与终点的线段）叫做有向线段，那么如何建立有向线段与数的对应关系呢？这需要借助坐标轴平行于坐标轴的线段可以规定两种方向如图2，线段AB可以规定从点A（起点）到点B（终点）的方向，或从点B（起点）到点A（终点）的方向，当线段的方向与坐标轴的正方向一致时，就规定这条线段是正的；当线段的方向与坐标轴的正方向相反时，就规定这条线段是负的如图中AB=3（长度单位）（A为起点，B为终点），BA=-3（长度单位）（B为起点，A为终点），类似地有CD=-4（长度单位），DC=4（长度单位）现在我们回到刚才的问题，角与单位圆的交点P（x

14、，y）的纵坐标恰是的正弦值，但sin是可正、可负、可为零的实数，能不能找一条有向线段表示sin？找一条有向线段跟y一致就行了，y是正的，线段方向向上，y是负的，线段方向向下，然后让线段的长度为y 师：理论上很对，到底选择哪条线段呢？我们不妨分象限来看看如果是第一象限的角，过P点向x轴引垂线，垂足叫M（无论学生用什么字母，教师都要将其改为M），有向线段MP为正，y也是正的，而且MP的长度等于y，所以用有向线段MP表示sin=y（图中的线段随教学过程逐渐添加）如果是第二象限角，sin=y是正数，也得找一条正的线段因为的终边在x轴上方，与第一象限一样，作PM垂直x轴于M，MP=sin第这时角的终边在

15、x轴下方，P到x轴的距离是y=-y所以还是作PM垂直x轴于M，MP方向向下，长度等于-y，所以sin=y归纳起来，无论是第几象限角，过的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于y所以有MP=y=sin我们把有向线段MP叫做角的正弦线，正弦线是角的正弦值的几何形式 （板书）3三角函数线（1）正弦线MP 师：刚才讨论的是四个象限的象限角的正弦线，轴上角有正弦线吗？当角的终边在x轴上时，P与M重合，正弦线退缩成一点，该角正弦值为0；当角终边与y轴正半轴重合时，M点坐标为（0，0），P（0，1），MP=1，角的正弦值为1；当终边与y轴负半轴重

16、合时，MP=-1，sin=-1，与象限角情况完全一致 师：现在来找余弦线因为cos=x（x是点P的横坐标），所以把x表现出来就行了过P点向y轴引垂线，垂足为N，那么有向线段NP=cos，NP是余弦线 师：具体地分析一下，为什么NP=cos？当是第其实有向线段OM和他作的有向线段NP方向一样，而且长度也一样，也可以当作余弦线从作法的简洁及图形的简洁这个角度看，大家愿意选哪条有向线段作为余弦线？OM （板书）（2）余弦线OM 师：对轴上角这个结论还成立吗？ （学生经过思考，答案肯定）我们已经得到了角的正弦线、余弦线，它们都是与单位圆的弦有关的线段，能不能找到单位圆中的线段表示角的正切呢？肯定和圆的

17、切线有关系（这里有极大的猜的成分，但也应鼓励学生）坐标等于1的点，这点的纵坐标就是的正切值 师：那么横坐标得1的点在什么位置呢？那么哪条有向线段叫正切线呢？不妨先找某一个象限角的正切线设是第一象限角，的终边与过A的圆的切线交于点T，T的横坐标是1，纵坐标设为y，有向线段AT=y，AT可以叫做正切线大家看可以这样做吧？但第二象限角的终边与这条切线没有交点，也就是的终边上没有横坐标为1的点可以令x=-1，也就是可以过（-1，0）再找一条切线，在这条切线上找一条有向线段表示tan我相信这条线段肯定可以找到，那么其他两个象限呢？第三象限角的正切线在过（-1，0）的切线上找，第四象限角的正切线在过（1，

18、0）的切线上找这样做完全可以，大家可以课下去试，但我们还是要求简单，最好只要一条切线，我们当然喜欢过A点的切线（因为这条直线上每个点的横坐标都是1），第（板书）（3）正切线AT 师：的确像刚才同学们说的，正切线确实是单位圆的切线的一部分，那么轴上角的正切线又如何呢？注意正切值不是每个角都有当角终边在x轴上时，T和A重合，正切线退缩成了一个点，正切值为0；当角终边在y轴上时，的终边与其反向延长线和过A的切线平行，没有交点，正切线不存在，这与y轴上角的正切值不存在是一致的 师：可以看到正切线的一个应用帮助我们记忆正切函数的定义域现在我们归纳一下任意角的正弦线、余弦线、正切线的作法设的终边与单位圆的

19、交点为P，过P点作x轴的垂线，垂足为M，过A（1，0）点作单位圆的切线（x轴的垂线），设的终边或其反向延长线与这条切线交于T点，那么有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线利用三角函数线，我们可以解决一些简单的有关三角函数的问题 （板书）4三角函数线的应用例1 比较下列各组数的大小：分析：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线 （由学生自己画图，从图中的三角函数线加以判断）（画出同一个角的两种三角函数线） 师：例1要求我们根据角作出角的三角函数线，反过来我们要根据三角

20、函数值去找角的终边，从而找到角的取值范围 （板书）例2 根据下列三角函数值，求作角的终边，然后求角的取值集合P1，P2两点，则OP1，OP2是角的终边，因而角的取值集合为（3）在单位圆过点A（1，0）的切线上取AT=-1，连续OT，（4）这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，而是适合单位圆和三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现我们应掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关三角函数的问题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要正确 作业（1）复习课本“用单位圆中的线段表示三角函数”一节（2）课本习题P178练习第7题；P192练习十

21、四第9题；P194练习十四第22题；P201总复习参考题二第20题 课堂教学设计说明关于三角函数线的教学，曾有过两个设想：一是三种函数线在同一节课交待，第二节课再讲应用；另一个设想是，第一节课只出正弦线、余弦线及它们的应用，第二节课引入正切线，及三线综合运用，如比较函数值的大小、给值求角、解简单的三角不等式，证明一些三角关系式本教案选择了前者，原因是利于学生类比思维在实际教学中，由于教师水平不同，学生的水平也不相同，教案中的例题可能讲不完，或根本不讲，但是宁可不讲例题，也要让学生去猜、去找三角函数的几何形式，我希望把三角函数线的发现过程展现给学生，教师不能包办代替数形结合思想是中学数学中的重要

22、数学思想，在教学中应不失时机地加以渗透通过三角函数线的学习，使学生了解数形结合的“形”不单有函数图象，还有其他的表现形式至于在解决有关三角函数的问题时用函数图象还是用三角函数线，则要具体情况具体分析，如证明等式sin2+cos2=1，研究同一个角的正余弦值的大小关系，都以三角函数线为好第四章总 第1教时推广叫的概念，引入正角、负角、零角；象限角、坐标上的角的概念；终边相同角的表示方法。让学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，以及相应的表示方法。从“射线绕其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化的观点审视事物；通过与数（轴）的类比，理解

23、“正角”“负角”“零角，让学生感受图形的对称美、运动美。教学重点：理解并掌握正角、负角、零角、象限角的定义； 掌握总边相同角的表示方法及判定。教学难点：把终边相同角用集合和符号语言正确的表示出来。过程：回忆初中学过的“锐角三角函数”它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”讲解：“旋转”形成角（P4） 突出“旋转”注意：“顶点”“始边”

24、“终边” “始边”往往合于轴正半轴“正角”与“负角”这是由旋转的方向所决定的。记法：角或可以简记成由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。1（ 角有正负之分如：（=210（=（150（=（660（ 2（ 角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360（2=720（） 3周（360（3=1080（） 3（ 还有零角一条射线，没有旋转为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30（390（ （330（是第象限角300（60（是

25、第象限角585（1180（是第象限角（2000（是第象限角等1观察：390（，（330（角，它们的终边都与30（角的终边相同 2终边相同的角都可以表示成一个0（到360（的角与个周角的和390（=30（+360（330（=30（360（30（=30（+0360（1470（=30（+4（1770（=30（53所有与（终边相同的角连同（在内可以构成一个集合即：任何一个与角（终边相同的角，都可以表示成角（与整数个周角的和 4（P6例1）例1 在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）-120（2）640（3）-95012 解：=240-360所以与-120角终边相同的角是240角，它是第三象限角； （2）640=280+360所以与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角； （3）-95012=12948-3360所以与-95012角终边相同的角是12948，它是第二象限角（P5）角的范围的扩大2（“象