偏微分方程数值习题解答.doc

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李微分方程数值解习题解答

1-1如果，则称是的

驻点（或稳定点）.矩阵对称（不必正定），求证是的驻点的充要条件是：

是方程组的解

证明:

由的定义与内积的性线性性质,得

必要性:

由,得,对于任何,有

由线性代数结论知,

充分性:

由,对于任何,

即是的驻点.

§1-2

补充:

证明的不同的广义导数几乎处处相等.

证明:

设,为的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意,有

两式相减,得到

由变分基本引理,几乎处处为零,即几乎处处相等.

补充:

证明的连续性条件（1.2.21）

证明:

设,由不等式

其中

习题:

1设为的一阶广义导数,试用类似的方法定义的阶导数）

解:

一阶广义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:

对于,若有,使得对于任意的,有

则称有阶广义导数,称为的阶广义导数,并记

注:

高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.

2.利用的完全性证明是空间.

证明:

只证的完全性.设为的基本列,即

因此知都是中的基本列（按的范数）.由的完全性,存在,使

以下证明（关键证明）

由不等式,有

对于任意的,成立

由

取极限得到

即,即,且

故中的基本列是收敛的,是完全的.

3.证明非齐次两点边值问题

证明:

边界条件齐次化

令,则满足齐次边界条件.满足的方程为,即对应的边值问题为

（P）

由定理知,问题与下列变分问题等价

求

其中.而

而

从而

则关于的变分问题等价于:

求

使得

其中

4就边值问题（1.2.28）建立虚功原理

解:

令,,则满足

等价于:

应用分部积分,

还原,

于是,边值问题等价于:

求,使得,成立

注:

形式上与用去乘方程两端,应用分部积分得到的相同.

5试建立与边值问题

等价的变分问题.

解:

取解函数空间为,对于任意

用乘方程两端,应用分部积分,得到

而

上式为

定义,为双线性形式.

变分问题为:

求,

1-4

1.用方法求边值问题

的第次近似,基函数

解:

（1）边界条件齐次化:

令,,则满足齐次边界条件,且

第次近似取为,其中满足的方程为

又

由三角函数的正交性,得到

而

于是得到

最后得到

2.在题1中,用代替右边值条件,是用方法求解相应问题的第次近似,证明按收敛到,并估计误差.

证明:

对应的级数绝对收敛,由的完全性知极限就是解,其误差估计为

3.就边值问题（1.2.28）和基函数

写出

方程

解:

边界条件齐次化,取,,对应的微分方程为

对应的变分方程为

变分方程为

取,则方程为

 取,具体计算

即解

:

得到方程组为

特别取,有

求解得到

其解为

Ch2  椭圆与抛物型方程有限元法

§1.1用线性元求下列边值问题的数值解:

此题改为

解:

取,,为未知数.

形式的变分方程为,

其中

又

因此

在单元中,应用仿射变换（局部坐标）

节点基函数为

取,则计算得

代数方程组为

代如求值.

取,未知节点值为,方程为

应用局部坐标表示,

系数矩阵为

取,

2.就非齐次第三边值条件

导出有限元方程.

解:

设方程为

则由

变分形式为:

记则上述变分形式可表示为

设节点基函数为

则有限元方程为

具体计算使用标准坐标.

建立组织，明确分工为保证活动成功开展，班级设多个工作小组，由文艺委员刘亚宁同学负责，明确任务，紧紧围绕迎新年这个中心，积极开展工作。

各小组成员全力以赴，保证在预定的时间内完成各项任务，为文艺演出做好充分的准备