偏微分方程数值习题解答.doc

1、 李微分方程数值解习题解答1-1 如果，则称是的驻点（或稳定点）.矩阵对称（不必正定），求证是的驻点的充要条件是：是方程组 的解证明:由的定义与内积的性线性性质,得 必要性:由,得,对于任何,有,由线性代数结论知,充分性: 由,对于任何,即是的驻点.1-2补充: 证明的不同的广义导数几乎处处相等.证明:设,为的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意,有两式相减,得到由变分基本引理,几乎处处为零,即几乎处处相等.补充:证明的连续性条件(1.2.21)证明: 设,由不等式,其中习题:1 设为的一阶广义导数,试用类似的方法定义的阶导数)解:一阶广义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系

2、式来定义,因此可得到如下定义: 对于,若有,使得对于任意的,有则称有阶广义导数,称为的阶广义导数,并记注:高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.2.利用的完全性证明是空间.证明:只证的完全性.设为的基本列,即因此知都是中的基本列(按的范数).由的完全性,存在,使,以下证明(关键证明)由不等式,有对于任意的,成立由取极限得到即,即,且 故中的基本列是收敛的,是完全的.3.证明非齐次两点边值问题证明:边界条件齐次化令,则满足齐次边界条件.满足的方程为,即对应的边值问题为 (P)由定理知,问题与下列变分问题等价求其中.而而从而则关于的变分问题等价于:求使得其中4就边值问题（1

3、.2.28）建立虚功原理解:令,则满足等价于:应用分部积分,还原,于是,边值问题等价于:求,使得,成立注:形式上与用去乘方程两端,应用分部积分得到的相同.5试建立与边值问题等价的变分问题.解:取解函数空间为,对于任意用乘方程两端,应用分部积分,得到而上式为定义,为双线性形式.变分问题为:求,1-4 1.用方法求边值问题的第次近似,基函数解:(1)边界条件齐次化:令,则满足齐次边界条件,且第次近似取为,其中满足的方程为又由三角函数的正交性,得到而于是得到最后得到2.在题1中,用代替右边值条件,是用方法求解相应问题的第次近似,证明按收敛到,并估计误差.证明:对应的级数绝对收敛,由的完全性知极限就是

4、解,其误差估计为3.就边值问题(1.2.28)和基函数,写出方程解:边界条件齐次化,取, 对应的微分方程为对应的变分方程为变分方程为取,则方程为取,具体计算, ,即解:得到方程组为特别取,有求解得到其解为Ch2椭圆与抛物型方程有限元法1.1 用线性元求下列边值问题的数值解:此题改为解: 取,为未知数.形式的变分方程为,其中,又因此在单元中,应用仿射变换(局部坐标)节点基函数为取,则计算得代数方程组为代如求值.取,未知节点值为,方程为应用局部坐标表示,系数矩阵为取,2.就非齐次第三边值条件导出有限元方程.解:设方程为则由变分形式为:记则上述变分形式可表示为设节点基函数为则有限元方程为 具体计算使用标准坐标.建立组织，明确分工 为保证活动成功开展，班级设多个工作小组，由文艺委员刘亚宁同学负责，明确任务，紧紧围绕迎新年这个中心，积极开展工作。各小组成员全力以赴，保证在预定的时间内完成各项任务，为文艺演出做好充分的准备