鲁教版数学年级下第章《图形的相似》专题专练.doc

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第九章《图形的相似》专题专练

专题一∶线段的比

一、专题概述

1．结合现实情境了解线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的性质及其简单应用；

2．比例线段:

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫成比例线段，简称为比例线段．如有四条线段a、b、c、d，若a∶b=c∶d或，则a、b、c、d叫比例线段．

二、典例分析

例1．在比例尺是1∶8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm，它的实际长度约为（）．

A．320cmB．320m　　　C．2000cm　　D．2000m

分析∶根据关系式∶比例尺＝图上距离∶实际距离，计算实际距离，同时要注意单位换算．

解∶设实际距离为xcm，则，x＝200000cm＝2000m，所以应选（D）．

专练一∶

1、在比例尺为1∶500000的平面地图上，A、B两地的距离是6cm，那么A、B两地的实际距离是（）

A、60kmB、1.2kmC、30kmD、20km

2、如图，线段AB∶BC=1∶2，那么AC∶BC等于（）

A、1∶3B、2∶3C、3∶1D、3∶2

3、已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（）

A、=B、=C、=D、=

4、若3x－4y=0，则的值是（）

A、B、C、D、

5、已知线段a、b、c、d是成比例线段，且a=2cm，b=0.6cm，c=4cm，那么

d=cm．

6、已知三个数1，2，，请你再写一个数，使这四个数能成比例，那么这个数是________（填写一个即可）.

7、同学们都知道，在相同的时刻，物高与影长成比例，某班同学要测量学校国旗的旗杆高度，在某一时刻，量得旗杆的影长是8米，而同一时刻，量得某一身高为1.5米的同学的影长为1米，求旗杆的高度是多少？

8、已知==，求

（1）

（2）的值．

专题二∶黄金分割

一、专题概述

1．经历对黄金分割的探索过程，体会其中的文化价值，体验用所学知识解决实际问题

2．黄金分割:

点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比．

二、典例剖析

图2

例2．如图2，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝，BD平分∠ABC，交AC于点D，试说明点D是线段AC的黄金分割点．

分析:

本题可先判别AD＝BD＝BC＝，再根据黄金分割的概念确定这个特征的比值，即可判定点D是线段AC的黄金分割点．

解:

在△ABC中，因为，所以．

因为BD平分∠ABC，所以，所以∠1＝∠A，所以AD＝BD．

所以∠BDC＝∠1＋∠A＝，所以∠BDC＝∠C，从而有BC＝BD＝AD＝．

所以，即点D为线段AC的黄金分割点

专练二∶

1、若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=2，则AC=（　）

A、B、C、D、或

2、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞CB，则下列等式中成立的是（　）

A．AB2=AC·CB；B．CB2=AC·AB；C．AC2=CB·AB；D．AC2=2BC·AB

3、把长为7cm的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（　）

图3

A．　B．C．　　D．

4、点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，

那么的值是．

5、电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少m处？

，如果他向B点再走m，

也处在比较得体的位置？

（结果精确到0.1m）

6、已知线段AB=10cm，C、D是AB上的两个黄金分割点，求线段CD的长.

7、已知线段MN=1，在MN上有一点A，如果AN=，求证∶点A是MN的黄金分割点．

8、

（1）已知线段AB=a，在线段AB上有一点C，若AC=，则点C是线段AB的黄金分割点吗？

为什么？

（2）宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形．请你设法作出一个黄金矩形.

专题三∶相似图形

一、专题概述

1．了解相似图形的含义，会判断两多边形是否为相似多边形

2．相似多边形∶对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫相似多边形，相似多边形的对应边的比叫相似比．

二、典例剖析

例3．我们已经学过了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形，比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．

现在给出下列4对几何图形∶①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；

④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．

解:

①④一定是相似图形，原因是它们的对应元素成比例．

②③不一定是相似图形，原因是②的对应角不一定相等，③的对应边不一定成比例，例如:

长方形ABCD的长AB=5cm，宽BC=2cm，长方形ABCD的长AB=10cm，宽BC=6cm，长方形ABCD与长方形ABCD的边不成比例，两者不相似．

专练三∶

1、下列图形中一定相似的是（）

A.有一个角相等的两个平行四边形；B.有一个角相等的两个等腰梯形

C.有一个角相等的两个菱形；D.有一组邻边对应成比例的两平行四边形

2、下列结论不正确的是（）

A.所有的矩形都相似；B.所有的正方形都相似

C.所有的等腰直角三角形都相似；D.所有的正八边形都相似

3、五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是（）

A.5∶4B.4∶5C.5∶2D.2∶5

4、如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（）

A.2∶1B.4∶1C.∶1D.1∶

5、两个相似多边形的相似比是，则这两个多边形的对应对角线的比是___.

6、在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∠A=∠A′=60°，若AB∶A′B′=1∶，则BD∶A′C′=________.

7、下列各组图形中相似的是（）

图4

A、①②③B、②③④C、①③④D、①②④

8、

（1）以下五个命题∶①所有的正方形都相似②所有的矩形都相似③所有的三角形都相似④所有的等腰直角三角形都相似⑤所有的正五边形都相似.其中正确的命题有___.

9、如图，图5

（1）是一个正六边形ABCDEF，使线段BC、FE的长增加相等的数，得图5

（2），将图5

（1）中的点A、D分别向两边拉长相等的量，得图5（3），那么图4

（1）与图5

（2）相似吗？

图5

（1）与图5（3）相似吗？

图5

（2）与图5（3）呢？

为什么？

图5

10、如图6，如果梯形ABCD的各边向外平移2个单位得到新的梯形A`B`C`D`，

图6

试问图中的两个梯形能相似吗？

请说明理由．

11、如图7，在一矩形ABCD的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．花坛AB＝20米，AD＝30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A`B`C`D`能与矩形ABCD相似？

请说明理由．

图7

12、如图8，有一个半径为50米的圆形草坪，现在沿草坪的四周开辟了宽10米的环形跑道，那么∶①草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆相似吗？

②这两个圆的半径之比和周长之比分别是多少？

它们有什么关系吗？

图8

专题四∶相似三角形

一、专题概述

1．通过一些具体的情境和应用，深入对相似三角形的理解和认识，初步认识特殊与一般之间的辨证关系

2．掌握两个三角形相似的判定条件，能够运用三角形相似的条件解决简单的问题

3．相似三角形的性质

对于两个相似三角形来说，它们具有如下常用性质∶

①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．

②相似三角形周长比等于相似比．

③相似三角形的面积比等于相似比的平方．

4．相似三角形的判定方法∶

两边对应成比例，

夹角对应相等

两角对应相等

三条边对应成比例

一条直角边、

斜边对应成比例

判定一

判定二

判定三

直角三角形的判定

二、典例剖析

例4．如图9，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上滑动，当CM=时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似

C

A

B

D

M

N

E

解析∶由于△AED和△MCN都是直角三角形，△AED的三边，

AD=2，AE=1，斜边DE=；△MCN的斜边MN=1，而

当两个直角三角形斜边与直角边对应成比例时，这两个直角三角形相似，

图9

根据或，即或，

得或，故当或时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似．

点评∶分类讨论题虽然也具有开放性，但它比以上开放题要求高，分类讨论必须考虑全面、周密，做到不重不漏，本题必须分两种情况所得的值都填上才正确．

专练四∶

1、在△ABC中AB＝12cm，AC＝8cm，点D，E分别在AB，AC上，如果△ADE于△ABC能够相似，且AD＝4cm时，试求AE的长．

2、ABC∽△DEF若△ABC的边长分别为5cm，6cm，7cm，而4cm时△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？

试说明理由．

3、如图10，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12cm，高AD=8cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问这个正方形材料的边长是多少？

图10

4、某生活小区开辟了一块矩形绿草地，并画了甲、乙两张规划图，其比例尺分别为1∶200和1∶500，求这块矩形草地在甲、乙两张图纸上的面积比.

专题五∶图形的位似

一、专题概述

1．了解位似图形及其有关概念，了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；能利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小

B

A

O

C

D

图11

2．掌握位似图形的性质

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．

二、典例剖析

例5．在小孔成像问题中，根据如图11所示，若O到

AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，，则像CD

的长是物AB长的（）．

（A）3倍（B）倍（C）倍（D）不知AB的长度，无法判断．

分析∶由图形知，△OAB和△OCD是位似图形，由位似图形的性质知AB和CD位似比是，所以像CD是物AB长的倍．

解∶选（C）．

点评∶小孔成像是光的直线传播现象中的应该典型现象，现在我们用一个蜡烛通过小孔成像的原理在暗箱里成一个倒立的像，如图11所示．小孔O是位似中心，两条光线AC和BD形成了两个相似三角形△OAB和△OCD．总之，在生活活中这样的例子还有很多，如利用光的反射原理、制作视力表等问题，都要用到位似图形的有关性质来解决．

专练五∶

图12

1、如图12，点O是