角平分线模型精华篇.docx

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角平分线有关的辅助线

角平分线是天然的涉及对称的模型，通常有下列四种作辅助线的方法：

（1）角平分线+两边垂线→全等三角形：

角平分线的性质定理：

角平分线上的点到角的两边距离相等；

已知：

AD平分∠BAC，CD⊥AC，垂足为C，过点D作DB⊥AB，垂足为B；

辅助线：

过点D作DB⊥AB，垂足为B；

结论：

①△ACD≌△ABD；②CD=DB

（角分线垂两边，对称全等必呈现）

（2）角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现：

遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；

已知：

OP平分∠AOB，MP⊥OP，垂足为P，延长MP交OB于点N；

结论：

①△OPM≌△OPN；

②△OMN为等腰三角形；

③P是MN的中点（三线合一）；

（3）在角的两边上截取相等的线段，构造全等三角形：

已知：

OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点；

辅助线：

在OA上取一点E，在OB取一点F，使得OE=OF，并连接DE，

结论：

△OED≌△OFD；

（4）作平行线

①以角分线上一点作角的另一边的平行线，则△OAB等腰三角形；

②过一边上的点作角平分线的平行线与另一边的反向延长线相交，则△ODH等腰三角形；

已知：

OP平分∠MON，AB∥ON，已知：

OC平分∠AOD，DH∥OC，

结论：

△OAB等腰三角形结论：

△ODH等腰三角形

一、角平分线模型应用

1.角平分线+两边垂线→全等三角形

辅助线：

过点G作GE射线AC

已知：

AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AC，DB⊥AB，

求证：

CD=DB

证明：

∵AD是∠BAC的角平分线，

∴∠1=∠2，

∵CD⊥AC，DB⊥AB，

∴∠ACD=∠ABD=90°，

在△ACD和△ABD中，

∴△ACD≌△ABD（AAS）

∴CD=BD

例1：

已知：

∠1=∠2，∠3=∠4，求证：

AP平分∠BAC．

例2：

如图，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB、DF⊥AC，

垂足分别为E、F．求证：

BE=CF．

例3：

如图，在△ABC中，AC＞AB，M是BC中点，AN平分∠BAC，若AN⊥BD且交BD的延长线于点D，求证：

MN=（AC-AB）.

例4：

如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：

BE=CF．

角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现

例：

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE交BA的延长于F．

求证：

BD=2CE

例、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB=AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M.求证：

2AM=（AB+AC）

例：

如图，已知△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF，∠AFE+∠CAF=180°，

求证：

EF∥BC.

截取构造全等：

例.    如图，AB>AC，∠1=∠2，求证：

AB－AC>BD－CD。

例:

  如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：

BC=AB+CD.

例:

 在中，，是的平分线．是上任意一点．

求证：

．

例:

 已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，

A

C

B

D

求证：

AD＋BD＝BC

角平分线+平行线模型

例1、△ABC的两条角平分线OB、OC相交于点O，MN经过点O，且MN∥BC交AB、AC分别于点M、N；求证：

△AMN的周长是AB+AC；

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