线面平行典型例题.doc
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线面平行典型例题和练习
直线与平面、平面与平面平行的判定与性质中，都隐含着直线与直线的平行，它成为联系直线与平面、平面与平面平行的纽带，成为证明平行问题的关键．
1．运用中点作平行线
A
C
N
P
D
M
B
G
图1
例1．已知四棱锥的底面是距形，Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＰＢ的中点，求证ＭＮ∥平面PCD．
2．运用比例作平行线
M
F
N
C
E
A
D
B
H
例2．四边形ＡＢＣＤ与ＡＢＥＦ是两个全等正方形，且ＡＭ=ＦＮ，其中，，求证：
ＭＮ∥平面BCE
3.运用传递性作平行线
例3．求证：
一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行
图4
４.运用特殊位置作平行线
A
B
C
E
F
N
M
B1
A１
C1
图5
例4．正三棱柱ＡＢＣ－Ａ1Ｂ1Ｃ1的底面边长为2，点Ｅ、Ｆ分别是Ｃ1Ｃ 、Ｂ1Ｂ上的点，点Ｍ是线段ＡＣ上的动点，ＥＣ＝2ＦＢ＝2．问当点Ｍ在何位置时ＭＢ∥平面ＡＥＦ？
课堂强化：
1.1．棱长都相等的四面体称为正四面体．在正四面体A-BCD中，点M，N分别是CD和AD的中点，
给出下列命题：
①直线MN∥平面ABC；
②直线CD⊥平面BMN；
③三棱锥B-AMN的体积是三棱锥B-ACM的体积的一半．
则其中正确命题的序号为
2.如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．
（Ⅰ）求证：
BE=DE；
（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：
DM∥平面BEC
．
3.．如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
（Ⅰ）证明：
MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）求三棱锥A′-MNC的体积．
4.如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．
（1）若点G在AB上，试确定G点位置，使FG∥平面ADE，并加以证明；
5.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．
（1）求证：
AC⊥SD；
（3）在
（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：
EC的值；若不存在，试说明理由．
6.如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．
（I）证明：
直线CE∥平面PAB；
7.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，则在四棱锥P-ABCD中，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：
AP∥GH．
8.已知平面α∥面β，AB、CD为异面线段，AB⊂α，CD⊂β，且AB=a，CD=b，AB与CD所成的角为θ，平面γ∥面α，且平面γ与AC、BC、BD、AD分别相交于点M、N、P、Q．且M、N、P、Q为中点，
（1）若a=b，求截面四边形MNPQ的周长；
9.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，棱长AA1=2，AB=1，E是AA1的中点．
（Ⅰ）求证：
A1C∥平面BDE；
10.如图，在三棱锥P-ABC中，已知AB=AC=2，PA=1，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，点D、E分别为AB、PC的中点．
（1）在AC上找一点M，使得PA∥面DEM；
11.空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．
（1）求证：
四边形EFGH为平行四边形；
12.如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，BG=2CG
（I）求证：
PC⊥BC；
（III）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；否则，说明理由．
13.如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．
（I）证明：
直线CE∥平面PAB；
14.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．
（Ⅰ）求证：
AC⊥SD；
（Ⅱ）若PD：
SP=1：
3，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：
EC的值；若不存在，试说明理由．
15.如图，在五面体中，平面ABCD⊥平面BFEC，Rt△ACD、RtACB、Rt△FCB、Rt△FCE为全等直角三角形，AB=AD=FB=FE=1，斜边AC=FC=2．
（Ⅰ）证明：
AF∥DE；
课后作业
一、选择题
1．下列条件中,能判断两个平面平行的是（）
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
2、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是（ ）
A.b∥α B.bα
C.b与α相交 D.以上都有可能
3．直线及平面，使成立的条件是（）
A．B．C．D．
4．若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（）
A．内的所有直线与m异面B．内不存在与m平行的直线
C．内存在唯一的直线与m平行D．内的直线与m都相交
5．下列命题中，错误的个数是（）
①一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；②过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤a和b异面，则经过b存在唯一一个平面与平行
A．4 B．3C．2 D．1
6．已知空间四边形中，分别是的中点，则下列判断正确的是（）
A．B．
C．D．
7．，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同直线，在下列条件下，可判定∥β的是（）
A．，β都平行于直线a，b
B．内有三个不共线点到β的距离相等
C．a，b是内两条直线，且a∥β，b∥β
D．a，b是两条异面直线且a∥，b∥，a∥β，b∥β
8．两条直线a，b满足a∥b，b，则a与平面的关系是（）
A．a∥B．a与相交 C．a与不相交 D．a
9．设表示直线，表示平面，P是空间一点，下面命题中正确的是（）
A．，则B．，，则
C．，则D．，则
10．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）
A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定
11.下列四个命题中，正确的是（）
①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行
A．①③ B．①②C．②③ D．③④
12．在下列命题中，错误的是
A.若平面α内的任一直线平行于平面β，则α∥β
B.若两个平面没有公共点，则两个平面平行
C.若平面α∥平面β，任取直线aα，则必有a∥β
D.若两条直线夹在两个平行平面间的线段长相等，则两条直线平行
二、填空题
13．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是
①②③④
14．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD中点，则BD1和平面ACE位置关系是．
15．a，b，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：
其中正确的命题是________________.
16．如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，DD1，DC中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足时，有MN∥平面B1BDD1．
三、解答题
A
B
C
A1
B1
C1
D
17.如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点.求证：
平面.
18、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且ＥＨ∥ＦＧ．
求证：
EH∥BD.
19、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点,求证:
20.如图，在正四棱锥中，,点在棱上．问点在何处时，，并加以证明.
21、已知正方体，是底对角线的交点.
求证：
（１）C1O∥面；
（2）面．
探究习题：
1.平面内两正方形ABCD与ABEF，点M，N分别在对角线AC,FB上，且AM:
MC=FN:
NB，沿AB折起，使得∠DAF=900
（1）证明：
折叠后MN//平面CBE；
（2）若AM:
MC=2：
3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN//平面CBE?
若存在，试确定点G的位置.
2.设平面∥平面β，AB、CD是两条异面直线，M，N分别是AB，CD的中点，且A，C∈，B，D∈β，求证：
MN∥平面.
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