用一元二次方程解决问题(含答案).doc

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4.3用一元二次方程解决问题

（1）

目标导航：

知识要点：

根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．

学习要点：

掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．

基础巩固题

1、长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．

2、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．

3、直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）．

A．B．5C．D．7

4、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（）．

A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;

B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;

C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;

D．以上都不对

5、从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．

A．8cmB．64cmC．8cm2D．64cm2

6、在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?

7、某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．

（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？

（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？

8、如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？

9、如图，在ΔABC中，∠B=90º，AB=4cm，BC=10cm，点P从点B出发，沿BC以1cm/s的速度向点C移动，问：

经过多少秒后，点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1？

A

BPC

思维拓展题

10、如图所示，在一个长为32米，宽为20米的矩形空地上，建造一个草坪，并修筑等宽且互相垂直的两条路，要使草坪的面积为540米2，求路的宽度。

11、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8cm2？

12、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?

若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

自主探究题

13、如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．

（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．

（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2．（友情提示：

过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则：

）

走进中考

14、（吉林省2007）某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，则可列方程（）．

A、x（x－10）＝375B、x（x＋10）＝375

C、2x（2x－10）＝375D、2x（2x＋10）＝375

（第27题图）

x

S1

S2

15、（甘肃省兰州市2007）某农场计划建一个养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙（墙足够长），另外的部分用30米的竹篱笆围成，现有两种方案：

①围成一个矩形（如下左图）；②围成一个半圆形（如下右图）．设矩形的面积为S1平方米，宽为x米，半圆形的面积为S2平方米，半径为r米，请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案（π≈3）．

答案：

1、32cm

2、15/2,20或10,15

3、A

4、B

5、D

6、设宽度为xm

12×8-8x×2-（12-2x）x×2=12

解得：

x1=3，x2=7（不符合实际意义舍去）

即宽度为3m

7、解：

（1）设渠深为xm

则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m

依题意，得：

（x+2+x+0.4）x=1.6

整理，得：

5x2+6x-8=0

解得：

x1==0.8m，x2=-2（舍）

∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．

（2）=25天

答：

渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．

8、设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：

中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．

因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．

所以（27-18x）（21-14x）=×27×21

整理，得：

16x2-48x+9=0

解方程，得：

x=，

x1≈2.8cm，x2≈0.2

所以：

9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm

因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．

所以（27-18x）（21-14x）=×27×21

整理，得：

16x2-48x+9=0

解方程，得：

x=，

x1≈2.8cm，x2≈0.2

所以：

9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm

因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．

9、设：

经过秒后，点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1

得

10、路的宽度为2米。

11、设秒后△PBQ的面积等于8cm2

（-6）÷2=8

=2，=4

即经过2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2。

12、1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm

由题意得：

解得：

x1=16,x2=4

当x1=16时，20-x=4；当x2=4时，20-x=16答：

（略）

（2）不能。

理由是：

整理得：

x2－20x+104=0

∵△<0∴此方程无解即不能剪成两段使得面积和为12cm2

解：

（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2．

则：

（6-x）·2x=8

整理，得：

x2-6x+8=0

解得：

x1=2，x2=4

∴经过2秒，点P到离A点1×2=2cm处，点Q离B点2×2=4cm处，经过4秒，点P到离A点1×4=4cm处，点Q离B点2×4=8cm处，所以它们都符合要求．

（2）设y秒后点P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，点Q在CA上移动，且使CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有

∵AB=6，BC=8

∴由勾股定理，得：

AC==10

∴DQ=

则：

（14-y）·=12.6

整理，得：

y2-18y+77=0

解得：

y1=7，y2=11

即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm处（CQ=2y-8=6），使△PCD的面积为12.6cm2．

经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10，

∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在．

∴本小题只有一解y1=7．

14、A

15、解：

S1＝x（30－2x）

＝－2（x－）2＋

当x＝米时

S1取最大值平方米

由30＝πr得r＝10米

S2＝πr2＝×3×100＝150平方米

∵＜150

∴S1＜S2

∴应选择方案②

4.3用一元二次方程解决问题

（2）

目标导航：

知识要点：

根据增长率的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．

学习要点：

学习根据增长率的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．

基础巩固题

1、某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．

2、某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2004年的产量将是________．

3、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是。

4、某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次。

设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x，根据题意列出的方程是___________。

5、2007年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（）．

A．100（1+x）2=250B．100（1+x）+100（1+x）2=250

C．100（1-x）2=250D．100（1+x）2

6、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元,如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为（）

A、200（1+x）2=1000B、200+200×2x=1000

C、200+200×3x=1000D、200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000

7、一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（）．