新人教版八上数学培优讲义(15讲).doc
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第一讲三角形
考点·方法·破译
1．了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线），会画出任意三角形的高、中线、角平分线.
2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.
3．了解与三角形有关的角（内角、外角）.
4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.
6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.
经典·考题·赏析
【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x＝______________.
【变式题组】
1．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________.
2．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c为边的三角形，共有______________个.
3．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长.
【变式题组】
1．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是（ ）
A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm
2．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是（ ）
A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm
3．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.
【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.
【变式题组】
1．如图，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，S△ABC＝4，则S△EFC＝______________.
2．如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若一腰上的高为4cm，则DE+DF＝______________.
3．如图，已知四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE于F，则DF与AB的数量关系是______________.
【例４】已知，如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.
【变式题组】
1．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.
2．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.
3．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.
【例５】如图，已知∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC＝______________.
【变式题组】
1．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝______________.
3．如图，∠O＝140°，∠P＝100°，BP、CP分别平分∠ABO、∠ACO，则∠A＝______________.
【例６】如图，已知∠B＝35°，∠C＝47°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，则∠EAD＝______________.
【变式题组】
1.（改）如图，已知∠B＝39°，∠C＝61°，BD⊥AC，AE平分∠BAC，则∠BFE＝__________.
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝40°，AD平分∠BAC，∠ACB的外角平分线交AD的延长线于点P，点F是BC上一动点（F、D不重合），过点F作EF⊥BC交于点E，下列结论:
①∠P+∠DEF为定值，②∠P－∠DEF为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.
*【例７】如图，在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′，使CC′∥AB，若∠BAC＝70°，则旋转角α＝______________.
【变式题组】
1.如图，用等腰直角三角形板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的直角α＝______________.
2．如图，在平面内将△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到△OA′B′，若点A′在AB上时，则旋转角α＝______________.（∠AOB＝90°，∠B＝30°）
3．如图，△ABE和△ACD是△ABC沿着AB边，AC边翻折180°形成的，若∠BAC＝130°，则∠α＝______________.
演练巩固·反馈提高
1．如图，图中三角形的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
2．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不确定
3．有4条线段，长度分别是4cm，8cm，10cm，12cm，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列语句中，正确的是（ ）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和
C．三角形的外角中，至少有两个钝角
D．三角形的外角中，至少有一个钝角
5．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
6．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
7．如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是9cm，则这个三角形的周长是______________.
8．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________.
9．如图，在△ABC中，∠A＝42°，∠B与∠C的三等分线，分别交于点D、E，则∠BDC的度数是______________.
10．如图，光线l照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.
11．如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且S△EFC＝1，则S△ABC＝______________.
12．如图，已知:
∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，则∠DAC＝______________.
13．如图，已知点D、E是BC上的点，且BE＝AB，CD＝CA，∠DAE＝∠BAC，求∠BAC的度数
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1．在△ABC中，2∠A＝3∠B，且∠C－30°＝∠A+∠B，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．有一个角是30°的直角三角形 D．等腰直角三角形
B． C．
2．已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝7，则这样的三角形共有（ ）
A．21个 B．28个 C．49个 D．54个
3．在△ABC中，∠A＝50°，高BE、CF交于O点，则∠BOC＝______________.
4．在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为______________.
5．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝40°，∠C＝38°，则∠P＝______________.
6．如图，已知OABC是一个长方形，其中顶点A、B的坐标分别为（0，a）和（9，a）.点E在AB上，且AE＝AB．点F在OC上，且OF＝OC，点G在OA上，且使△GEC的面积为16，试求α的值.
7．如图，已知四边形ABCD中，∠A+∠DCB＝180°，两组对边延长后分别交于P、Q两点，∠P、∠Q的平分线交于M，求证PM⊥QM.
第二讲全等三角形的性质与判定
考点·方法·破译
1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；
2．全等三角形性质：
①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；
3．全等三角形判定方法有：
SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；
4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；
5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：
平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.
经典·考题·赏析
【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形（）
B
A
C
D
E
F
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【变式题组】
1．（武汉2011）下列判断中错误的是（）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
A
F
C
E
D
B
2．（黄冈）已知命题：
如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.
3．（上海）已知线段AC与BD相交于点O,连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）.
⑴添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：
AB＝DC；
A
B
C
D
O
F
E
⑵分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.
A
C
E
F
B
D
【例２】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB.求证：
AF＝DE.
【变式题组】
1．如图，AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，则AO的长为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
A
E
第1题图
A
B
C
D
E
B
C
D
O
第2题图
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝__________.
\
3．（孝感2013）已知：
如图，在△ABC中，∠ACB＝
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