数学奥林匹克初中训练题15套.doc

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数学奥林匹克初中训练题

（一）

第一试

一.选择题

1、已知，则的值为:

A．1B．2C．3D．4

2、规定”Δ”为有序实数对的运算，如果Δ如果对任意实数都有Δ则为:

　　A．（0,1）B．（1,0）C．（-1,0）D．（0，-1）

3、在ΔABC中，，则∠A:

A．一定是锐角B．一定是直角C．一定是钝角D．非上述答案

4、下列五个命题:

①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边长是5;②③若点在第三象限，则点在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:

A．2个　　B．3个　　　C．4个　　D．5个

5、设P为等腰ΔABC斜边AB上或其延长线上一点，，那么:

A．　　B．　　C．　　D．不确定

6、满足方程的所有正整数解有:

A．一组　　B．二组　C．三组　　D．四组

二.填空题

1、一辆客车，一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶，在某一时刻，货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等.走了10分钟，小轿车追上了货车;又走了5分钟，小轿车追上了客车.问再过分钟，货车追上了客车.

2、若多项式，那么P的最小值是.

3、如图1，∠AOB=30O，∠AOB内有一定点P，且OP=10.在OA上有一点Q，OB上有一点R.若ΔPQR周长最小，则最小周长是.

4、已知二次函数的图象上两点A，B的横坐标分别为，O是坐标原点，如果ΔAOB是直角三角形，则ΔAOB的周长为.

第二试

一、已知实数满足不等式，，求的值.

二、如图2，点D在ΔABC的边BC上，且与B，C不重合，过点D作AC的平行线DE交AB于E，作AB的平行线DF交AC于点F.又知BC=5.

（1）设ΔABC的面积为S.若四边形AEFD的面积为.求BD长.

（2）若且DF经过ΔABC的重心G，求E，F两点的距离.

三、已知定理:

”若三个大于3的质数满足关系式，则是整数的倍数.”试问:

上述定理中整数的最大可能值是多少?

并证明你的结论.

数学奥林匹克初中训练题

（二）

第一试

一、选择题

1、有铅笔，练习本，圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元;若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元.现购铅笔，练习本，圆珠笔各1件，共需:

A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元

2、三角形的三边都是整数，且满足，则此三角形的面积等于:

　　　　A．B．C．D．

3、如图1，ΔABC为正三角形，PM⊥AB，PN⊥AC.设四边形AMPN，ΔABC的周长分别是，则有:

A．B．C．D．

4、满足的所有实数对，使取最大值，此最大值为:

　　A．B．C．D．

5、设.其中是正实数，且满足.则满足:

A．＞5B．＜5C．＜2D．＜3

6、如图2，点O是正六边形ABCDEF的中心，OM⊥CD，N为OM的中点.则等于:

A．9:

5B．7:

4C．5:

3D．3:

2

二、填空题

1、若实数满足，则.

2、如图3，CD为直角ΔABC斜边AB上的高，DE⊥AC.设ΔADE，ΔCDB，ΔABC的周长分别是.当取最大值时，∠A=.

3、若函数中自变量的取值范围是一切实数，则实数的取值范围是.

4、如图4所示，线段AB与CD都是⊙O中的弦，其，则⊙O的半径R=.

第二试

一.（共20分）是一个三位数，是一个一位数，且都是整数，求的最大值与最小值.

二.（共25分）如图5，在ΔABC中，∠A=60O，O，I，H分别是它的外心，内心，垂心.试比较ΔABC的外接圆与ΔIOH的外接圆的大小，证明你的论断.

三.（共25分）求方程组的所有整数解.

数学奥林匹克初中训练题（三）

第一试

一、选择题

1、在（是大于3的整数）这5个数中，分数的个数为:

　　A．2B．3C．4D．5

2、如图1，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，RtΔCEF的面积为200，则BE的长为:

　　　　A．10B．11C．12D．15

3、已知均为整数，且满足＜.则以为根的一元二次方程是:

　　　　A．B．

C．D．

4、如图2，在RtΔABC中，AF是高，∠BAC=90O，且

BD=DC=FC=1，则AC为:

A．B．C．D．

5、若，则的值为:

A．1B．2C．3D．非上述答案

6、设，则的最大值是:

A．B．18C．20D．不存在

二、填空题

1、方程的实数根是.

2、如图3，矩形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且，则=.

3、已知二次函数（为常数）.当时，当为任意实数时，都有.则抛物线的顶点到原点的距离为.

4、如图4，半径为，圆心角为90O的扇形OAB的上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设ΔOPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为.

第二试

一、（20分）在一个面积为1的正方形中构造一个如下的小正方形;将单位正方形的各边等分，然后将每个顶点和它相对应顶点最接近的分点连结起来，如图5所示.若小正方形的面积恰为，求的值.

二、（25分）一条笔直的公路穿过草原，公路边有一卫生站A，距公路的地方有一居民点B，A，B之间的距离为.一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是，在草地上行驶的最快速度是.问司机应以怎样的路线行驶，所用的行车时间最短?

最短时间是多少?

三、（25分）从1，2，3，……，3919中任取2001个数。

证明：

一定存在两个数之差恰好为98。

数学奥林匹克初中训练题（四）

第一试

一、选择题

1、若均为质数，且，则的值为:

A．1999B．2000C．2001D．2002

2、设，，则之间的关系是:

　　　　A．B．C．D．

3、设ΔABC的三边长为满足，则ΔABC的周长是:

A．10B．14C．16D．不能确定

4、下面四个命题:

①直角三角形的两边长为3，4，则第三边长为5;②，③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;④若四边形ABCD中，AD∥BC，且

AB+BC=AD+DC，则四边形ABCD是平行四边形.

其中正确的命题的个数为:

　A．0B．1C．2D．3

5、一个四位数为平方数，则的值为:

A．11B．10C．9D．8

6、如果满足的ΔABC恰有一个，那么的取值范围是:

　　　A．B．C．D．或

二、填空题

1、已知为实数，且多项式能被整除，则的值是.

2、设正整数满足，则的最大值是.

3、若=1，，则=.

4、如图1，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E在AB上，F，N在半圆上.若AB=10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是.

第二试

一、若AD是ΔABC角平分线，I是线段AD上的点，且.

求证:

I是ΔABC的内心.

二、用汽船拖载重量相等满载货物的小船若干只，在两港之间来回送货物.已知每次拖4只小船，一日能来回16次;每次拖7只小船，一日能来回10次.每日来回次数是拖小船只数的一次函数（一天中每次拖小船只数不变）.问每日来回多少次，每次拖多少只小船，才能使运货问题达到最大?

三、设是从1到9的互不相同的整数，求的最大的可能值.

数学奥林匹克初中训练题（五）

第一试

一、选择题

1、正实数满足，那么的最小值为:

A．B．C．1D．

2、的值最接近于:

A．B．C．D．

3、如图1，ΔABC中，AB=AC，∠A=40O，延长AC到D，使CD=BC，点P是ΔABD的内心，则∠BPC=:

A．145OB．135OC．120OD．105O

4、为两两不同的正整数，且，则满足上述要求的四元数组共有:

　　　A．4组B．6组C．8组D．10组

5、ΔABC的三边长皆为整数，且，当ΔABC为等腰三角形时，它的面积的答案有:

　　　　A．1种B．2种C．3种D．4种

6、ΔABC的∠A，∠B皆为锐角，CD是高，已知，则ΔABC是:

　　　A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

二、填空题.

1、使方程恰好有两个解的所有实数为______________.

2、如图2，正方形ABCD中，延长边BC到E，AE分别交BD，CD于点P，Q.当AP=QE时，PQ：

AE=.

3、如图3，ΔABC内接于⊙O，∠A∠B=90O，则⊙O的面积为.

4、某中学生暑期社会调查团共17人到几个地方去考察，事先预算住宿费平均每人每天不超过元.一日到达某地，该地有两处招待所A，B.A有甲级床位8个，乙级床位11个;B有甲级床位10个，乙级床位4个，丙级床位6个.已知甲，乙，丙床位每天分别为14元，8元，5元.若全团集中住在一个招待所里，按预算只能住B处，则整数=________.

第二试

一、（20分）一批货物准备运往某地，有甲，乙，丙三辆卡车可雇用.已知甲，乙，丙三辆车每次运货量不变，且甲乙两车单独运这批货物分别用次;若甲，丙两车合运相同次数，运完这批货物，甲车共运了;若乙，丙两车合运相同次数，运完这批货物，乙车共运了.现甲，乙，丙合运相同次数把这批货物运完，货主应付车方运费各多少元?

（按每吨运费20元计算）?

二、（25分）如图4，在圆外切凸六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA.求证:

凸六边形ABCDEF是中心对称图形.

三、（25分）试求出所有这样的正整数使得关于的二次方程至少有一个整数根.

数学奥林匹克初中训练题（六）

第一试

一、选择题

1、设是实数，且，则等于:

A．B．C．D．

2、适合于的非负整数对的个数是:

A．1B．2C．3D．4

3、如图1，凸五边形ABCDE内接于半径为1的⊙O，ABCD是矩形，AE=ED，且BE和CE把AD三等分.则此五边形ABCDE的面积是: