数学中考新定义运算解题方法及举例.docx
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新定义运算、新概念问题
一、中考专题诠释
所谓“新概念”型问题,主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力.
二、解题策略和解法精讲
解决此类题的关键是
(1)深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;
(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”; 归纳“举例”提供的做题方法;归纳“举例”提供的分类情况;(3)依据新定义,运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题.
25.(本题12分)如图1,点P为∠MON的平分线上一点,以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,如果∠APB绕点P旋转时始终满足,我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角。
(1)如图2,已知∠MON=90°,点P为∠MON的平分线上一点,以点P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,且∠APB=135°。
求证:
∠APB是∠MON的智慧角;
(2)如图1,已知∠MON=(0°<<90°),OP=2,若∠APB是∠MON的智慧角,连结AB,用含的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积;
(3)如图3,C是函数图象上的一个动点,过点C的直线CD分别交轴和轴于点A,B两点,且满足BC=2CA,请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标。
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【答案】解:
(1)证明:
∵∠MON=90°,点P为∠MON的平分线上一点,
∴.
∵,∴.
∵,∴.∴.
∴.∴,即.
∴∠APB是∠MON的智慧角.
(2)∵∠APB是∠MON的智慧角,
∴,即.
∵点P为∠MON的平分线上一点,
∴.
∴.∴.
∴.
如答图1,过点A作AH⊥OB于点H,
∴.
∵,∴.
(3)设点,则.如答图,过C点作CH⊥OA于点H.
i)当点B在轴的正半轴时,
如答图2,当点A在轴的负半轴时,不可能.
如答图3,当点A在轴的正半轴时,
∵,∴.
∵∥,∴.∴.∴.
∴.
∵∠APB是∠AOB的智慧角,∴.
∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB,∴点P的坐标为.
ii)当点B在轴的负半轴时,如答图4
∵,∴.
∵∠AOB=∠AHC=90°,∠BAO=∠CAH,∴.
∴.∴.
∵∠APB是∠AOB的智慧角,∴.
∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB,∴点P的坐标为.
综上所述,点P的坐标为或.
【考点】新定义和阅读理解型问题;单动点和旋转问题;相似三角形的判定和性质;锐角三角函数定义;反比例函数的性质;曲线上点的坐标与方程的关系;分类思想的应用.
【分析】
(1)通过证明,即可得到,从而证得∠APB是∠MON的智慧角.
(2)根据得出结果.
(3)分点B在轴的正半轴,点B在轴的负半轴两种情况讨论.
2.平面上有两条直线AB、CD相交于点O,且∠BOD=150°(如图),现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”:
(1)点O的“距离坐标”为(0,0);
(2)在直线CD上,且到直线AB的距离为p(p>0)的点的“距离坐标”为(p,0);在直线AB上,且到直线CD的距离为q(q>0)的点的“距离坐标”为(0,q);
(3)到直线AB、CD的距离分别为p,q(p>0,q>0)的点的“距离坐标”为(p,q).
设M为此平面上的点,其“距离坐标”为(m,n),根据上述对点的“距离坐标”的规定,解决下列问题:
(1)画出图形(保留画图痕迹):
①满足m=1,且n=0的点M的集合;
②满足m=n的点M的集合;
(2)若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上,求m与n所满足的关系式.(说明:
图中OI长为一个单位长)
思路分析:
(1)①以O为圆心,以2为半径作圆,交CD于两点,则此两点为所求;②分别作∠BOC和∠BOD的角平分线并且反向延长,即可求出答案;
(2)过M作MN⊥AB于N,根据已知得出OM=n,MN=m,求出∠NOM=60°,根据锐角三角函数得出sin60°==,求出即可.
解:
(1)①如图所示:
点M1和M2为所求;
②如图所示:
直线MN和直线EF(O除外)为所求;
(2)如图:
过M作MN⊥AB于N,
∵M的“距离坐标”为(m,n),
∴OM=n,MN=m,
∵∠BOD=150°,直线l⊥CD,
∴∠MON=150°-90°=60°,
在Rt△MON中,sin60°==,
即m与n所满足的关系式是:
m=n.
点评:
本题考查了锐角三角函数值,角平分线性质,含30度角的直角三角形的应用,主要考查学生的动手操作能力和计算能力,注意:
角平分线上的点到角两边的距离相等.
3.概念:
P、Q分别是两条线段a和b上任意一点,线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离.
已知O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐标系中四点.
(1)根据上述概念,当m=2,n=2时,如图1,线段BC与线段OA的距离是2
;当m=5,n=2时,如图2,线段BC与线段OA的距离(即线段AB长)为;
(2)如图3,若点B落在圆心为A,半径为2的圆上,线段BC与线段OA的距离记为d,求d关于m的函数解析式.
(3)当m的值变化时,动线段BC与线段OA的距离始终为2,线段BC的中点为M,
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长;
②点D的坐标为(0,2),m≥0,n≥0,作MN⊥x轴,垂足为H,是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似?
若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
15.解:
(1)当m=2,n=2时,
如题图1,线段BC与线段OA的距离等于平行线之间的距离,即为2;
当m=5,n=2时,
B点坐标为(5,2),线段BC与线段OA的距离,即为线段AB的长,
如答图1,过点B作BN⊥x轴于点N,则AN=1,BN=2,
在Rt△ABN中,由勾股定理得:
AB==.
(2)如答图2所示,当点B落在⊙A上时,m的取值范围为2≤m≤6:
当4≤m≤6,显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径,即d=2;
当2≤m<4时,作BN⊥x轴于点N,线段BC与线段OA的距离等于BN长,
ON=m,AN=OA-ON=4-m,在Rt△ABN中,由勾股定理得:
∴d===.
(3)①依题意画出图形,点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示:
由图可见,封闭图形由上下两段长度为8的线段,以及左右两侧半径为2的半圆所组成,
其周长为:
2×8+2×π×2=16+4π,
∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为:
16+4π.
②结论:
存在.
∵m≥0,n≥0,∴点M位于第一象限.
∵A(4,0),D(0,2),∴OA=2OD.
如图4所示,相似三角形有三种情形:
(I)△AM1H1,此时点M纵坐标为2,点H在A点左侧.
如图,OH1=m+2,M1H1=2,AH1=OA-OH1=2-m,
由相似关系可知,M1H1=2AH1,即2=2(2-m),
∴m=1;
(II)△AM2H2,此时点M纵坐标为2,点H在A点右侧.
如图,OH2=m+2,M2H2=2,AH2=OH2-OA=m-2,
由相似关系可知,M2H2=2AH2,即2=2(m-2),
∴m=3;
(III)△AM3H3,此时点B落在⊙A上.
如图,OH3=m+2,AH3=OH3-OA=m-2,
过点B作BN⊥x轴于点N,则BN=M3H3=n,AN=m-4,
由相似关系可知,AH3=2M3H3,即m-2=2n
(1)
在Rt△ABN中,由勾股定理得:
22=(m-4)2+n2
(2)
由
(1)、
(2)式解得:
m1=,m2=2,
当m=2时,点M与点A横坐标相同,点H与点A重合,故舍去,
∴m=.
综上所述,存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似,m的取值为:
1、3或.
4.25.阅读:
我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”.例如,点M(1,3)的特征线有:
x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.
问题与探究:
如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线经过B、C两点,顶点D在正方形内部.
(1)直接写出点D(m,n)所有的特征线;
(2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式;
(3)点P是AB边上除点A外的任意一点,连接OP,将△OAP沿着OP折叠,点A落在点A′的位置,当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时,满足
(2)中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在OP上?
【分析】
(1)根据特征线直接求出点D的特征线;
(2)由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标,从而求出抛物线解析式;
(2)分平行于x轴和y轴两种情况,由折叠的性质计算即可.
【解答】解:
(1)∵点D(m,n),
∴点D(m,n)的特征线是x=m,y=n,y=x+n﹣m,y=﹣x+m+n;
(2)点D有一条特征线是y=x+1,
∴n﹣m=1,
∴n=m+1
∵抛物线解析式为,
∴y=(x﹣m)2+m+1,
∵四边形OABC是正方形,且D点为正方形的对称轴,D(m,n),
∴B(2m,2m),
∴(2m﹣m)2+n=2m,将n=m+1带入得到m=2,n=3;
∴D(2,3),
∴抛物线解析式为y=(x﹣2)2+3
(3)如图,当点A′在平行于y轴的D点的特征线时,
根据题意可得,D(2,3),
∴OA′=OA=4,OM=2,
∴∠A′OM=60°,
∴∠A′OP=∠AOP=30°,
∴MN==,
∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=.
乳头,当点A′在平行于x轴的D点的特征线时,
∵顶点落在OP上,
∴A′与D重合,
∴A′(2,3),
设P(4,c)(c>0),
由折叠有,PD=PA,
∴=c,
∴c=,
∴P(4,)
∴直线OP解析式为y=,
∴N(2,),
∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=,
即:
抛物线向下平移或距离,其顶点落在OP上.
【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了折叠的性质,正方形的性质,特征线的理解,解本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标.
27.(9分)如图①,P为△ABC内一点,连接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那么就称P为△ABC的自相似点.
⑴如图②,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ACB>∠A,CD是AB上的中线,过点B作BE⊥CD,垂足为E,试说明E是△ABC的自相似点.
⑵在△ABC中,∠A<∠B<∠C.
①如图③,利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹);
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数.
B
B
B
C
C
C
A
A
A
D
P
E
①
②
③
(第27题)
27.解⑴在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB上的中线,∴,∴CD=BD.
∴∠BCE=∠ABC.∵BE⊥CD,∴∠BEC=90°,∴∠BEC=∠ACB.∴△BCE∽△ABC.
∴E是△ABC的自相似点.
⑵①作图略.
作法如下:
(i)在∠ABC内,作∠CBD=∠A;
(ii)在∠ACB内,作∠BCE=∠ABC;BD交CE于点P.
则P为△