垂直于弦的直径渗透法制教育教案.doc
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赵福波
24.1.2垂直于弦的直径
一、教材分析
1、作为《圆》这章的第一个重要性质,它研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。
2、该性质是圆的轴对称性的演绎,也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据,同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据,所以它在教材中处于非常重要的作用。
二、教学目标
1、知识目标:
(1)充分认识圆的轴对称性。
(2)利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质,掌握垂径定理。
(3)运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标:
让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程,培养学生动
手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。
让每个学生动手、动口、动眼、动脑,培养学生直觉思维能力。
3、情感目标:
通过实验操作探索数学规律,激发学生的好奇心和求知欲,同时
培养学生勇于探索的精神。
4、法制教育目标:
让学生了解相关的文物保护知识和法律。
三、教学关键
圆的轴对称性的理解
四、教学重点
垂直于弦的直径的性质及其应用。
五、教学难点
1、垂径定理的证明。
2、垂径定理的题设与结论的区分。
六、教学辅助
多媒体、可折叠的圆形纸板。
七、教学方法
本节课采用的教学方法是“主体探究式”。
整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用,注重学生探究能力的培养,鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。
令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中,与教师共同探究新知识最后得出定理。
学生不再是知识的接受者,而是知识的发现者,是学习的主人。
八、教学过程:
教学环节
创设情境
回顾旧识
引入新课
揭示课题
师生互动
探求新知
概念辨析
运用新知
拓展升华
快速判定
归纳小结
分层作业
教学时间
3分钟
5分钟
9分钟
20分钟
4分钟
4分钟
教学环节
教师活动
学生活动
设计目的
情
景
创
设
情景创设(1分钟)
情景问题:
赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
让学生了解赵州桥的历史,了解文物的相关知识,渗透《文物保护法》(第三条古文化遗址、古墓葬、古建筑、石窟寺、石刻、壁画、近代现代重要史迹和代表性建筑等不可移动文物,根据它们的历史、艺术、科学价值,可以分别确定为全国重点文物保护单位,省级文物保护单位,市、县级文物保护单位。
……第七条一切机关、组织和个人都有依法保护文物的义务。
)
(ppt)
把一些实际问题转化为数学问题
思考:
若用直角三角形解决,那么E是否为AB中点?
从实际出发,充分发现问题的存在,再带着问题去思考它们之间的关系,有助于定理的得出。
回
顾
旧
识
回顾旧识(2分钟)
我们已经学习过对称的有关概念,下面复习两道问题
1)什么是轴对称图形?
2)我们学习过的轴对称图形有哪些?
(电脑上直观的动画演示,运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画)
学生观察一些图形:
如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫轴对称图形。
如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。
通过复习,强化学生本节课所需要的相关知识,为学生自主探索垂径定理做奠基。
引
入
新
课
引入新课(4分钟)
问:
(1)我们所学的圆是不是轴对称图形?
(2)如果是,它的对称轴是什么?
拿出一张圆形纸片,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?
由此你能得到什么结论?
:
(1)圆是轴对称图形。
(2)对称轴是过圆点的直线(或任何一条直径所在的直线)
(3)圆的对称轴有无穷多条
实验:
把圆形纸片沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次
观察:
两部分重合,发现得出圆的对称性的结论
培养学生的动手能力,观察能力,通过比较,运用旧知识探索新问题
揭
示
课
题
揭示课题(1分钟)
电脑上用几何画板上作图:
(1)做一圆
(2)在圆上任意作一条弦AB;
(3)过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。
(板书课题:
垂直于弦的直径)
在圆形纸片上作一条弦AB,过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E
师
生
互
动
师生互动(4分钟)
运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察,讨论
(1)图中圆可能会有哪些等量关系?
(2)弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质?
实验:
将圆沿直径CD对折
观察:
图形重合部分,思考图中的等量关系
猜想:
AE=EB、
弧AC=弧CB、
弧AD=弧DB
(电脑显示))垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧?
引导学生通过“实验--观察--猜想”,获得感性认识,猜测出垂直于弦的直径的性质
探
求
新
知
探求新知(5分钟)
提问:
这个结论是同学们通过演示观察猜想出来的,结论是否正确还要从理论上证明它,下面我们试着来证明它
已知:
CD是⊙O的直径,AB是弦,AB⊥CD
证明:
AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB
(<板书及电脑显示>垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
<进一步也可推知>垂径定理的逆定理:
平分弦的直径垂直于弦,并且垂直于弦所对的两条弧)
探索:
证明:
连结OA、OB,则OA=OB,又OE⊥AB
∴△OAE≌△OBE
则AE=BE
∴CD所在的直线垂直平分弦AB
当把⊙O沿着直径CD折叠时,A点和B点重合
所以E=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB
让学生自主探究,大胆求证猜想发展思维能力,归纳结果
概
念
辨
析
概念辨析(2分钟)
(电脑显示)练习1AE=EB吗?
(1)
(2)(3)
注意:
直径,垂直于弦,缺一不可!
图
(1)直径不垂直弦
图
(2)垂直弦的不是直径
图(3)AB为弦,CD为直径,AB⊥CD满足垂径定理
运用定理变式练习揭示定理本质属性,强调垂径定理两个条件
运
用
新
知
运用新知(18分钟)
练习1:
(5分钟)
一条排水管的截面如图所示。
已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16。
求截面圆心O到水面的距离。
在学生发表见解的情况下总结归纳:
(1)圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决。
(2)重要的辅助线:
过圆心做弦的垂线构造直角三角形,结合垂径定理与解直角三角形的有关知识解题。
总结口诀:
半径半弦弦心距,化为勾股最容易,另外加上弓形高,Rt三角形少不了
学生总结归纳解题思路,在练习本作,电脑显示
解:
:
作OC⊥AB于C,
由垂径定理得:
AC=BC=AB=×16=8
由勾股定理得:
答:
截面圆心O到水面的距离为6.
这是一道计算题,是垂径定理的简单应用,可调动学生积极性,让学生通过归纳探究,使知识点有机的结合在一起,使其更深入地掌握定理的内涵,培养他们思维的严谨性和深刻性,提高分析和归纳的能力。
练习2(5分钟)
(情景问题)赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
(练习本做、电脑显示)
解:
如图,设半径为R
在Rt⊿AOD中,由勾股定理,得
解得R≈27.9(m)
答:
赵州桥的主桥拱半径约为27.9m
练习上一结束后,返回情景问题,解决这道之前不能完成的题目,体会成功的乐趣,发展思维能力,富有成就感。
练习3:
(3分钟)
已知:
如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点。
求证:
AC=BD。
注意:
作辅助线
(学生识图、练习本做、电脑显示)
证明:
过O作OE⊥AB,垂足为E,则AE=BE,CE=DE。
AE-CE=BE-DE。
所以,AC=BD
这是证明线段相等的变式题,增强学生的识图能力,揭示解决问题的方法——过圆心向弦做垂线,利用垂径定理来解决一系列类似问题。
练习4(5分钟)
出示分层训练:
1.如图1,已知AB、CD是圆O的两条弦,OE、OF分别为AB、CD的弦心距,如果AB=CD,则可得出什么结论(至少写出两个)?
并证明。
2.已知如图2:
在⊙O中,AB、AC为互相垂直的两条相等的弦,OD⊥AB,OE⊥AC,D、E为垂足。
求证:
四边形ADOE为正方形。
3.如图3,不过圆心的直线L交⊙O于CD,AB是⊙O直径。
AE、BF分别垂直于L,垂足是E、F。
⑴求证:
CE=DF
⑵若AB与CD相交,⑴的结论还成立吗?
图1图2图3
全班同学分层完成,每组同学完成自己题目后可做高一层的题目
调整难度和梯度,让所有学生均有所收获,让学生充分认识到垂径定理是证明线段相等的依据。
拓展升华(3分钟)
如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧)结论与题设交换或交换一条,命题是真命题吗?
(1)过圆心
(2)垂直于弦(3)平分弦
(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
学生自主探证
通过问题,引导学生拓展思维,发现新目标
快
速
判
断
快速判断(1分钟)
(1)垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的弧………………………………………..()
(2)弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心………………………………..()
(3)圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分……………………………………...()
(4)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两
条弦………………………………………()
(5)圆内两条非直径的弦不能互相平分()
巩固拓展知识
归
纳
小
结
归纳小结(3分钟)
由学生小结,电脑显示
知识总结:
这节课我们主要学习了两个问题:
一是圆的轴对称性(学生回答),它是理解和证明定理的关键;二是垂径定理(学生回答),它是这节课的重点要求大家分清楚定理的条件和结论,并熟练掌握定理的简单应用,还推知它的里定理。
另外它的其他推论级应用我们下节课探讨。
讲评总结:
1学习垂径定理后,你认为应该注意哪些问题?
2应用垂径定理如何添辅助线?
垂径定理有哪些应用
3这节课的学习你有什么疑问?
4这节课的学习方式拟喜欢吗?
你有什么好的建议?
讲评回答
回顾这节课的内容,加深学生对知识的印象,反馈学生这节课收获节疑问,使教学效果得到提高
分
层
作
业
分层作业(1分钟)