垂直于弦的直径渗透法制教育教案.doc

垂直于弦的直径渗透法制教育教案.doc

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赵福波

24．1．2垂直于弦的直径

一、教材分析

1、作为《圆》这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。

2、该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的作用。

二、教学目标

1、知识目标：

（1）充分认识圆的轴对称性。

（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。

（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。

2、能力目标：

让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动

手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。

让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。

3、情感目标：

通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时

培养学生勇于探索的精神。

4、法制教育目标：

让学生了解相关的文物保护知识和法律。

三、教学关键

圆的轴对称性的理解

四、教学重点

垂直于弦的直径的性质及其应用。

五、教学难点

1、垂径定理的证明。

2、垂径定理的题设与结论的区分。

六、教学辅助

多媒体、可折叠的圆形纸板。

七、教学方法

本节课采用的教学方法是“主体探究式”。

整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。

令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。

学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。

八、教学过程：

教学环节

创设情境

回顾旧识

引入新课

揭示课题

师生互动

探求新知

概念辨析

运用新知

拓展升华

快速判定

归纳小结

分层作业

教学时间

3分钟

5分钟

9分钟

20分钟

4分钟

4分钟

教学环节

教师活动

学生活动

设计目的

情

景

创

设

情景创设（1分钟）

情景问题：

赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

让学生了解赵州桥的历史，了解文物的相关知识，渗透《文物保护法》（第三条古文化遗址、古墓葬、古建筑、石窟寺、石刻、壁画、近代现代重要史迹和代表性建筑等不可移动文物，根据它们的历史、艺术、科学价值，可以分别确定为全国重点文物保护单位，省级文物保护单位，市、县级文物保护单位。

……第七条一切机关、组织和个人都有依法保护文物的义务。

）

（ppt）

把一些实际问题转化为数学问题

思考：

若用直角三角形解决，那么E是否为AB中点？

从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出。

回

顾

旧

识

回顾旧识（2分钟）

我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题

1）什么是轴对称图形？

2）我们学习过的轴对称图形有哪些？

（电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画）

学生观察一些图形：

如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。

如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。

通过复习，强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基。

引

入

新

课

引入新课（4分钟）

问：

（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？

（2）如果是，它的对称轴是什么？

拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？

由此你能得到什么结论？

：

（1）圆是轴对称图形。

（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）

（3）圆的对称轴有无穷多条

实验：

把圆形纸片沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次

观察：

两部分重合，发现得出圆的对称性的结论

培养学生的动手能力，观察能力，通过比较，运用旧知识探索新问题

揭

示

课

题

揭示课题（1分钟）

电脑上用几何画板上作图：

（1）做一圆

（2）在圆上任意作一条弦AB；

（3）过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。

（板书课题：

垂直于弦的直径）

在圆形纸片上作一条弦AB，过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E

师

生

互

动

师生互动（4分钟）

运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，讨论

（1）图中圆可能会有哪些等量关系？

（2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质？

实验：

将圆沿直径CD对折

观察：

图形重合部分，思考图中的等量关系

猜想：

AE=EB、

弧AC=弧CB、

弧AD=弧DB

（电脑显示））垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧？

引导学生通过“实验--观察--猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质

探

求

新

知

探求新知（5分钟）

提问：

这个结论是同学们通过演示观察猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们试着来证明它

已知：

CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD

证明：

AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB

（<板书及电脑显示>垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

<进一步也可推知>垂径定理的逆定理：

平分弦的直径垂直于弦，并且垂直于弦所对的两条弧）

探索：

证明：

连结OA、OB，则OA＝OB，又OE⊥AB

∴△OAE≌△OBE

则AE=BE

∴CD所在的直线垂直平分弦AB

当把⊙O沿着直径CD折叠时，A点和B点重合

所以E=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB

让学生自主探究，大胆求证猜想发展思维能力，归纳结果

概

念

辨

析

概念辨析（2分钟）

（电脑显示）练习1AE=EB吗？

（1）

（2）（3）

注意：

直径，垂直于弦，缺一不可！

图

（1）直径不垂直弦

图

（2）垂直弦的不是直径

图（3）AB为弦，CD为直径，AB⊥CD满足垂径定理

运用定理变式练习揭示定理本质属性，强调垂径定理两个条件

运

用

新

知

运用新知（18分钟）

练习1：

（5分钟）

一条排水管的截面如图所示。

已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。

求截面圆心O到水面的距离。

在学生发表见解的情况下总结归纳：

（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决。

（2）重要的辅助线：

过圆心做弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理与解直角三角形的有关知识解题。

总结口诀：

半径半弦弦心距，化为勾股最容易，另外加上弓形高，Ｒｔ三角形少不了

学生总结归纳解题思路，在练习本作，电脑显示

解：

:

作OC⊥AB于C,

由垂径定理得:

AC=BC=AB=×16=8

由勾股定理得:

答:

截面圆心O到水面的距离为6.

这是一道计算题，是垂径定理的简单应用，可调动学生积极性，让学生通过归纳探究，使知识点有机的结合在一起，使其更深入地掌握定理的内涵，培养他们思维的严谨性和深刻性，提高分析和归纳的能力。

练习2（5分钟）

（情景问题）赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

（练习本做、电脑显示）

解：

如图，设半径为R

在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得

解得R≈27.9（m）

答：

赵州桥的主桥拱半径约为27.9m

练习上一结束后，返回情景问题，解决这道之前不能完成的题目，体会成功的乐趣，发展思维能力，富有成就感。

练习3：

（3分钟）

已知：

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。

求证：

AC＝BD。

注意：

作辅助线

（学生识图、练习本做、电脑显示）

证明：

过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。

AE－CE＝BE－DE。

所以，AC＝BD

这是证明线段相等的变式题，增强学生的识图能力，揭示解决问题的方法——过圆心向弦做垂线，利用垂径定理来解决一系列类似问题。

练习4（5分钟）

出示分层训练：

１．如图1，已知AB、CD是圆O的两条弦，OE、OF分别为AB、CD的弦心距，如果AB=CD，则可得出什么结论（至少写出两个）？

并证明。

２．已知如图2：

在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足。

求证：

四边形ADOE为正方形。

３．如图3，不过圆心的直线L交⊙O于CD，AB是⊙O直径。

AE、BF分别垂直于L，垂足是E、F。

⑴求证：

CE=DF

⑵若AB与CD相交，⑴的结论还成立吗？

图1图2图3

全班同学分层完成，每组同学完成自己题目后可做高一层的题目

调整难度和梯度，让所有学生均有所收获，让学生充分认识到垂径定理是证明线段相等的依据。

拓展升华（3分钟）

如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换或交换一条，命题是真命题吗？

（1）过圆心

（2）垂直于弦（3）平分弦

（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧

上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论

学生自主探证

通过问题，引导学生拓展思维，发现新目标

快

速

判

断

快速判断（1分钟）

（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧………………………………………..（）

（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心………………………………..（）

（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分……………………………………...（）

（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两

条弦………………………………………（）

（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）

巩固拓展知识

归

纳

小

结

归纳小结（3分钟）

由学生小结，电脑显示

知识总结：

这节课我们主要学习了两个问题：

一是圆的轴对称性（学生回答），它是理解和证明定理的关键；二是垂径定理（学生回答），它是这节课的重点要求大家分清楚定理的条件和结论，并熟练掌握定理的简单应用，还推知它的里定理。

另外它的其他推论级应用我们下节课探讨。

讲评总结：

1学习垂径定理后，你认为应该注意哪些问题？

2应用垂径定理如何添辅助线？

垂径定理有哪些应用

3这节课的学习你有什么疑问？

4这节课的学习方式拟喜欢吗？

你有什么好的建议？

讲评回答

回顾这节课的内容，加深学生对知识的印象，反馈学生这节课收获节疑问，使教学效果得到提高

分

层

作

业

分层作业（1分钟）