反比例函数与一次函数与反比例函数综合经典例题解析.doc
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反比例函数与一次函数综合经典例题解析
在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。
现以以下典型例题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。
一.探求同一坐标系下的图象
例1.已知函数与在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
分析：
由图知，一次函数中，y随x的增大而增大，所以；反比例函数在第二、四象限，所以。
观察各选项知，应选B。
评注：
本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。
例2.在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（）
A. B. C. D.
图2
分析：
本题可采用排除法。
由选项A、B的一次函数图象知，即，则一次函数图象与y轴交点应在y轴负半轴，而选项A、B都不符合要求，故都排除；由选项D的一次图象知，即，则反比例函数图象应在第一、三象限，而选项D不符合要求，故也排除；所以本题应选C。
评注：
本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。
二.探求函数解析式
例3.如图3，直线与双曲线只有一个交点A（1，2），且与x轴，y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线与双曲线的解析式。
解析：
因为双曲线过点A（1，2），
所以
得双曲线的解析式为。
因为AD垂直平分OB，A点的坐标为（1，2）。
所以B点的坐标为（2，0）。
因为过点A（1，2）和B（2，0），
所以
解得
所以直线的解析式为
评注：
解决本题的关键是确定点B的坐标，由AD垂直OB知，点D和点A的横坐标应相同，所以点D的坐标为（1，0），又AD平分OB知，，所以点B坐标为（2，0），进而求出一次函数解析式。
三.探求三角形面积
例4.如图4，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则的面积为（）
A.8 B.6 C.4 D.2
解析：
把代入，得
整理得
解得
把分别代入
，
得
所以点A的坐标为
点B的坐标为
由题意知，点C的横坐标与点A的横坐标相同，点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，所以点C的坐标为（）。
因为，
所以的面积为
故应选A。
例5.如图5，已知点A是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么的面积为（）
A.2 B. C. D.
析解：
把代入，得，
整理得，解得
得分别代入
得
又点A在第一象限内，所以点A的坐标为
在中
由勾股定理，得所以OB=2。
所以的面积为
，
故应选（C）
评注：
例4和例5中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交点坐标的常用方法，蕴含着转化思想。
四.探求点的坐标
例6.如图6，直线分别交x轴、y轴于点A，C，点P是直线AC与双曲线在第一象限内的交点，轴，垂足为点B，的面积为4。
（1）求点P的坐标；
（2）略。
析解：
在中，令，则；令，则。
所以点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，1）。
因为点P的直线上，
不妨设点P的坐标为
所以。
又因为
所以
整理得
即
解得
因为点P在第一象限，所以。
故点P的坐标为（2，2）。
评注：
本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想。
五、综合运用
例6已知关于x的一次函数y＝mx＋3n和反比例函数的图象都经过点（1，－2）．求：
（1）一次函数和反比例函数的解析式；
（2）两个函数图象的另一个交点的坐标．
解析：
（1）∵两函数图象都过点（1，－2），
∴一次函数的解析式为y＝4x－6，
（2）根据题意，列出方程组
评注：
（1，－2），则该点坐标满足两解析式；要求两图象交点，则应由两图象的解析式组成方程组求解．
例
已知一次函数
＝－
＋
和反比例函数
＝
≠
．
7
y
x
6
y
（k
0）
k
x
（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点？
（2）设
（1）中的两个公共点为A，B，试判断∠AOB是锐角还是钝角？
消去y，得x2－6x＋k＝0．
∵Δ＝36－4k＞0，∴k＜9．
当k＜9且k≠0时，方程x2－6x＋k＝0有两个不相等的非零实数解．
∴k＜9且k≠0时，两函数图象有两个公共点．
（2）∵y＝－x＋6的图象过第一，二，四象限，
∴0＜k＜9时，双曲线两支分别在第一、三象限．由此知两公共点
A，B在第一象限，此时∠AOB是锐角．
k＜0时，双曲线两支分别在第二，四象限，两公共点A，B分别在第二、四象限，此时∠AOB是钝角．
例
已知
，
是直线
与双曲线
＝
的交点．
8
A（m
2）
l
y
3
x
（1）求m的值；
（2）若直线l分别与x轴、y轴相交于E，F两点，并且Rt△OEF（O是坐标原点）的外心为点A，试确定直线l的解析式；
l绕点A旋转后所得的直线记为l′，若l′与y轴的正半轴相交于点C，
若存在，请求出点P的坐标？
若不存在，请说明理由．
解析：
∵直线
与双曲线
＝
的一个交点为
，
，
y
A（m
2）
l
3
x
（2）作AM⊥x轴于M．
∵A点是Rt△OEF的外心，
∴EA＝FA．
由AM∥y轴有OM＝ME．
∴OF＝2OM．
∵MA＝2，∴OF＝4．
∴F点的坐标为（0，4）．
设l：
y＝kx＋b，则有
∴C点坐标为（0，1）．
设B点坐标为（x1，y1，），则
x1y1＝3．
设P点坐标为（0，y），满足S△PCA＝S△BOK．
①当点P在C点上方时，y＞1，有
∴y＝3．
②当点P在C点下方时，y＜1，有
∴y＝－2．
综上知，在y轴存在点P（0，3）与（0，－2），使得S△PAC＝S△BOK．
评注：
直线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点，这是惟一能沟通它们的要素，应用交点时应注意：
（1）交点既在直线上也在双曲线上，交点坐标既满足直线的解析式也满足双曲线的解析式．
（2）要求交点坐标时，应将两种图象对应的解析式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标．
（3）判断两种图象有无交点时，可用判别式确定，也可以画出草图直观地确定．
例
如图
－
，已知
，
是双曲线
＝
在第一象限内的分支
9
13
32
C
D
y
m
x
上的两点，直线CD分别交x轴，y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），连结OC，OD．
析式．
证明：
（1）如图13－33过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则CG＝y1，OG＝x1．
∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG＋OG，
解
（2）：
在Rt△GCO中，∠GCO＝∠BOC＝α，
解之，得x1＝±1．
∵负值不合题意，∴x1＝1，y1＝3．
∴点C的坐标为（1，3），
过点D作DH⊥x轴，垂足为H．则DH＝y2，OH＝x2．
解之得y2＝±1．
∵负值不合题意，∴y2＝1，x2＝3．
∴点D的坐标为（3，1）．
设直线CD的解析式为y＝kx＋b．
∴直线CD的解析式为y＝－x＋4．
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