反比例函数与一次函数与反比例函数综合经典例题解析.doc

1、反比例函数与一次函数综合经典例题解析 在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以以下典型例题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。一. 探求同一坐标系下的图象例1. 已知函数与在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 分析：由图知，一次函数中，y随x的增大而增大，所以；反比例函数 在第二、四象限，所以。观察各选项知，应选B。评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。例2.在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）A. B. C. D.

2、图2分析：本题可采用排除法。由选项A、B的一次函数图象知，即，则一次函数图象与y轴交点应在y轴负半轴，而选项A、B都不符合要求，故都排除；由选项D的一次图象知，即，则反比例函数图象应在第一、三象限，而选项D不符合要求，故也排除；所以本题应选C。评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。二. 探求函数解析式例3.如图3，直线与双曲线只有一个交点A（1，2），且与x轴，y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线与双曲线的解析式。解析：因为双曲线过点A（1，2），所以得双曲线的解析式为。因为AD垂直平分OB，A点的坐标为（1，2

3、）。所以B点的坐标为（2，0）。因为过点A（1，2）和B（2，0），所以解得所以直线的解析式为评注：解决本题的关键是确定点B的坐标，由AD垂直OB知，点D和点A的横坐标应相同，所以点D的坐标为（1，0），又AD平分OB知，所以点B坐标为（2，0），进而求出一次函数解析式。三. 探求三角形面积例4.如图4，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则的面积为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2解析：把代入，得整理得解得把分别代入，得所以点A的坐标为点B的坐标为由题意知，点C的横坐标与点A的横坐标相同，点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，所以点C的坐

4、标为（）。因为，所以的面积为故应选A。例5.如图5，已知点A是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么的面积为（ ）A. 2B. C. D. 析解：把代入，得，整理得，解得得分别代入得又点A在第一象限内，所以点A的坐标为在中由勾股定理，得所以OB=2。所以的面积为，故应选（C）评注：例4和例5中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交点坐标的常用方法，蕴含着转化思想。四. 探求点的坐标例6.如图6，直线分别交x轴、y轴于点A，C，点P是直线AC与双曲线 在第一象限内的交点，轴，垂足为点B，的面积为4。（1）求点P的坐标；（2

5、）略。析解：在中，令，则；令，则。所以点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，1）。因为点P的直线上，不妨设点P的坐标为所以。又因为所以整理得即解得因为点P在第一象限，所以。故点P的坐标为（2，2）。评注：本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想。五、综合运用例6 已知关于x的一次函数ymx3n和反比例函数的图象都经过点(1，2)求：(1)一次函数和反比例函数的解析式；(2)两个函数图象的另一个交点的坐标解析：(1)两函数图象都过点(1，2)，一次函数的解析式为y4x6，(2)根据题意，列出方程组评注：(1，2)，则该点坐标满足两解析式；要求两图象交点，则应由两图象的解析式组成方程

6、组求解例已知一次函数和反比例函数7 yx6y(k0)kx(1)k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点？(2)设(1)中的两个公共点为A，B，试判断AOB是锐角还是钝角？消去y，得x26xk0364k0，k9当k9且k0时，方程x26xk0有两个不相等的非零实数解k9且k0时，两函数图象有两个公共点(2)yx6的图象过第一，二，四象限，0k9时，双曲线两支分别在第一、三象限由此知两公共点A，B在第一象限，此时AOB是锐角k0时，双曲线两支分别在第二，四象限，两公共点A，B分别在第二、四象限，此时AOB是钝角例已知，是直线与双曲线的交点8 A(m2)ly3x(1)求m的

7、值；(2)若直线l分别与x轴、y轴相交于E，F两点，并且RtOEF(O是坐标原点)的外心为点A，试确定直线l的解析式；l绕点A旋转后所得的直线记为l，若l与y轴的正半轴相交于点C，若存在，请求出点P的坐标？若不存在，请说明理由解析：直线与双曲线的一个交点为，yA(m2)l3x(2)作AMx轴于MA点是RtOEF的外心，EAFA由AMy轴有OMMEOF2OMMA2，OF4F点的坐标为(0，4)设l：ykxb，则有C点坐标为(0，1)设B点坐标为(x1，y1，)，则x1y13设P点坐标为(0，y)，满足SPCASBOK当点P在C点上方时，y1，有y3当点P在C点下方时，y1，有y2综上知，在y轴存

8、在点P(0，3)与(0，2)，使得SPACSBOK评注：直线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点，这是惟一能沟通它们的要素，应用交点时应注意：(1)交点既在直线上也在双曲线上，交点坐标既满足直线的解析式也满足双曲线的解析式(2)要求交点坐标时，应将两种图象对应的解析式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标(3)判断两种图象有无交点时，可用判别式确定，也可以画出草图直观地确定例如图，已知，是双曲线在第一象限内的分支91332CDymx上的两点，直线CD分别交x轴，y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，连结OC，OD析式证明：(1)如图1333过点C作CGx轴，垂足为G，则CGy1，OGx1在RtOCG中，CGOCCGOG，解(2)：在RtGCO中，GCOBOC，解之，得x11负值不合题意，x11，y13点C的坐标为(1，3)，过点D作DHx轴，垂足为H则DHy2，OHx2解之得y21负值不合题意，y21，x23点D的坐标为(3，1)设直线CD的解析式为ykxb直线CD的解析式为yx4