北师大版九年级数学一元二次方程的解法.doc
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课题
重点
难点
重点：
认识一元二次方程
会利用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程
难点：
解含有字母系数的方程，灵活应用合适的方法解一元二次方程
教学步骤及教学内容
【一元二次方程的认识】
1.一元二次方程的概念：
只含有一个未知数x，并且可以化为ax2＋bx＋c=0（a、b、c为常数，a≠0）的形式的整式方程是一元二次方程
【例】试判断：
关于x的方程（2a—4）x2－2bx＋a=0，
（1）何时为一元二次方程？
（2）何时为一元一次方程？
【练习】为何值时，关于的方程是一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：
把ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）称为一元二次方程的一般形式，其中ax２,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数．
【例】把下列方程变为一般形式
（1）（8-2x）（5-2x）=18
（2）（x+6）2+72=102
【一元二次方程的解法】
一、开平方法：
对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.
形如的方程的解法：
当时，;当时，;当时，方程无实数根。
（1）
（2）（3）
（4）（5）
二、配方法：
通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：
①移项：
把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化1”：
根据等式的性质把二次项的系数化为1；
③配方：
将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；
④求解：
若时，方程的解为，若时，方程无实数解。
【例】
【练习】
1．用适当的数填空：
①、x2+6x+ =（x+ ）2；
②、x2－5x+ =（x－ ）2；
③、x2+x+ =（x+ ）2；
④、x2－9x+ =（x－ ）2
2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．
3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．
4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，所以方程的根为_________．
5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（）
A．3B．-3C．±3D．以上都不对
6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（）
A．（a-2）2+1B．（a+2）2-1C．（a+2）2+1D．（a-2）2-1
7．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（）
A．总不小于2B．总不小于7
C．可为任何实数D．可能为负数
8.解方程
（1）
（2）（3）
9.
（1）求2x2-7x+2的最小值；
（2）求-3x2+5x+1的最大值。
三、公式法：
一元二次方程的根
当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；
当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为；
当时，方程无实数根.
公式法的一般步骤：
①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
（因为这样可以减少计算量。
另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。
）
【例】
【练习】
（1）；
（2）（3）；（4）
四、因式分解法：
①因式分解法解一元二次方程的依据：
如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：
若，则；
②因式分解法的一般步骤：
将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。
【例】
（1）
（2）
（3）（4）
【练习】
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）
五、选用适当方法解一元二次方程
①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。
②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。
【例】
（1）
（2）
【练习】
（1）
（2）
（3）
六、解含有字母系数的方程
（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；
（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。
（1）
（2）
（3）（）
（4）
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