利用全等三角形证明线段的和差关系.doc

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利用全等三角形证明线段的和差关系

证明形如a=b+c的线段等式时，通常有如下三种方法：

1、直接证法（线段转换）：

三角形或等角对等边进行证明.若题中出现或可证出两三角形全等,则通过全等把结论中的三条线段转化到同一条直线上，这样证明线段的和差问题就转化为求证线段相等的问题.

例1.如图,在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,DE过点A,BD⊥DE,CE⊥DE,求证:

DE=BD+CE

例2.在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且B、C分别在AE的异侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E,

求证:

BD=DE+CE

2、截长补短法

一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这三条线段不在同一直线上时，一般方法是截长法或补短法。

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法,常用来证明线段之间的和差关系.

（一）截长法:

在长边上截取一条与某一短边相同的线段,证剩下的线段与另一线段相等.

（二）补短法

（1）将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合在一起.

例3、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，

求证：

例4.如图，在梯形ABCD中，如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC

例5、如图，P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，AQ平分∠PAD.

求证：

AP=BP+DQ.

3、借助面积：

利用几何图形的总面积=各部分面积之和及三角形的面积公式求解

例6.如图,在△ABC中,已知AB=AC,P为BC上任一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F.CD为AB边上的高,D是垂足.求证:

PE+PF=CD.

训练题：

1.已知△ABC和△BED都是等边三角形,且A、E、D在一条直线上.求证:

AD=BD+CD.

2、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：

CD⊥AC

3.已知△ABC为等边三角形，D为BC的延长线上一点，△ADE也是等边三角形.求证：

CE=AC+DC.

4.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线，AB=AC+CD.求∠B：

∠C的值.

5.如图，已知在△ABC中，∠A=108°，AB=AC，∠B的平分线交AC于D，求证：

AC+CD=BC

6.已知:

如图，△BDE是等边三角形，A在BE的延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC,求证:

DE+DC=AE.

7.已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是AC的中点,AE⊥BD于点E,AE的延长线交BC于点F,连结DF,求证：

BD=AF+DF.

如图，已知：

△ABC中，AD是∠A的平分线，且AB=AD，CM⊥AD，交AD的

延长线于点M.求证：

AM=（AB+AC）/2

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