初中数学经典几何难题及答案.doc
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经典难题
（一）
1、已知：
如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：
CD＝GF．（初二）
A
F
G
C
E
B
O
D
A
P
C
D
B
第1题图
第2题图
2、已知：
如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：
△PBC是正三角形．（初二）
3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D 2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：
四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）
D2
C2
B2
A2
D1
C1
B1
C
B
D
A
A1
A
N
F
E
C
D
M
B
第3题图
第4题图
4、已知：
如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：
∠DEN＝∠F．
经典难题
（二）
1、已知：
△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．
（1）求证：
AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝600，求证：
AH＝AO．（初二）
·
A
D
H
E
M
C
B
O
·
G
A
O
D
B
E
C
Q
P
N
M
第1题图
第2题图
2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：
AP＝AQ．（初二）
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
求证：
AP＝AQ．（初二）
·
O
Q
P
B
D
E
C
N
M
·
A
P
C
G
F
B
Q
A
D
E
第3题图
第4题图
4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．
求证：
点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）
经典难题（三）
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：
CE＝CF．（初二）
A
F
D
E
C
B
E
D
A
C
B
F
第1题图
第2题图
2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：
AE＝AF．（初二）
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：
PA＝PF．（初二）
D
F
E
P
C
B
A
O
D
B
F
A
E
C
P
第3题图
第4题图
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．
求证：
AB＝DC，BC＝AD．（初三）
经典难题（四）
1、已知：
△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求：
∠APB的度数．（初二）
A
P
C
B
P
A
D
C
B
第1题图
第2题图
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：
∠PAB＝∠PCB．（初二）
3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：
AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
C
B
D
A
F
P
D
E
C
B
A
第3题图
第4题图
4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且
AE＝CF．求证：
∠DPA＝∠DPC．（初二）
经典难题（五）
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：
≤L＜2．
A
P
C
B
A
C
B
P
D
第1题图
第2题图
2、P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
E
D
C
B
A
3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
A
C
B
P
D
第3题图
第4题图
4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，
∠EBA＝200，求∠BED的度数．
经典难题
（一）
1、已知：
如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：
CD＝GF。
（初二）
证一：
连接OE。
∵EG⊥CO，EF⊥AB，
∴O、G、E、F四点共圆，且OE为直径。
∴GF=OE·sin∠GOF。
又△OCD中，CD=OC·sin∠COD。
∵∠GOF+∠COD=180°，
OC=OE为⊙O半径，
∴CD＝GF。
证二：
连接OE，过G作GH⊥AB于H。
∵EG⊥CO，EF⊥AB，
∴O、G、E、F四点共圆，且OE为直径。
∴∠GEO=∠HFG。
又∠EGO=∠FHG=Rt∠，
∴△GEO∽△HFG。
∴GF:
OE=GH:
OG。
又GH∥CD，∴GH:
CD=OG:
OC，
即GH:
OG=CD:
OC，∴GF:
OE=CD:
OC，
而OE=OC，∴CD＝GF。
A
F
G
C
E
B
O
D
H
H
A
F
G
C
E
B
O
D
2、已知：
如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：
△PBC是正三角形．（初二）
A
P
C
D
B
E
证明：
3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D 2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：
四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）
D2
C2
B2
A2
D1
C1
B1
C
B
D
A
A1
4、已知：
如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：
∠DEN＝∠F．
A
N
F
E
C
D
M
B
经典难题
（二）
1、已知：
△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．
（1）求证：
AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝600，求证：
AH＝AO．（初二）
·
A
D
H
E
M
C
B
O
2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：
AP＝AQ．（初二）
·
G
A
O
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B
E
C
Q
P
N
M
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
求证：
AP＝AQ．（初二）
·
O
Q
P
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E
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A
4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．
求证：
点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）
P
C
G
F
B
Q
A
D
E
经典难题（三）
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：
CE＝CF．（初二）
A
F
D
E
C
B
2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：
AE＝AF．（初二）
E
D
A
C
B
F
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
D
求证：
PA＝PF．（初二）
F
E
P
C
B
A
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．
求证：
AB＝DC，BC＝AD．（初三）
O
D
B
F
A
E
C
P
经典难题（四）
1、已知：
△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求：
∠APB的度数．（初二）
A
P
C
B
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：
∠PAB＝∠PCB．（初二）
P
A
D
C
B
3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：
AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
C
B
D
A
4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且
AE＝CF．求证：
∠DPA＝∠DPC．（初二）
F
P
D
E
C
B
A
经典难题（五）
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：
≤L＜2．
A
P
C
B
2、已知：
P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
A
C
B
P
D
3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
A
C
B
P
D
4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，
∠EBA＝200，求∠BED的度数．
E
D
C
B
A
经典难题
（一）
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,
即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得证。
2.如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150
所以∠DCP=300，从而得出△PBC是正三角形
3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，
连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，
由A2E=A1B1=B1C1=FB2，EB2=AB=BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和
∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，
可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，
又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,
从而可得∠A2B2C2=900，
同理可得其他边垂直且相等，
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
经典难题
（二）
1.
（1）延长AD到F连BF，做OG⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD，
可得BH=BF,从而可得HD=DF，
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2（GH+HD）=2OM
（2）连接OB，OC,既得∠BOC=1200，
从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF
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