初三数学升中考最后冲刺：证明题训练一(含答案)[1].doc

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证明题训练一

1.（2008贵州省贵阳市）如图，在中，分别为边的中点，连接．

（1）求证：

．（5分）

（2）若，则四边形是什么特殊四边形？

请证明你的结论．（5分）

A

B

C

D

E

F

2.（2008湖北省咸宁市）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）求证：

EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

并证明你的结论．

3.（2008青海省）如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．

（1）求证：

是的中点；

（2）如果，试猜测四边形的形状，并证明你的结论．

B

A

F

C

E

D

4.（2008山东省聊城市）如图，矩形中，是与的交点，过点的直线与的延长线分别交于．

（1）求证：

；

（2）当与满足什么关系时，以为顶点的四边形是菱形？

证明你的结F

D

O

C

B

E

A

论．

5.（2008山东省青岛市）已知：

如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F．

（1）求证：

△BCG≌△DCE；

（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？

并说明理由．

A

D

B

E

F

C

G

E′′′

6.（2008上海市）如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．

（1）求证：

四边形是菱形；

（2）若，求证：

四边形是正方形．

E

C

D

B

A

O

_______________________________________________________________________________________________________________________________

7.（2007山东省日照市）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，

过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：

AD⊥CF；

（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．

8.（2007山东省东营市）已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：

四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？

并给出证明．

A

B

C

D

M

N

E

9.（2008重庆市）已知：

如图，在梯形中，，，平分，，的延长线交于点．

求证：

（1）；

（2）．

10.（2009四川省乐山市）如图，在正方形中，分别是边上的点，连结并延长交的延长线于点

（1）求证：

；

（2）若正方形的边长为4，求的长．

Ac

Ec

Dc

Fc

Bc

Cc

Gc

证明题训练一答案

第1题答案.

（1）在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．

∵E，F分别为AB，CD的中点

∴AE=CF 2分

（图8）

A

B

C

D

E

F

在和中，

． 5分

（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形． 1分

证明：

，

是，且是斜边（或） 2分

是的中点，

． 3分

由题意可知且，

四边形是平行四边形，

四边形是菱形． 5分

第2题答案.

解

（1）证明：

∵CE平分，　　∴，

又∵MN∥BC，　∴，　∴，　　　　　

∴．　 2分

同理，． 3分

∴． 4分

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形． 5分

∵，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形． 6分

又∵，．∴，即． 7分

∴四边形AECF是矩形． 8分

第3题答案.

（1）证明：

，

． （1分）

是的中点，

．

又，

． （2分）

． （3分）

，

．

即是的中点． （4分）

（2）解：

四边形是矩形， （5分）

证明：

，，

四边形是平行四边形． （6分）

，是的中点，

．

即． （7分）

四边形是矩形． （8分）

第4题答案.

F

D

O

C

B

E

A

（1）证明：

四边形是矩形，

（矩形的对角线互相平分），

（矩形的对边平行）．

，．

（A．A．S）． 4分

（2）当时，四边形是菱形． 5分

证明：

四边形是矩形，

（矩形的对角线互相平分）．

F

D

O

C

B

E

A

又由

（1）得，

，

四边形是平行四边形（对角线互相平分的

四边形是平行四边形） 6分

又，

四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四

边形是菱形）． 8分

（注：

小括号内的理由不写不扣分）．

第5题答案.

证明：

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠BCD=90°．

∵∠BCD+∠DCE=180°，

∴∠BCD=∠DCE=90°．

又∵CG=CE，

∴△BCG≌△DCE．　………………………4′

（2）∵△DCE绕D顺时针旋转得到△DAE′，

∴CE=AE′．

∵CE=CG，

∴CG=AE′．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BE′∥DG，AB=CD．

∴AB－AE′=CD－CG，

即BE′=DG．

∴四边形DE′BG是平行四边形．……………………8′

第6题答案.

证明：

（1）四边形是平行四边形，． （2分）

又是等边三角形，，即． （2分）

平行四边形是菱形； （2分）

（2）是等边三角形，． （1分）

，． （1分）

，．． （1分）

四边形是菱形，． （2分）

四边形是正方形． （1分）

第7题答案.

（1）证明：

在等腰直角三角形ABC中，

∵∠ACB=90o，∴∠CBA=∠CAB=45°．

又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠BDE=45°．

又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°，

∴∠BFD=45°=∠BDE，∴BF=DB．…………2分

又∵D为BC的中点，∴CD=DB，即BF=CD．

在Rt△CBF和Rt△ACD中，

∴Rt△CBF≌Rt△ACD，

∴∠BCF=∠CAD．……………………………………………………………4分

又∵∠BCF+∠GCA=90°，

∴∠CAD+∠GCA=90°，即AD⊥CF；……………………………………………6分

（2）△ACF是等腰三角形．

理由：

由

（1）知：

CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，

∴BE垂直平分DF，即AF=AD，…………………………………………………8分

∴CF=AF，

∴△ACF是等腰三角形．………………………………………………………10分

第8题答案.

（1）证明：

在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC．

∴∠BAD＝∠DAC． 2分

∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

∴．

∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝180°＝90°． 4分

又∵AD⊥BC，CE⊥AN，

∴＝90°，

∴四边形ADCE为矩形． 5分

（2）说明：

①给出正确条件得1分，证明正确得3分．

②答案只要正确均应给分．

例如，当AD＝时，四边形ADCE是正方形． 6分

证明：

∵AB＝AC，AD⊥BC于D．

∴DC＝． 7分

又AD＝，

∴DC＝AD． 8分

由

（1）四边形ADCE为矩形，

∴矩形ADCE是正方形． 9分

第9题答案.

证明：

（1）平分，． （1分）

在和中，

（3分）

． （4分）

（2）连结． （5分）

，

，

． （6分）

，．

． （7分）

，．

，．

． （8分）

又是公共边，． （9分）

． （10分）

第10题答案.

（1）证明：

为正方形，

又

（2）解：

为正方形，

又正方形的边长为4．