D
A
C
B
16.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:
AC-AB=2BE
∠BAC=180-(∠ABC+∠C=180-4∠C
∠1=∠BAC/2=90-2∠C
∠ABE=90-∠1=2∠C
延长BE交AC于F
因为,∠1=∠2,BE⊥AE
所以,△ABF是等腰三角形
AB=AF,BF=2BE
∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C
BF=CF
AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE
17.已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求F
A
E
D
C
B
DC
作AG∥BD交DE延长线于G
AGE全等BDE
AG=BD=5
AGF∽CDF
AF=AG=5
所以DC=CF=2
18.(5分)如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:
AD⊥BC.
延长AD至H交BC于H;
BD=DC;
所以:
∠DBC=∠角DCB;
∠1=∠2;
∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;
∠ABC=∠ACB;
所以:
AB=AC;
三角形ABD全等于三角形ACD;
∠BAD=∠CAD;
AD是等腰三角形的顶角平分线
所以:
AD垂直BC
19.(5分)如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.
求证:
∠OAB=∠OBA
因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM,且∠MOA=∠MOB
所以MA=MB
所以∠MAB=∠MBA
因为∠OAM=∠OBM=90度
所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA
所以∠OAB=∠OBA
20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:
AD+BC=AB.
证明:
做BE的延长线,与AP相交于F点,
∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°,
又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形
在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中,
∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
21.(6分)如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:
∠C=2∠B
证明:
在AB上找点E,使AE=AC
∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD
∴△ADE≌△ADC。
DE=CD,∠AED=∠C
∵AB=AC+CD,∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE
∠B=∠EDB
∠C=∠B+∠EDB=2∠B
22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
分析:
通过证明两个直角三角形全等,即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形.再根据平行四边形的性质得出结论.
解答:
解:
(1)连接BE,DF.
∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,
∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,
∵AF=CE,AB=CD,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA,
∴DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴MB=MD,ME=MF;
(2)连接BE,DF.
∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,
∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,
∵AF=CE,AB=CD,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA,
∴DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴MB=MD,ME=MF.
23.(7分)已知:
如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,
(1)求证:
△AED≌△EBC.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
(1)DC∥AE,且DC=AE,所以四边形AECD是平行四边形。
于是知AD=EC,且∠EAD=∠BEC。
由AE=BE,所以△AED≌△EBC。
(2)△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。
24.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
求证:
BD=2CE.
证明:
延长BA、CE,两线相交于点F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE
25、(10分)如图:
DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。
求证:
△AED≌△BFC。
26、(10分)如图:
AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。
求证:
AM是△ABC的中线。
证明:
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
27、(10分)如图:
在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。
求证:
BD⊥AC。
三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等,它们全等,所以角ADB和角CDB相等,它们的和是180度,所以都是90度,BD垂直AC
28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。
求证:
BF=CF
证明:
在△ABD与△ACD中AB=AC
BD=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
BD=DC
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC
29、(12分)如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
求证:
AF=DE。
因为AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
所以三角形ABE=三角形CDF
因为角DCB=角ABF
AB=DCBF=CE
三角形ABF=三角形CDE
所以AF=DE
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.
证:
∵AB平行CD(已知)
∴∠B=∠C(两