全等三角形单元复习与巩固1.doc

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全等三角形单元复习与巩固

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

l了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；

l探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；

l掌握尺规作图作角平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质和判定，并会利用角的平分线的性质和判定进行证明；

l能用三角形的全等和角平分线性质解决实际问题。

重点难点：

l重点：

理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；三角形全等的性质和条件以及角平分线的性质。

l难点：

掌握用综合法证明的格式；选用合适的条件证明两个三角形全等。

学习策略：

l通过观察、拼图以及三角形的平移、旋转和翻折等活动，来感知两个三角形全等，以及全等三角形的性质。

在三角形全等知识的基础上，探究理解角平分线的性质和判定，并通过练习加深本章知识的理解及灵活运用。

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识点一：

全等形

能够完全的两个图形叫做全等形．

知识点二：

全等三角形

能够完全的两个三角形叫做全等三角形．

要点诠释：

（1）互相重合的顶点叫做，互相重合的边叫做

，互相重合的角叫做．

（2）在写两个三角形全等时，通常把的字母写在对应位置上，这样容易写出对应边、对应角．例如，△ABC与△DFE全等，点A与点，点B与点，点C与点是对应顶点，记作△ABC≌△DFE，而不写作△ABC≌△EFD等其他形式．

知识点三：

全等三角形的性质

全等三角形的对应边、对应角．

知识点四：

两个三角形全等的条件

（一）边角边：

有和它们的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．

注：

运用边角边公理判定两个三角形全等时要抓住角是两边的夹角，边是夹这个角的两边，不要错误认为：

两个三角形只要有两条边和一个角对应相等，这两个三角形就一定全等．

（二）角边角：

有和它们的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

（三）边边边：

对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．

（四）角角边：

两个和其中一个角的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

（五）斜边、直角边（HL）：

在两个直角三角形中，和一条对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

注：

（1）HL定理是三角形所独有的，对于一般三角形不成立．

（2）判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找另个条件即可，而这两个条件中必须有对应相等，与一般三角形全等一样，只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等．

知识点五：

如何选定判定方法

（一）条件是一边、一角对应相等时，可选用SAS、AAS、．

（二）条件是两角对应相等时，可选用、．

（三）条件是两边对应相等时，可选用、．

（四）条件是直角三角形时，可选用，也可选用SAS、AAS、ASA、SSS。

知识点六：

角平分线

（一）角平分线的两种定义

（1）把一个角分成两个的角的叫做角的平分线．

（2）角的平分线可以看作是到角的两边的点的集合．

（二）角平分线的性质定理

角的平分线上的点到这个角的两边的．

（三）角的平分线的判定定理

到一个角的两边距离相等的点，在这个角的上．

经典例题-—自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。

若有其它补充可填在右栏空白处。

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#jdlt0#211813

类型一：

三角形全等的应用

例1．如图：

BE、CF相交于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且DE=DF。

求证：

AB=AC。

思路点拨：

挖掘并合理运用隐含条件：

（1）隐含相等的线段：

公共边、线段的和（或差）；

（2）隐含相等的角：

公共角、对顶角、角的和或差。

解析：

总结升华：

举一反三：

【变式1】如图：

BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。

求证：

（1）AM=AN；

（2）AM⊥AN。

答案：

【变式2】如图：

∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC，∠ABE=∠CBE，求证：

BD=2EC。

答案：

类型二：

构造全等三角形

例2．如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明。

你添加的条件是：

。

思路点拨：

此题属于开放型题目，此类题目一般包括：

条件开放型、结论开放型、综合开放型。

此类题目的答案一般不唯一。

本题答案就不唯一，若按照以下方式之一来添加条件：

①，②，③，

④，都可得，从而有AC=BD。

答案：

总结升华：

举一反三：

【变式1】如图，已知AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E。

由这些条件可以得到若干结论，请你写出其中三个正确的结论。

（不要添加字母和辅助线，不要求证明）

结论1：

结论2：

结论3：

答案：

【变式2】如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。

所添条件。

你得到的一对全等三角形是

△≌△

解析：

类型三：

角平分线的性质与判定

例3．已知：

如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：

OB=OC．

思路点拨：

由CD⊥AB，BE⊥AC，可知∠ADC=∠AEB=°，又由OA平分∠BAC可知，，再利用“”证明出△OBD≌△OCE，从而得到OB=OC．

证明：

总结升华：

举一反三：

【变式】如图，在中，，平分，，那么点到直线的距离是　　　　　　cm．

答案：

类型四：

三角形全等和角平分线的综合应用（常见辅助线的添法）

☆例4．如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，AE=BD，求证：

BD是∠ABC的平分线．

思路点拨：

如果BD是∠ABC的角平分线，则应有=，根据已知条件，很难找到这两个角相等的直接条件，但可以延长和，令其交于一点，先证出全等三角形，再利用全等三角形对应角相等解题．

证明：

总结升华：

举一反三：

☆【变式1】已知如图所示，PA=PB，∠1+∠2=180°，求证：

OP平分∠AOB．

解：

☆☆【变式2】如图所示，△ABC中，AB>AC，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，求证：

BE=CF．

证明：

☆【变式3】如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠1=∠2，求证：

AB=AC．

证明：

类型五：

探究型题

例5．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。

那么在什么情况下，它们会全等？

（1）阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）

对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：

已知：

△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1。

求证：

△ABC≌△A1B1C1。

（请你将下列证明过程补充完整）

（2）归纳与叙述：

由

（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论。

思路点拨：

虽然已有三个条件，然而它们构不成三角形全等的条件。

但至少提供了一边一角对应相等，另一条件只能通过作来得到。

解析：

总结升华：

举一反三：

☆【变式1】两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC。

试判断△EMC的形状，并说明理由。

答案：

【变式2】已知Rt△ABC中，∠C=90°

（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）

①作∠BA