全国初中数学竞赛试题含答案.doc
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“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题
班级__________学号__________姓名______________得分______________
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）
1．已知实数x，y满足：
－＝3，y4＋y2＝3，则＋y4的值为 （ ）
（A）7 （B） （C） （D）5
2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y＝x2＋mx＋n的图象与x轴有两个不同交点的概率是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有 （ ）
（A）6条 （B）8条 （C）10条 （D）12
4．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1．以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为 （ ）
（A）a （B）1 （C） （D）a
5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有 （ ）
（A）2种 （B）3种 （C）4种 （D）5种
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：
u*v＝uv＋v．若关于x的方程x*（a*x）＝－有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是_______．
7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟．
8．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为______．
9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为______．
10．关于x，y的方程x2＋y2＝208（x－y）的所有正整数解为________．
三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）
11．在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于｜OA｜＋｜OB｜＋3．
（1）用b表示k；
（2）求△OAB面积的最小值．
12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px2－qx＋p＝0有有理数根？
13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？
证明你的结论．
14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．
简答：
一．选择题ACBBD；
二．填空题6.a＞0或a＜－1；7.4；8.9；9.；10.x＝48，x＝160，
y＝32；y＝32．
三．解答题：
11.
（1）k＝，b＞2；
（2）当b＝2＋，k＝－1时，△OAB面积的最小值为7＋2；12.存在满足题设条件的质数p，q.当p＝2，q＝5时，方程2x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝2.它们都是有理数；13.存在满足条件的三角形.△ABC的边a＝6，b＝4，c＝5，且∠A＝2∠B，证明略.14.n的最小值是5，证明略．
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．已知非零实数a，b满足，则等于（）．
（A）－1（B）0（C）1（D）2
【答】C．
解：
由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是，从而＝1．
2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）．
（第2题）
（A）（B）（C）1（D）2
【答】A．
解：
因为△BOC∽△ABC，所以，即
，
所以，．
由，解得．
3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（）．
（A）（B）（C）（D）
【答】D．
解：
当时，方程组无解．
当时，方程组的解为
由已知，得即或
由，的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得
共有5×2＝10种情况；或共3种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为．
4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，.动点P从点
B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（）．
（A）10（B）16（C）18（D）32
（第4题）
图2
图1
【答】B．
解：
根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故
S△ABC＝×8×4＝16.
5．关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（）．
（A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组
【答】C．
解：
可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为
．
由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数．
由≥，
解得≤．于是
0
1
4
9
16
116
109
88
53
4
显然，只有时，是完全平方数，符合要求．
当时，原方程为，此时；
当y＝－4时，原方程为，此时．
所以，原方程的整数解为
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km．
【答】3750．
解：
设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1km
磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有
两式相加，得，
则．
7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为．
解：
如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF．
由题设知，，在△FHA和△EFA中，
，
所以Rt△FHA∽Rt△EFA，
.
（第7题）
而，所以.
8．已知是满足条件的五个不同的整数，若是关于x的方程的整数根，则的值为．
【答】10．
解：
因为，且是五个不同的整数，所有也是五个不同的整数．
又因为，所以
．
由，可得．
9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于．
【答】．
解：
如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且．
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以
，
（第9题）
即，
解得．所以．
（第10题）
10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：
每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．
【答】．
解：
设报3的人心里想的数是，则报5的人心里想的数应是．
于是报7的人心里想的数是，报9的人心里想的数是，报1的人心里想的数是，报3的人心里想的数是．所以
，
解得．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知抛物线与动直线有公共点，，
且.
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.
解：
（1）联立与，消去y得二次方程
①
有实数根，，则．所以
=＝．②
………………5分
把②式代入方程①得
．③
………………10分
t的取值应满足
≥0，④
且使方程③有实数根，即
＝≥0，⑤
解不等式④得≤-3或≥1，解不等式⑤得≤≤.
所以，t的取值范围为
≤≤.⑥
………………15分
（2）由②式知.
由于在≤≤时是递增的，所以，当
时,.………………20分
12．已知正整数满足，且，求满足条件的所有可能的正整数的和．
解：
由可得．，且
．
………………5分
因为是奇数，所以等价于，又因为，所以等价于．因此有，于是可得．
………………15分
又，所以．因此，满足条件的所有可能的正整数的和为
11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571．………………20分
13．如图，给定锐角三角形AB
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