二次函数解答题.doc
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41．（2010江苏徐州）如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴
交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）点A的坐标为_______，点C的坐标为_______；
（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?
若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?
【答案】
42．（2010云南昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在
（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：
本题中的结果可保留根号）
【答案】解：
（1）设抛物线的解析式为：
由题意得：
解得：
∴抛物线的解析式为：
（2）存在
l′
抛物线的顶点坐标是，作抛物线和⊙M（如图），
设满足条件的切线l与x轴交于点B，与⊙M相切于点C
连接MC，过C作CD⊥x轴于D
∵MC=OM=2,∠CBM=30°,CM⊥BC
∴∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4,∴B（-2,0）
在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°
∴DM=1,CD==∴C（1,）
设切线l的解析式为:
，点B、C在l上，可得：
解得：
∴切线BC的解析式为：
∵点P为抛物线与切线的交点
由解得：
∴点P的坐标为：
，
∵抛物线的对称轴是直线
此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形
于是作切线l关于直线的对称直线l′（如图）
得到B、C关于直线的对称点B1、C1
l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点：
，即为所求的点.
∴这样的点P共有4个：
，，，
43．（2010陕西西安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（—1，0），B（3，0），C（0，—1）三点。
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标。
【答案】解：
（1）设该抛物线的表达式为。
根据题意，得、
解之，得
∴所求抛物线的表达式为
（2）①当AB为边时，只要PQ//AB，且PQ=AB=4即可，
又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为4或-4，这时，将
合条件的点P有两个，分别记为P1，P2。
而当x=4时，
此时
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，
又知点Q在y轴上，且线段AB中点的横坐标为1，
∴点P的横坐标为2，这时，符合条件的点P只有一个，记为P3，
而当x=2时，y=-1，此时P3（2，-1）
综上，满足条件的点
44．（2010四川内江）如图，抛物线y＝mx2―2mx―3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.
（1）请求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；
（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？
若存在，请求出；如果不存在，请说明理由..
x
M
A
B
C
y
O
【答案】解：
（1）∵y＝mx2―2mx―3m＝m（x2―2x―3）＝m（x－1）2―4m,
∴抛物线顶点M的坐标为（1，―4m） 2分
∵抛物线y＝mx2―2mx―3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，
∴当y＝0时，mx2―2mx―3m＝0，
∵m＞0，
∴x2―2x―3＝0，
解得x1＝－1，x,2＝3，
∴A，B两点的坐标为（－1,0）、（3,0）. 4分
（2）当x＝0时，y＝―3m，
∴点C的坐标为（0，－3m）,
∴S△ABC＝×|3－（－1）|×|－3m|＝6|m|＝6m， 5分
过点M作MD⊥x轴于D，则OD＝1，BD＝OB－OD＝2，MD＝|－4m|＝4m.
x
M
A
B
C
y
O
D
N
∴S△BCM＝S△BDM＋S梯形OCMD－S△OBC
＝BD·DM＋（OC＋DM）·OD－OB·OC
＝×2×4m＋（3m＋4m）×1－×3×3m＝3m， 7分
∴S△BCM：
S△ABC＝1∶2. 8分
（3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线.
过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为Rt△，CN＝OD＝1，DN＝OC＝3m,
∴MN＝DM－DN＝m,
∴CM2＝CN2＋MN2＝1＋m2，
在Rt△OBC中，BC2＝OB2＋OC2＝9＋9m2，
在Rt△BDM中，BM2＝BD2＋DM2＝4＋16m2.
①如果△BCM是Rt△，且∠BMC＝90°时，CM2＋BM2＝BC2,
即1＋m2＋4＋16m2＝9＋9m2，
解得 m＝±,
∵m＞0，∴m＝.
∴存在抛物线y＝x2－x－使得△BCM是Rt△; 10分
②①如果△BCM是Rt△，且∠BCM＝90°时，BC2＋CM2＝BM2.
即9＋9m2＋1＋m2＝4＋16m2，
解得 m＝±1,
∵m＞0，∴m＝1.
∴存在抛物线y＝x2－2x－3使得△BCM是Rt△;
③如果△BCM是Rt△，且∠CBM＝90°时，BC2＋BM2＝CM2.
即9＋9m2＋4＋16m2＝1＋m2，
整理得 m2＝－，此方程无解,
∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在.
（或∵9＋9m2＞1＋m2，4＋16m2＞1＋m2，∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在.）
综上的所述，存在抛物线y＝x2－x－和y＝x2－2x－3使得△BCM是Rt△.
45．（2010广东东莞）已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为（－1，0），与轴的交点坐标为（0，3）
⑴求出b,c的值，并写出此时二次函数的解析式；
⑵根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
x
y
3
－1
O
【答案】⑴根据题意，得：
，解得，所以抛物线的解析式为
⑵令，解得；根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是－1＜＜3．
46．（2010福建三明）已知抛物线经过点B（2，0）和点C（0，8），且它的对称轴是直线。
（1）求抛物线与轴的另一交点A坐标；（2分）
（2）求此抛物线的解析式；（3分）
（3）连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B）不重合，过点E作EF∥AC交BC于点F，连结CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若
存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的
坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请
说明理由。
【答案】
（1）∵抛物线的对称轴是直线
∴由对称性可得A点的坐标为（-6，0） …………2分
（2）∵点C（0，8）在抛物线的图象上
将A（-6，0）、B（2，0）代入表达式得
解得∴所求解析式为
[也可用] …………5分
（3）依题意，AE=m，则BE=8-m
∵OA=6，OC=8，∴AC=10
∵EF//AC∴≌
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则
…………10分
（4）存在.理由如下：
∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8 …………12分
∵m=4
∴点E的坐标为（——-2，0）
为等腰三角形 …………14分
47．（2010湖北襄樊）如图7，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？
（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？
图7
【答案】解：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=AB=4．
∴A（4，2），B（0，2），C（－4，0）．
∵抛物线y=ax2+bx+c过点B，∴c=2．
由题意，有解得
∴所求抛物线的解析式为．
（2）将抛物线的解析式配方，得．
∴抛物线的对称轴为x=2．
∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）．
欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE．即BP=FQ．
∴t=6－3t，即t=．
（3）欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，∴有或，
即PB=OQ或OB2=PB·QO．
①若P、Q在y轴的同侧．当PB=OQ时，t=8－3t，∴t=2．
当OB2=PB·QO时，t（8－3t）=4，即3t2－8t+4=0．
解得．
②若P、Q在y轴的异侧．当PB=OQ时，3t－8=t，∴t=4．
当OB2=PB·QO时，t（3t－8）=4，即3t2－8t－4=0．解得．
∵t=<0．故舍去，∴t=．
∴当t=2或t=或t=4或t=秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似．
48．（2010山东东营）如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点
B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．
x
O
A
（第23题图）
B
y
【答案】解：
（1）根据题意，得…2分
解得…………………………3分
x
O
A
（第23题图）
B
y
C
P
x=2
∴二次函数的表达式为．……4分
（2）令y=0，得二次函数的图象与x轴
的另一个交点坐标C（5,0）.……………5分
由于P是对称轴上一点，
连结AB，由于，
要使△ABP的周长最小，只要最小.…………………………………6分
由于点A与点C关于对称轴对称，连结BC交对称轴于点P，则=BP+PC=BC，根据两点之间，线段最短，可得的最小值为BC.
因而BC与对称轴的交点P就是所求的点.……………………………………8分
设直线BC的解析式为，根据题意，可得解得
所以直线BC的解析式为.…………………………………………………9分
因此直线BC与对称轴的交点坐标是方程组的解，解得
所求的点P的坐标为（2，-3）.……………………………10分
49．（2010四川绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂
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