二次函数解答题.doc
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41.(2010江苏徐州)如图,已知二次函数y=的图象与y轴交于点A,与x轴
交于B、C两点,其对称轴与x轴交于点D,连接AC.
(1)点A的坐标为_______,点C的坐标为_______;
(2)线段AC上是否存在点E,使得△EDC为等腰三角形?
若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,若所得△PAC的面积为S,则S取何值时,相应的点P有且只有2个?
【答案】
42.(2010云南昆明)在平面直角坐标系中,抛物线经过O(0,0)、A(4,0)、B(3,)三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)以OA的中点M为圆心,OM长为半径作⊙M,在
(1)中的抛物线上是否存在这样的点P,过点P作⊙M的切线l,且l与x轴的夹角为30°,若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(注意:
本题中的结果可保留根号)
【答案】解:
(1)设抛物线的解析式为:
由题意得:
解得:
∴抛物线的解析式为:
(2)存在
l′
抛物线的顶点坐标是,作抛物线和⊙M(如图),
设满足条件的切线l与x轴交于点B,与⊙M相切于点C
连接MC,过C作CD⊥x轴于D
∵MC=OM=2,∠CBM=30°,CM⊥BC
∴∠BCM=90°,∠BMC=60°,BM=2CM=4,∴B(-2,0)
在Rt△CDM中,∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°
∴DM=1,CD==∴C(1,)
设切线l的解析式为:
,点B、C在l上,可得:
解得:
∴切线BC的解析式为:
∵点P为抛物线与切线的交点
由解得:
∴点P的坐标为:
,
∵抛物线的对称轴是直线
此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形
于是作切线l关于直线的对称直线l′(如图)
得到B、C关于直线的对称点B1、C1
l′满足题中要求,由对称性,得到P1、P2关于直线的对称点:
,即为所求的点.
∴这样的点P共有4个:
,,,
43.(2010陕西西安)如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(—1,0),B(3,0),C(0,—1)三点。
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P的坐标。
【答案】解:
(1)设该抛物线的表达式为。
根据题意,得、
解之,得
∴所求抛物线的表达式为
(2)①当AB为边时,只要PQ//AB,且PQ=AB=4即可,
又知点Q在y轴上,∴点P的横坐标为4或-4,这时,将
合条件的点P有两个,分别记为P1,P2。
而当x=4时,
此时
②当AB为对角线时,只要线段PQ与线段AB互相平分即可,
又知点Q在y轴上,且线段AB中点的横坐标为1,
∴点P的横坐标为2,这时,符合条件的点P只有一个,记为P3,
而当x=2时,y=-1,此时P3(2,-1)
综上,满足条件的点
44.(2010四川内江)如图,抛物线y=mx2―2mx―3m(m>0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.
(1)请求抛物线顶点M的坐标(用含m的代数式表示),A,B两点的坐标;
(2)经探究可知,△BCM与△ABC的面积比不变,试求出这个比值;
(3)是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线?
若存在,请求出;如果不存在,请说明理由..
x
M
A
B
C
y
O
【答案】解:
(1)∵y=mx2―2mx―3m=m(x2―2x―3)=m(x-1)2―4m,
∴抛物线顶点M的坐标为(1,―4m) 2分
∵抛物线y=mx2―2mx―3m(m>0)与x轴交于A、B两点,
∴当y=0时,mx2―2mx―3m=0,
∵m>0,
∴x2―2x―3=0,
解得x1=-1,x,2=3,
∴A,B两点的坐标为(-1,0)、(3,0). 4分
(2)当x=0时,y=―3m,
∴点C的坐标为(0,-3m),
∴S△ABC=×|3-(-1)|×|-3m|=6|m|=6m, 5分
过点M作MD⊥x轴于D,则OD=1,BD=OB-OD=2,MD=|-4m|=4m.
x
M
A
B
C
y
O
D
N
∴S△BCM=S△BDM+S梯形OCMD-S△OBC
=BD·DM+(OC+DM)·OD-OB·OC
=×2×4m+(3m+4m)×1-×3×3m=3m, 7分
∴S△BCM:
S△ABC=1∶2. 8分
(3)存在使△BCM为直角三角形的抛物线.
过点C作CN⊥DM于点N,则△CMN为Rt△,CN=OD=1,DN=OC=3m,
∴MN=DM-DN=m,
∴CM2=CN2+MN2=1+m2,
在Rt△OBC中,BC2=OB2+OC2=9+9m2,
在Rt△BDM中,BM2=BD2+DM2=4+16m2.
①如果△BCM是Rt△,且∠BMC=90°时,CM2+BM2=BC2,
即1+m2+4+16m2=9+9m2,
解得 m=±,
∵m>0,∴m=.
∴存在抛物线y=x2-x-使得△BCM是Rt△; 10分
②①如果△BCM是Rt△,且∠BCM=90°时,BC2+CM2=BM2.
即9+9m2+1+m2=4+16m2,
解得 m=±1,
∵m>0,∴m=1.
∴存在抛物线y=x2-2x-3使得△BCM是Rt△;
③如果△BCM是Rt△,且∠CBM=90°时,BC2+BM2=CM2.
即9+9m2+4+16m2=1+m2,
整理得 m2=-,此方程无解,
∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在.
(或∵9+9m2>1+m2,4+16m2>1+m2,∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在.)
综上的所述,存在抛物线y=x2-x-和y=x2-2x-3使得△BCM是Rt△.
45.(2010广东东莞)已知二次函数的图象如图所示,它与轴的一个交点坐标为(-1,0),与轴的交点坐标为(0,3)
⑴求出b,c的值,并写出此时二次函数的解析式;
⑵根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围.
x
y
3
-1
O
【答案】⑴根据题意,得:
,解得,所以抛物线的解析式为
⑵令,解得;根据图象可得当函数值y为正数时,自变量x的取值范围是-1<<3.
46.(2010福建三明)已知抛物线经过点B(2,0)和点C(0,8),且它的对称轴是直线。
(1)求抛物线与轴的另一交点A坐标;(2分)
(2)求此抛物线的解析式;(3分)
(3)连结AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B)不重合,过点E作EF∥AC交BC于点F,连结CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式;
(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值,若
存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的
坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请
说明理由。
【答案】
(1)∵抛物线的对称轴是直线
∴由对称性可得A点的坐标为(-6,0) …………2分
(2)∵点C(0,8)在抛物线的图象上
将A(-6,0)、B(2,0)代入表达式得
解得∴所求解析式为
[也可用] …………5分
(3)依题意,AE=m,则BE=8-m
∵OA=6,OC=8,∴AC=10
∵EF//AC∴≌
过点F作FG⊥AB,垂足为G,则
…………10分
(4)存在.理由如下:
∴当m=4时,S有最大值,S最大值=8 …………12分
∵m=4
∴点E的坐标为(——-2,0)
为等腰三角形 …………14分
47.(2010湖北襄樊)如图7,四边形ABCD是平行四边形,AB=4,OB=2,抛物线过A、B、C三点,与x轴交于另一点D.一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动,运动到点A停止,同时一动点Q从点D出发,以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动,与点P同时停止.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线的对称轴与AB交于点E,与x轴交于点F,当点P运动时间t为何值时,四边形POQE是等腰梯形?
(3)当t为何值时,以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似?
图7
【答案】解:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OC=AB=4.
∴A(4,2),B(0,2),C(-4,0).
∵抛物线y=ax2+bx+c过点B,∴c=2.
由题意,有解得
∴所求抛物线的解析式为.
(2)将抛物线的解析式配方,得.
∴抛物线的对称轴为x=2.
∴D(8,0),E(2,2),F(2,0).
欲使四边形POQE为等腰梯形,则有OP=QE.即BP=FQ.
∴t=6-3t,即t=.
(3)欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似,
∵∠PBO=∠BOQ=90°,∴有或,
即PB=OQ或OB2=PB·QO.
①若P、Q在y轴的同侧.当PB=OQ时,t=8-3t,∴t=2.
当OB2=PB·QO时,t(8-3t)=4,即3t2-8t+4=0.
解得.
②若P、Q在y轴的异侧.当PB=OQ时,3t-8=t,∴t=4.
当OB2=PB·QO时,t(3t-8)=4,即3t2-8t-4=0.解得.
∵t=<0.故舍去,∴t=.
∴当t=2或t=或t=4或t=秒时,以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似.
48.(2010山东东营)如图,已知二次函数的图象与坐标轴交于点A(-1,0)和点
B(0,-5).
(1)求该二次函数的解析式;
(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P,使得△ABP的周长最小.请求出点P的坐标.
x
O
A
(第23题图)
B
y
【答案】解:
(1)根据题意,得…2分
解得…………………………3分
x
O
A
(第23题图)
B
y
C
P
x=2
∴二次函数的表达式为.……4分
(2)令y=0,得二次函数的图象与x轴
的另一个交点坐标C(5,0).……………5分
由于P是对称轴上一点,
连结AB,由于,
要使△ABP的周长最小,只要最小.…………………………………6分
由于点A与点C关于对称轴对称,连结BC交对称轴于点P,则=BP+PC=BC,根据两点之间,线段最短,可得的最小值为BC.
因而BC与对称轴的交点P就是所求的点.……………………………………8分
设直线BC的解析式为,根据题意,可得解得
所以直线BC的解析式为.…………………………………………………9分
因此直线BC与对称轴的交点坐标是方程组的解,解得
所求的点P的坐标为(2,-3).……………………………10分
49.(2010四川绵阳)如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂