1、41(2010江苏徐州)如图,已知二次函数y=的图象与y轴交于点A,与x轴 交于B、C两点,其对称轴与x轴交于点D,连接AC (1)点A的坐标为_ ,点C的坐标为_ ; (2)线段AC上是否存在点E,使得EDC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由; (3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,若所得PAC的面积为S,则S取何值时,相应的点P有且只有2个?【答案】42(2010云南昆明)在平面直角坐标系中,抛物线经过O(0,0)、A(4,0)、B(3,)三点.(1)求此抛物线的解析式;(2)以OA的中点M为圆心,OM长为半径作M,在(1)中的抛物
2、线上是否存在这样的点P,过点P作M的切线l ,且l与x轴的夹角为30,若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(注意:本题中的结果可保留根号) 【答案】解:(1)设抛物线的解析式为: 由题意得: 解得: 抛物线的解析式为: (2)存在 l抛物线的顶点坐标是,作抛物线和M(如图),设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B,与M相切于点C连接MC,过C作CD x 轴于D MC = OM = 2, CBM = 30, CMBCBCM = 90 ,BMC = 60 ,BM = 2CM = 4 , B (-2, 0) 在RtCDM中,DCM = CDM - CMD = 30DM = 1, C
3、D = = C (1, )设切线 l 的解析式为:,点B、C在 l 上,可得: 解得: 切线BC的解析式为:点P为抛物线与切线的交点由 解得: 点P的坐标为:, 抛物线的对称轴是直线此抛物线、M都与直线成轴对称图形于是作切线 l 关于直线的对称直线 l(如图)得到B、C关于直线的对称点B1、C1l满足题中要求,由对称性,得到P1、P2关于直线的对称点: ,即为所求的点.这样的点P共有4个:,43(2010陕西西安)如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(1,0),B(3,0),C(0,1)三点。 (1)求该抛物线的表达式; (2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以点Q、P、A、B为顶点的四边
4、形是平行四边形,求所有满足条件的点P的坐标。【答案】解:(1)设该抛物线的表达式为。根据题意,得、解之,得所求抛物线的表达式为 (2)当AB为边时,只要PQ/AB,且PQ=AB=4即可,又知点Q在y轴上,点P的横坐标为4或-4,这时,将合条件的点P有两个,分别记为P1,P2。而当x=4时,此时当AB为对角线时,只要线段PQ与线段AB互相平分即可,又知点Q在y轴上,且线段AB中点的横坐标为1,点P的横坐标为2,这时,符合条件的点P只有一个,记为P3,而当x=2时,y=-1,此时P3(2,-1)综上,满足条件的点44(2010四川内江)如图,抛物线ymx22mx3m(m0)与x轴交于A、B两点,
5、与y轴交于C点.(1)请求抛物线顶点M的坐标(用含m的代数式表示),A,B两点的坐标;(2)经探究可知,BCM与ABC的面积比不变,试求出这个比值;(3)是否存在使BCM为直角三角形的抛物线?若存在,请求出;如果不存在,请说明理由.xMABCyO【答案】解:(1)ymx22mx3mm(x22x3)m(x1)24m,抛物线顶点M的坐标为(1,4m)2分抛物线ymx22mx3m(m0)与x轴交于A、B两点,当y0时,mx22mx3m0,m0,x22x30,解得x11,x,23,A,B两点的坐标为(1,0)、(3,0).4分(2)当x0时,y3m,点C的坐标为(0,3m),SABC|3(1)|3m|
6、6|m|6m,5分过点M作MDx轴于D,则OD1,BDOBOD2,MD|4m |4m.xMABCyODNSBCMSBDM S梯形OCMDSOBCBDDM(OCDM)ODOBOC24m(3m4m)133m3m,7分 SBCM:SABC12.8分(3)存在使BCM为直角三角形的抛物线. 过点C作CNDM于点N,则CMN为Rt,CNOD1,DNOC3m,MNDMDNm,CM2CN2MN21m2, 在RtOBC中,BC2OB2OC299m2,在RtBDM中,BM2BD2DM2416m2.如果BCM是Rt,且BMC90时,CM2BM2BC2,即1m2416m299m2,解得m,m0,m.存在抛物线yx2
7、x使得BCM是Rt;10分如果BCM是Rt,且BCM90时,BC2CM2BM2.即99m21m2416m2,解得m1,m0,m1.存在抛物线yx22x3使得BCM是Rt; 如果BCM是Rt,且CBM90时,BC2BM2CM2.即99m2416m21m2,整理得m2,此方程无解,以CBM为直角的直角三角形不存在.(或99m21m2,416m21m2,以CBM为直角的直角三角形不存在.)综上的所述,存在抛物线yx2x和yx22x3使得BCM是Rt.45(2010广东东莞)已知二次函数的图象如图所示,它与轴的一个交点坐标为(1,0),与轴的交点坐标为(0,3)求出b,c的值,并写出此时二次函数的解析
8、式;根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围xy31O【答案】根据题意,得:,解得,所以抛物线的解析式为令,解得;根据图象可得当函数值y为正数时,自变量x的取值范围是1346(2010 福建三明)已知抛物线经过点B(2,0)和点C(0,8),且它的对称轴是直线。 (1)求抛物线与轴的另一交点A坐标;(2分) (2)求此抛物线的解析式;(3分) (3)连结AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B)不重合,过点E作EFAC交BC于点F,连结CE,设AE的长为m,CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式;(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值
9、,并求出此时点E的坐标,判断此时BCE的形状;若不存在,请说明理由。【答案】(1)抛物线的对称轴是直线由对称性可得A点的坐标为(-6,0)2分 (2)点C(0,8)在抛物线的图象上将A(-6,0)、B(2,0)代入表达式得解得 所求解析式为也可用5分 (3)依题意,AE=m,则BE=8-mOA=6,OC=8,AC=10EF/AC 过点F作FGAB,垂足为G,则10分 (4)存在.理由如下:当m=4时,S有最大值,S最大值=812分m=4点E的坐标为(-2,0)为等腰三角形14分47(2010湖北襄樊)如图7,四边形ABCD是平行四边形,AB=4,OB=2,抛物线过A、B、C三点,与x轴交于另一
10、点D一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动,运动到点A停止,同时一动点Q从点D出发,以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动,与点P同时停止(1)求抛物线的解析式;(2)若抛物线的对称轴与AB交于点E,与x轴交于点F,当点P运动时间t为何值时,四边形POQE是等腰梯形?(3)当t为何值时,以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似?图7【答案】解:(1)四边形ABCD是平行四边形,OC=AB=4A(4,2),B(0,2),C(4,0)抛物线y=ax2+bx+c过点B,c=2由题意,有 解得所求抛物线的解析式为(2)将抛物线的解析式配方,得抛物线的对称轴为x
11、=2D(8,0),E(2,2),F(2,0)欲使四边形POQE为等腰梯形,则有OP=QE即BP=FQt=63t,即t= (3)欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似,PBO=BOQ=90,有或,即PB=OQ或OB2=PBQO若P、Q在y轴的同侧当PB=OQ时,t=83t,t=2当OB2=PBQO时,t(83t)=4,即3t28t+4=0解得若P、Q在y轴的异侧当PB=OQ时,3t8=t,t=4当OB2=PBQO时,t(3t8)=4,即3t28t4=0解得t=0故舍去,t=当t=2或t=或t=4或t=秒时,以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似48
12、(2010 山东东营) 如图,已知二次函数的图象与坐标轴交于点A(-1, 0)和点B(0,-5)(1)求该二次函数的解析式;(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P,使得ABP的周长最小请求出点P的坐标xOA(第23题图)By【答案】解:(1)根据题意,得2分解得 3分xOA(第23题图)ByCPx=2二次函数的表达式为4分(2)令y=0,得二次函数的图象与x轴 的另一个交点坐标C(5, 0).5分由于P是对称轴上一点,连结AB,由于,要使ABP的周长最小,只要最小.6分由于点A与点C关于对称轴对称,连结BC交对称轴于点P,则= BP+PC =BC,根据两点之间,线段最短,可得的最小值为BC.因而BC与对称轴的交点P就是所求的点.8分设直线BC的解析式为,根据题意,可得解得所以直线BC的解析式为.9分因此直线BC与对称轴的交点坐标是方程组的解,解得所求的点P的坐标为(2,-3).10分49(2010 四川绵阳)如图,抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A(4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为DE(1,2)为线段BC的中点,BC的垂
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