二次函数相关存在性问题.doc
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二次函数相关的存在性问题习题练习
一．等腰三角形存在性问题：
例1．如图①，抛物线y＝ax2－6x＋c与x轴交于点A（－5，0）、B（－1，0），与y轴交于点C（0，－5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D.
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图②.
①若∠APE＝∠CPE，求证：
＝；
②△APE能否为等腰三角形？
若能，请求出此时点P的坐标；
若不能，请说明理由．
针对训练：
1．如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，连接AC、BC，其中CO＝BO＝2AO.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q为直线BC上方的抛物线上一点，过点Q作QE∥AC交BC于E，作QN⊥x轴于N，交BC于M，当△EMQ的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值；
（3）如图②，在
（2）的结论下，连接AQ分别交BC于F，交OC于G，四边形BOGF从F开始沿射线FC平移，同时点P从C开始沿折线CO－OB运动，且点P的运动速度为四边形BOGF平移速度的倍，当点P到达B点时，四边形BOGF停止运动．设四边形BOGF平移过程中对应的图形为B1O1G1F1，当△PFF1为等腰三角形时，求B1F的长度．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋x＋3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D.现将抛物线以每秒个单位长度的速度沿射线AD方向平移，抛物线上的点A、C平移后的对应点分别记作A′、C′，当△A′C′B是以C′B为底边的等腰三角形时，将等腰△A′C′B绕点D逆时针旋转α°（0°<α<180°），记旋转中的△A′C′B为△A′′C′′B′，若直线A′′C′′与y轴交于点K，直线A′′C′′与直线AD交于点I，则△DKI是否能为等腰三角形？
若能，求出所有符合条件的KI的长；若不能，说明理由．
三角形全等、相似存在性问题：
例2．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝1，OC＝2，以O为直角顶点作Rt△COD，OD＝3.已知二次函数y＝x2＋x－的图象过D、B两点，连接BD，E为射线DB上的一点，过E作EH⊥x轴于H，点P为抛物线对称轴上一点，且在x轴上方，点Q在第二象限的抛物线上，是否存在P、Q使得以P、O、Q为顶点的三角形与△DEH全等？
若存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
针对训练：
1．如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D.
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？
为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？
若存在，请指出直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y＝x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是－2.
（1）求这条直线的解析式及点B的坐标．
（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？
若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
3．如图，已知抛物线y＝x2＋x－4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（2，0），C（0，－4），直线l：
y＝－x－4与x轴交于D点，点P是抛物线y＝x2＋x－4上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F.过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC，PC，试问当P点横坐标为何值时，使得以点P，C，H为顶点的三角形与△ACD相似？
4．如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，点N在抛物线上，其横坐标为.连接CN，点P为直线CN上的动点，点Q在抛物线上，连接CQ、PQ得△CPQ，当△CPQ为等腰直角三角形时，求线段CP的长度．
与四边形有关的存在性问题：
例3．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
1．如图，抛物线y＝a（x＋1）2＋4（a≠0）与x轴交于A，C两点，与直线y＝x－1交于A，B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E.连接CE，将△CEB补成矩形，使△CEB上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．
2．如图，抛物线y＝x2＋2x－3交x轴于点A，B.点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：
y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？
若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
二次函数相关的存在性问题答案
等腰三角形存在性问题：
例1.解：
（1）∵抛物线y＝ax2－6x＋c过点B（－1，0）、C（0，－5）．
∴
解得
∴该抛物线为y＝－x2－6x－5.
（2）①证明：
∵PE∥y轴，∴PH⊥AO，
∴∠AHP＝∠DHP＝90°.
又∵PH＝PH，∠APE＝∠CPE，
∴△AHP≌△DHP，∴AH＝DH.
设点P（x，－x2－6x－5），
∴AH＝DH＝x－（－5）＝x＋5，PH＝－x2－6x－5.
由PE∥y轴，得＝，
则＝.
∵x＋5≠0，∴x＋1＝，解得x1＝－，x2＝0（不符合）．
∴OH＝，AH＝，∴＝＝.
②能，分三种情况讨论．
Ⅰ、若PA＝PE.由OA＝OC＝5，
得∠AEP＝∠PAE＝∠ACO＝45°，
∴∠APE＝90°.此时点P与点B重合．
∴此时点P的坐标为（－1，0）．
Ⅱ、若AP＝AE.由题意，可得∠APE＝∠AEP＝45°，
又∵PH⊥AO，∴AH＝PH，即－x2－6x－5＝x＋5.
解得x1＝－2，x2＝－5（不符合）．
则y＝3，则点P的坐标为（－2，3）．
Ⅲ、∵点A、C的坐标为（－5，0）、（0，－5）．
∴直线AC的解析式为y＝－x－5.∴点E的坐标为（x，－x－5）．
若AE＝PE，则PE＝|－x2－6x－5－（－x－5）|＝|－x2－5x|.
又AE＝AH＝（x＋5），
则－x2－5x＝（x＋5）或x2＋5x＝（x＋5），
（x＋5）（＋x）＝0或（x＋5）（－x）＝0.
解得：
x1＝－，x2＝－5（不符合），x3＝，x4＝－5（不符合）．
当x1＝－时，y1＝6－7，当x3＝时，y3＝－6－7.
∴此时点P的坐标为（－，6－7）或（，－6－7）．
综上所述可得点P的坐标为（－2，3）、（－1，0）、（－，6－7）或（，－6－7）．
针对训练：
1.解：
（1）当x＝0时，y＝4，则C（0，4），
∴OC＝4.
又∵OC＝OB＝2OA，
∴OB＝4，OA＝2，
∴B（4，0），A（－2，0）．
又∵B（4，0），A（－2，0）在抛物线y＝ax2＋bx＋4上，
∴∴
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4.
（2）∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.
∴∠MBN＝∠NMB＝∠QME＝45°，延长QE交y轴于R.
又∵EQ∥AC，OC∥QM，∴∠EQM＝∠CRQ＝∠ACO，
∴tan∠EQM＝tan∠ACO＝＝.
如图，过E作EH⊥QM于H，设EH＝m，
则QH＝2m，EQ＝m，MH＝m，EM＝m，
∴QM＝3m，∴m＝QM.
设Q（x，－x2＋x＋4），则M（x，－x＋4），
∴L＝QM＝
＝（－x2＋2x）
＝－（x－2）2＋，
又∵0（3）∵Q（2，4），A（－2，0），
∴AQ的解析式为y＝x＋2，∴G（0，2），F（1，3），
∴BF＝B1F1＝3，△CFG为等腰三角形．
设FF1＝t，则PC＝2t.∴F1（1－t，t＋3），
当P在线段CO上运动时，则0①若FP＝FF1时，则1＋（1－2t）2＝2t2，
∴t1＝t2＝1，∴FF1＝t＝，∴B1F＝B1F1－FF1＝2；
②若PF＝PF1时，则1＋（1－2t）2＝（1－t）2＋（1－3t）2，
∴t1＝0，t2＝.又∵0∴FF1＝t＝，∴B1F＝B1F1－FF1＝；
∴B1F＝B1F1－FF1＝4－2.
综上所述：
B1F＝，，2或4－2.
③若F1P＝F1F时，则（1－t）2＋（1－3t）2＝2t2，∴t1＝t2＝.
∴FF1＝t＝，∴B1F＝B1F1－FF1＝；
当P在线段OB上运动时，则2∵∠F1FP>90
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