中考数学专题训练一元二次方程组的综合题分类.docx

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中考数学专题训练一元二次方程组的综合题分类

中考数学专题训练---一元二次方程组的综合题分类

一、一元二次方程

1．解方程：

（x+1）（x﹣3）=﹣1．

【答案】x1=1+，x2=1﹣

【解析】

试题分析：

根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.

试题解析：

整理得：

x2﹣2x=2，配方得：

x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，

解得：

x1=1+，x2=1﹣．

2．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．

（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？

（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．

①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？

②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？

用油的重复利用率是多少？

【答案】

（1）28

（2）①76%②75，84%

【解析】

试题分析：

（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；

（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；

②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．

试题解析：

（1）根据题意可得：

70×（1﹣60%）=28（kg）；

（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；

②设润滑用油量是x千克，则

x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，

整理得：

x2﹣65x﹣750=0，

（x﹣75）（x+10）=0，

解得：

x1=75，x2=﹣10（舍去），

60%+1.6%（90﹣x）=84%，

答：

设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．

考点：

一元二次方程的应用

3．解下列方程：

（1）2x2－4x－1＝0（配方法）；

（2）（x＋1）2＝6x＋6.

【答案】

（1）x1＝1＋，x2＝1－

（2）x1＝－1，x2＝5.

【解析】

试题分析：

（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；

（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.

试题解析：

（1）由题可得，x2－2x＝，∴x2－2x＋1＝.

∴（x－1）2＝.

∴x－1＝±＝±.

∴x1＝1＋，x2＝1－.

（2）由题可得，（x＋1）2－6（x＋1）＝0，∴（x＋1）（x＋1－6）＝0.

∴x＋1＝0或x＋1－6＝0.

∴x1＝－1，x2＝5.

4．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．

（1）求m的取值范围；

（2）若，则m的值为多少？

【答案】

（1）；

（2）m的值为3．

【解析】

【分析】

（1）根据△≥0即可求解,

（2）化简,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.

【详解】

解：

（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0，

解得：

m≥-；

（2）由根与系数的关系得：

α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，

∵即=-1,

∴=-1,整理得m2﹣2m﹣3=0

解得：

m1=﹣1，m1=3，

由

（1）知m≥-，

∴m1=﹣1应舍去，

∴m的值为3．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.

5．已知两条线段长分别是一元二次方程的两根，

（1）解方程求两条线段的长。

（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。

（3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。

【答案】

（1）2和6；

（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）求解该一元二次方程即可;

（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；

（3）设分为两段分别是和，然后用勾股定理求出x，最后求面积即可.

【详解】

解：

（1）由题意得，

即：

或，

∴两条线段长为2和6；

（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3，

由勾股定理得：

该等腰三角形底边上的高为：

∴此等腰三角形面积为=．

（3）设分为及两段

∴，

∴，

∴面积为.

【点睛】

本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.

6．已知:

如图，在中，，cm，cm.直线从点出发，以2cm/s的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点.同时，点从点出发，以1cm/s的速度沿向点运动，设运动时间为（s）（）.

（1）当为何值时，四边形是矩形?

（2）当面积是的面积的5倍时，求出的值;

【答案】

（1）；

（2）。

【解析】

【分析】

（1）首先根据勾股定理计算AB的长，再根据相似比例表示PE的长度，再结合矩形的性质即可求得t的值.

（2）根据面积相等列出方程，求解即可.

【详解】

解：

（1）在中，，

，当时，四边形PECF是矩形，

解得

（2）由题意

整理得，解得

，面积是的面积的5倍。

【点睛】

本题主要考查矩形的动点问题，这是近几年的考试热点，必须熟练掌握.

7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．

（1）求a的取值范围；

（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．

【答案】

（1）a≤；

（2）x=1或x=2

【解析】

【分析】

（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；

（2）根据

（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.

【详解】

（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，

∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤；

（2）由

（1）可知a≤，

∴a的最大整数值为4，

此时方程为x2﹣3x+2=0，

解得x=1或x=2．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

8．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．

【答案】

（1）m≤4；

（2）3≤m≤4．

【解析】

试题分析：

（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用

（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．

试题解析：

（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，

解得m≤4；

（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，

而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，

而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．

9．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．

（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．

【答案】

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1．

【解析】

【详解】

分析：

（1）求出根的判别式，判断其范围，即可判断方程根的情况.

（2）方程有两个相等的实数根，则，写出一组满足条件的，的值即可.

详解：

（1）解：

由题意：

．

∵，

∴原方程有两个不相等的实数根．

（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：

解：

令，，则原方程为，

解得：

．

点睛：

考查一元二次方程根的判别式，

当时，方程有两个不相等的实数根.

当时，方程有两个相等的实数根.

当时，方程没有实数根.

10．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．

（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？

（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．

【答案】

（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元；

（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．

【解析】

【分析】

（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论．

【详解】

（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，

根据题意得：

80（1﹣x）2＝39.2，

解得：

x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．

答：

平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元．

（2）根据题意得：

[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000，

整理得：

a2+75a﹣2500＝0，

解得：

a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去），

∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100．

答：

乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

11．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．

（1）求证：

无论k取何值，此方程总有实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？

【答案】

（1）详见解析；

（2）k＝或2．

【解析】

【分析】

（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；

（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．

【详解】

（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，

∴该方程总有实数根；

（2）

∴x1＝2k﹣1，x2＝2，

∵a、b、c为等腰三角形的三边，

∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，

∴k＝或2．

【点睛】

本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解