北师大九年下数学学案第一章直角三角形的边角关系.docx

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北师大九年下数学学案第一章直角三角形的边角关系

第一章直角三角形的边角关系

§1.1从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）

学习目标:

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.

2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.

学习重点:

1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.

2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.

学习难点:

理解正切的意义，并用它来表示两边的比.

学习方法:

引导—探索法.

学习过程:

一、生活中的数学问题:

1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？

你有哪些办法？

2、生活问题数学化：

⑴如图：

梯子AB和EF哪个更陡？

你是怎样判断的？

⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？

你是怎样判断的？

二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）

⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?

⑵

⑵有什么关系？

⑶如果改变B2在梯子上的位置（如B3C3）呢?

⑷由此你得出什么结论?

三、例题：

例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?

例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.

四、随堂练习：

1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?

2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.（结果精确到0.001）

3、若某人沿坡度i＝3：

4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.

4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.

5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：

1.5的斜坡AD，求DB的长.（结果保留根号）

五、课后练习：

1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA=_______.

2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.

3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.

4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c=25,求tanA、tanB的值.

5、若三角形三边的比是25:

24:

7,求最小角的正切值.

6、如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,EC=1,tanB=,求菱形的边长和四边形AECD的周长.

7、已知:

如图,斜坡AB的倾斜角a,且tanα=,现有一小球从坡底A处以20cm/s的速度向坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高?

8、探究:

⑴、a克糖水中有b克糖（a>b>0）,则糖的质量与糖水质量的比为_______;若再添加c克糖（c>0）,则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们:

添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式:

____________.

⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:

tanA的值越大,则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:

_____________.

⑶、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=a,BC=b（a>b）,延长BA、BC,使AE=CD=c,直线CA、DE交于点F,请运用

（2）中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.

§1.1从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）

学习目标：

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.

2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.

4.理解锐角三角函数的意义.

学习重点：

1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.

2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.

3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.

学习难点：

用函数的观点理解正弦、余弦和正切.

学习方法：

探索——交流法.

学习过程：

一、正弦、余弦及三角函数的定义

想一想：

如图

（1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?

（2）有什么关系?

呢?

（3）如果改变A2在梯子A1B上的位置呢?

你由此可得出什么结论?

（4）如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢?

你由此又可得出什么结论?

请讨论后回答.

二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系：

三、例题：

例1、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的长.

例2、做一做：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝，AC＝10，AB等于多少?

sinB呢?

cosB、sinA呢?

你还能得出类似例1的结论吗?

请用一般式表达.

四、随堂练习：

1、在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.

2、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC=20，求△ABC的周长和面积.

3、在△ABC中.∠C=90°，若tanA=，则sinA=.

4、已知：

如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：

BC2＝AB·BD.（用正弦、余弦函数的定义证明）

五、课后练习：

1、在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,则sinB=_______,tanB=______.

2、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=41,sinA=,则AC=______,BC=_______.

3、在△ABC中,AB=AC=10,sinC=,则BC=_____.

4、在△ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是（）

A.sinA=B.cosA=C.tanA=D.cosB=

5、如图,在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则等于（）

A.B.C.D.

6、Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=,那么tanA等于（）

A.B.C.D.

7、在△ABC中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA的值是

A．B．C．D．

8、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β,若甲坡比乙坡更徒些,则下列结论正确的是（）

A.tanαcosβ

9、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sinA的是（）

A.B.C.D.

10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是（）m

A.B.100sinβC.D.100cosβ

11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.

12、在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.求:

CD,sinC.

13、在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.

14、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系?

15、如图,已知四边形ABCD中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=.

求：

s△ABD：

s△BCD

§1.230°、45°、60°角的三角函数值

学习目标：

1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.

2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.

学习重点：

1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.

2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

3.比较锐角三角函数值的大小.

学习难点：

进一步体会三角函数的意义.

学习方法：

自主探索法

学习过程：

一、问题引入

[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：

①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.

二、新课

[问题]1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?

它们分别等于多少度?

[问题]2、sin30°等于多少呢?

你是怎样得到的?

与同伴交流.

[问题]3、cos30°等于多少?

tan30°呢?

[问题]4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?

你是如何得到的?

结论：

三角函数

角度

sinα

coα

tanα

30°

45°

60°

[例1]计算：

（1）sin30°+cos45°；

（2）sin260°+cos260°-tan45°.

[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.（结果精确到0.01m）

三、随堂练习

1.计算：

（1）sin60°-tan45°；

（2）cos60°+tan60°；

（3）sin45°+sin60°-2cos45°；⑷；

⑸（+1）-1+2sin30°-；⑹（1+）0-｜1-sin30°｜1+（）-1；

⑺sin60°+；⑻2-3-（+π）0-cos60°-.

2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7m，扶梯的长度是多少?

3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30m，两楼问的距离AC=24m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?

（精确到0.1m，≈1.41，≈1.73）

四、课后练习：

1、Rt△ABC中，，则；

2、在△ABC中，若,，则，面积S＝　　　；

3、在△ABC中，AC：

BC＝1：

，AB＝6，∠B＝　　，AC＝　　BC＝　　　　

4、等腰三角形底边与底边上的高的比是，则顶角为（　　）

（A）600　　（B）900　　　（C）1200　　　（D）1500

5、有一个角是的直角三角形，斜边为，则斜边上的高为（　　）

（A）　　（B）　　（C）　（D）

6、在中，，若，则tanA等于（）．

（A）（B）（C）（D）

7、如果∠a是等边三角形的一个内角，那么cosa的值等于（）．

（A）（B）（C）（D）1

8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）．

（A）450a元（B）225a元（C）150a元（D）300a元

9、计算：

⑴、⑵、

⑶、⑷、

⑸、⑹、

⑺、·tan60°⑻、

10、请设计一种方案计算tan15°的值。

§1.4船有触礁的危险吗

学习目标：

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.

2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.

学习重点：

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决